Главная » Просмотр файлов » L_3_Kinematika_tochki_Sposoby_zadania_dv izhenia

L_3_Kinematika_tochki_Sposoby_zadania_dv izhenia (804009), страница 2

Файл №804009 L_3_Kinematika_tochki_Sposoby_zadania_dv izhenia (лекции теормех) 2 страницаL_3_Kinematika_tochki_Sposoby_zadania_dv izhenia (804009) страница 22020-05-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Координатными поверхностями цилиндрической системы координат являются цилиндр при , плоскость при и плоскость, параллельная плоскости Оху при . Для определения ортов координатных осей следует вычислить частные производные

, , и соответствующие им коэффициенты Ламе: , , .

Подстановка полученных значений в выражение (3) приводит к равенствам

Рис. 9

, , .

Легко проверить, что цилиндрическая система координат является ортогональной.

Сферическая система координат –криволинейная система координат, в которой положение точки определяется полярным радиусом , углом (долготой) и полюсным углом (широтой) . Сферические координаты , , связаны с прямоугольными координатами соотношениями:

, , .

Координатными поверхностями являются сфера

,

при , плоскость

и при конус

Плоскость , соответствующая значению , называется экваториальной плоскостью. Плоскость , от которой начинается отсчет угла , является плоскостью первого меридиана. Ось называется полярной осью.

Прямоугольные декартовы координаты определяются через сферические координаты равенствами

, , .

Используя выражения соответствующих производных

и их модулей , легко определить орты осей сферической системы координат:

,

,

.

Из очевидных равенств , следует, что сферическая система координат является ортогональной.

Рис. 10

Полярная система координат на плоскости. Система двух координат и , однозначно определяющих положение точки М на плоскости, составляет полярную систему координат. Если задать на плоскости точку О, определяемую как полюс и фиксированное направление, например, вдоль оси Ох прямоугольной системы координат, то полярный радиус будет определяться как расстояние ОМ от полюса О до точки М, а полярный угол как радианная мера угла , отсчитанная в направлении, противоположном вращению часовой стрелки.

Полярная система координат является частным случаем цилиндрической системы координат, когда , или сферической системы координат при =0. Орты координатных осей составляют радиальное направление и трансверсальное направление .

Рис. 11



Естественный способ задания движения точки

Если известна траектория точки, то в ряде случаев представляется удобным использовать естественный способ задания движения точки. При координатном способе задания движения точки траектория соответствует отрезку кривой, определяемой множеством точек, удовлетворяющих уравнениям: , , полученным исключением параметра t из закона движения: , j=1,2,3. Для определения положения точки на траектории следует указать начало отсчета и положительное направление движения точки. Тогда положение точки на траектории определяется длиной дуги , отсчитываемой в соответствующем направлении от начальной точки до точки . Алгебраическая величина s длины дуги , отложенная по траектории от начала отсчёта является дуговой координатой точки . При s > 0 точка М расположена в направлении положительного отсчёта дуги на траектории, при s – в противоположном направлении.

Остается задать закон движения точки по траектории как функцию, определяющую изменение значения её дуговой координаты во времени. График зависимости дуговой координаты s точки от времени t представляет график движения точки (рис. 12).

Рис. 12 Рис. 13

Так как траектория точки является фиксированной, то радиус-вектор точки можно рассматривать как функцию дуговой координаты .

Для определения кинематических характеристик движения точки при естественном способе задания движения используются некоторые положения дифференциальной геометрии.

Предельное положение прямой, проходящей через две близкие точки М и траектории , при стремлении точки к точке является касательной к траектории, проведенной в точке М. Траектория точки имеет единственную касательную в каждой точке, в которой существует отличная от нуля производная , где дифференциал длины дуги кривой.

Рис. 14

Положительное направление касательной соответствует положительному направлению движения точки по траектории и определяется единичным вектором . Действительно, вектор направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты s, а величина , где – длина хорды , – длина соответствующей дуги (рис. 14).

Рис. 15

Для определения естественной системы координат вводятся локальные элементы кривой: угол смежности, средняя кривизна кривой на отрезке, кривизна кривой в точке.

