L_3_Kinematika_tochki_Sposoby_zadania_dv izhenia (804009), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Координатными поверхностями цилиндрической системы координат являются цилиндр при , плоскость при и плоскость, параллельная плоскости Оху при . Для определения ортов координатных осей следует вычислить частные производные

, , и соответствующие им коэффициенты Ламе: , , .

Подстановка полученных значений в выражение (3) приводит к равенствам

Рис. 9

, , .

Легко проверить, что цилиндрическая система координат является ортогональной.

Сферическая система координат –криволинейная система координат, в которой положение точки определяется полярным радиусом , углом (долготой) и полюсным углом (широтой) . Сферические координаты , , связаны с прямоугольными координатами соотношениями:

, , .

Координатными поверхностями являются сфера

,

при , плоскость

и при конус

Плоскость , соответствующая значению , называется экваториальной плоскостью. Плоскость , от которой начинается отсчет угла , является плоскостью первого меридиана. Ось называется полярной осью.

Прямоугольные декартовы координаты определяются через сферические координаты равенствами

, , .

Используя выражения соответствующих производных

и их модулей , легко определить орты осей сферической системы координат:

,

,

.

Из очевидных равенств , следует, что сферическая система координат является ортогональной.

Рис. 10

Полярная система координат на плоскости. Система двух координат и , однозначно определяющих положение точки М на плоскости, составляет полярную систему координат. Если задать на плоскости точку О, определяемую как полюс и фиксированное направление, например, вдоль оси Ох прямоугольной системы координат, то полярный радиус будет определяться как расстояние ОМ от полюса О до точки М, а полярный угол как радианная мера угла , отсчитанная в направлении, противоположном вращению часовой стрелки.

Полярная система координат является частным случаем цилиндрической системы координат, когда , или сферической системы координат при =0. Орты координатных осей составляют радиальное направление и трансверсальное направление .

Рис. 11

Естественный способ задания движения точки

Если известна траектория точки, то в ряде случаев представляется удобным использовать естественный способ задания движения точки. При координатном способе задания движения точки траектория соответствует отрезку кривой, определяемой множеством точек, удовлетворяющих уравнениям: , , полученным исключением параметра t из закона движения: , j=1,2,3. Для определения положения точки на траектории следует указать начало отсчета и положительное направление движения точки. Тогда положение точки на траектории определяется длиной дуги , отсчитываемой в соответствующем направлении от начальной точки до точки . Алгебраическая величина s длины дуги , отложенная по траектории от начала отсчёта является дуговой координатой точки . При s > 0 точка М расположена в направлении положительного отсчёта дуги на траектории, при s<О – в противоположном направлении.

Остается задать закон движения точки по траектории как функцию, определяющую изменение значения её дуговой координаты во времени. График зависимости дуговой координаты s точки от времени t представляет график движения точки (рис. 12).

Рис. 12 Рис. 13

Так как траектория точки является фиксированной, то радиус-вектор точки можно рассматривать как функцию дуговой координаты .

Для определения кинематических характеристик движения точки при естественном способе задания движения используются некоторые положения дифференциальной геометрии.

Предельное положение прямой, проходящей через две близкие точки М и траектории , при стремлении точки к точке является касательной к траектории, проведенной в точке М. Траектория точки имеет единственную касательную в каждой точке, в которой существует отличная от нуля производная , где дифференциал длины дуги кривой.

Рис. 14

Положительное направление касательной соответствует положительному направлению движения точки по траектории и определяется единичным вектором . Действительно, вектор направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты s, а величина , где – длина хорды , – длина соответствующей дуги (рис. 14).

Рис. 15

Для определения естественной системы координат вводятся локальные элементы кривой: угол смежности, средняя кривизна кривой на отрезке, кривизна кривой в точке.

Угол смежности есть угол между единичным вектором касательной к траектории, проведённой в точке М, и вектором , соответствующим близкой к ней точке (рис. 15). Отношение величины угла смежности к длине дуги , соединяющей точки М и траектории (рис. 16), является средней кривизной кривой на отрезке : .

Рис. 16 Рис. 17

Предел, к которому стремится средняя кривизна кривой при стремлении точки к точке М, является кривизной кривой в точке: . Величина называется радиусом кривизны. В случае окружности вследствие равенства радиус кривизны совпадает с ее радиусом и является постоянным во всех точках.

Кривизна кривой в точке М при параметрическом задании уравнения кривой определяется выражением

.

Заметим, что здесь и в дальнейшем будет использоваться сокращенное обозначение производной по времени:

. , , .

В частности, при задании движения точки М по траектории в векторном виде выражение кривизны в момент времени в прямоугольных декартовых координатах определяется равенством

, .

Выражение кривизны плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями: , , принимает вид:

, .

Если уравнение плоской траектории задано в явном виде , то кривизна соответствующей кривой вычисляется по формуле

.

Прямая, проведенная перпендикулярно касательной к кривой в точке М, является нормалью к кривой. Плоскость, проходящая через точку М кривой перпендикулярно касательной, называется нормальной плоскостью.

Через три точки кривой можно провести единственную плоскость. Предельное положение плоскости, проходящей через три близкие точки кривой, при стремлении точек к точке , является соприкасающейся плоскостью. Соприкасающаяся плоскость в любой точке плоской кривой совпадает с плоскостью, в которой расположена кривая. Из всех плоскостей, проходящих через точку пространственной кривой, соприкасающаяся плоскость теснее других плоскостей прилегает к кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Единичный вектор главной нормали имеет направление в сторону вогнутости кривой. Единичные векторы касательной к кривой и главной нормали связаны соотношением: . Действительно, пусть – единичный вектор касательной к кривой в точке . Проведем через точку М вектор . Очевидно, векторы и расположены в одной плоскости. При стремлении точки к точке М эта плоскость вращается вокруг линии действия неподвижного вектора и в пределе занимает положение соприкасающейся плоскости. Вектор направлен в сторону вогнутости кривой. Предел этого отношения при равен производной вектора по длине дуги . Из равенства следует, что , то есть вектор перпендикулярен вектору , следовательно, направлен по направлению главной нормали. Так как , то из соотношения следует равенство . Далее, равенство с учетом проведенных рассуждений приводит к выражению .

Единичные векторы и можно использовать в качестве ортов подвижной системы отсчета. За третью ось системы координат обычно принимают бинормаль – нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, направление которой определяется единичным вектором , выбранным так, чтобы векторы соответствовали правой системе отсчета, то есть: .

Плоскость, проходящая через направления касательной и бинормали к кривой, называется спрямляющей плоскостью. Прямоугольная система координат с началом в движущейся точке М, оси которой направлены соответственно по касательной, главной нормали и бинормали к траектории точки, называется естественной системой координат. Направления осей определяются соответствующими единичными векторами и составляют естественный трёхгранник или подвижный трёхгранник.

Частные виды движения точки

Прямолинейное движение точки – движение точки, при котором траектория является прямой линией относительно выбранной системы отсчёта. Закон прямолинейного движения точки определяется одной координатой: , определяющей положение точки на траектории. Скорость и ускорение точки могут быть определены алгебраическими величинами, представляющими собой их проекции на ось , направленную вдоль траектории: , , .

Движение точки по окружности. Движение точки, при котором траектория её движения относительно выбранной системы отсчёта отлична от прямой, называют криволинейным движением точки. Так, движение точки по окружности есть движение точки, при котором её траектория относительно выбранной системы отсчёта является окружностью радиуса . Используя естественную систему координат и соотношение между длиной пройденного пути и углом вращения радиуса: , легко определить закон движения точки, ее скорость , , и ускорение , , .

Угол , образованный неподвижным радиусом и подвижным радиусом, соединяющим центр окружности с движущейся по ней точкой М, представляет угол вращения радиуса. Производная по времени от угла вращения радиуса является угловой скоростью вращения радиуса. Вторая производная по времени от угла вращения радиуса составляет угловое ускорение вращения радиуса.

Характеристики

Список файлов лекций