Угол смежности есть угол между единичным вектором касательной к траектории, проведённой в точке М, и вектором , соответствующим близкой к ней точке (рис. 15). Отношение величины угла смежности к длине дуги , соединяющей точки М и траектории (рис. 16), является средней кривизной кривой на отрезке : .

Рис. 16 Рис. 17

Предел, к которому стремится средняя кривизна кривой при стремлении точки к точке М, является кривизной кривой в точке: . Величина называется радиусом кривизны. В случае окружности вследствие равенства радиус кривизны совпадает с ее радиусом и является постоянным во всех точках.

Кривизна кривой в точке М при параметрическом задании уравнения кривой определяется выражением

.

Заметим, что здесь и в дальнейшем будет использоваться сокращенное обозначение производной по времени:

. , , .

В частности, при задании движения точки М по траектории в векторном виде выражение кривизны в момент времени в прямоугольных декартовых координатах определяется равенством

, .

Выражение кривизны плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями: , , принимает вид:

, .

Если уравнение плоской траектории задано в явном виде , то кривизна соответствующей кривой вычисляется по формуле

.

Прямая, проведенная перпендикулярно касательной к кривой в точке М, является нормалью к кривой. Плоскость, проходящая через точку М кривой перпендикулярно касательной, называется нормальной плоскостью.

Через три точки кривой можно провести единственную плоскость. Предельное положение плоскости, проходящей через три близкие точки кривой, при стремлении точек к точке , является соприкасающейся плоскостью. Соприкасающаяся плоскость в любой точке плоской кривой совпадает с плоскостью, в которой расположена кривая. Из всех плоскостей, проходящих через точку пространственной кривой, соприкасающаяся плоскость теснее других плоскостей прилегает к кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Единичный вектор главной нормали имеет направление в сторону вогнутости кривой. Единичные векторы касательной к кривой и главной нормали связаны соотношением: . Действительно, пусть – единичный вектор касательной к кривой в точке . Проведем через точку М вектор . Очевидно, векторы и расположены в одной плоскости. При стремлении точки к точке М эта плоскость вращается вокруг линии действия неподвижного вектора и в пределе занимает положение соприкасающейся плоскости. Вектор направлен в сторону вогнутости кривой. Предел этого отношения при равен производной вектора по длине дуги . Из равенства следует, что , то есть вектор перпендикулярен вектору , следовательно, направлен по направлению главной нормали. Так как , то из соотношения следует равенство . Далее, равенство с учетом проведенных рассуждений приводит к выражению .

Единичные векторы и можно использовать в качестве ортов подвижной системы отсчета. За третью ось системы координат обычно принимают бинормаль – нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, направление которой определяется единичным вектором , выбранным так, чтобы векторы соответствовали правой системе отсчета, то есть: .

Плоскость, проходящая через направления касательной и бинормали к кривой, называется спрямляющей плоскостью. Прямоугольная система координат с началом в движущейся точке М, оси которой направлены соответственно по касательной, главной нормали и бинормали к траектории точки, называется естественной системой координат. Направления осей определяются соответствующими единичными векторами и составляют естественный трёхгранник или подвижный трёхгранник.

Частные виды движения точки

Прямолинейное движение точки – движение точки, при котором траектория является прямой линией относительно выбранной системы отсчёта. Закон прямолинейного движения точки определяется одной координатой: , определяющей положение точки на траектории. Скорость и ускорение точки могут быть определены алгебраическими величинами, представляющими собой их проекции на ось , направленную вдоль траектории: , , .

Движение точки по окружности. Движение точки, при котором траектория её движения относительно выбранной системы отсчёта отлична от прямой, называют криволинейным движением точки. Так, движение точки по окружности есть движение точки, при котором её траектория относительно выбранной системы отсчёта является окружностью радиуса . Используя естественную систему координат и соотношение между длиной пройденного пути и углом вращения радиуса: , легко определить закон движения точки, ее скорость , , и ускорение , , .

Угол , образованный неподвижным радиусом и подвижным радиусом, соединяющим центр окружности с движущейся по ней точкой М, представляет угол вращения радиуса. Производная по времени от угла вращения радиуса является угловой скоростью вращения радиуса. Вторая производная по времени от угла вращения радиуса составляет угловое ускорение вращения радиуса.

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
1,02 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее