BILETY (797972), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Дать определение предела ФНП по множеству и непрерывной ФНП2. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхностиF  x, y, z   0 в точке  x0 ; y0 ; z0 Уравнение касательной плоскости:Fx ( x ; y ; z )   x  x0   Fy000Уравнение нормали:( x0 ; y0 ; z0 )  y  y0   Fz ( x ; y ; z )   z  z0   00x  x0y  y0Fx ( x ; y ; z ) Fy0 0 0( x0 ; y0 ; z0 )00z  z0Fz ( x ; y ; z000)3. Сформулировать достаточное условие условного экстремумаЕсли в стационарной точке d2F>0, то функция z=f(x,y) имеет в даннойточке условный минимум, если же d2F<0, то условный максимум, гдеd2F=F′′xxdx2+2F′′xydxdy+F′′yydy2илиИз уравнения связи получаем: φ′xdx+φ′ydy=0, dy   x dx , поэтому в любой yстационарной точке имеем:11 d 2 F  F  xx dx 2  2 F  xy dxdy  F  yy dy 2  F  xx dx 2  2 F  xy dx   x dx   y2 dx 2 F  yy   x dx    ((  y ) 2 F  xx  2  x   y F  xy  (  x ) 2 F  yy )2 (  y )yВторой сомножитель (расположенный в скобке) можно представить в такойформе:Красным цветом выделены элементы определителя, который являетсягессианом функции Лагранжа.

Если H>0, то d2F<0, что указывает наусловный максимум. Аналогично, при H<0 имеем d2F>0, т.е. имеем условныйминимум функции z=f(x,y).4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхностиz 3  yz  xy 2  x3  0 в точке 1;0;1Решение:Найдем частные производные первого порядка:F  x, y, z   z 3  yz  xy 2  x 3F x   y 2  3x 2F x M  02  3 12  3F y  z  2 xyF y M  1  2 1 0  1F z  3z 2  yF z M  3 12  0  3Уравнение касательной плоскости:Fx ( x ; y ; z )   x  x0   Fy000( x0 ; y0 ; z0 )  y  y0   Fz ( x ; y ; z )   z  z0   00003   x  1  1  y  0   3   z  1  03x  3  y  3z  3  03x  y  3z  0Уравнение нормали:x  x0y  y0Fx ( x ; y ; z ) Fy0 0 0( x0 ; y0 ; z0 )z  z0Fz ( x ; y ; z000)x 1 y  0 z 13135.

Исследовать на экстремум функцию z  3ln x  4ln y  xy  x  y12Решение:Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условиемсуществования экстремума z3 3 x   3ln x  4 ln y  xy  x  y  x  x  y  1  0 x  y  1  0  z   3ln x  4 ln y  xy  x  y   4  x  1  0 4  x 1  0yy y yРешим данную систему3 x  y  1  04  x 1  0 yy33 x1 xx4 x 1  03 xx4x x 1  03 x4 x  3x  x 2  3  x03 xx 2  2 x  3  0, x  3D  b 2  4ac  22  4 1  3  4  12  162  4123y1   1  21x1 2  4 323y2  1  23x2 Следовательно, две точки M1 1;2  , M 2  3; 2 A 2 z 32 z;B 1;x 2 x 2xyCДля точки M1 1;2 A 2 z 32 z3;B 1;x 2 12xy 2 z 4y 2 y 2C 2 z 4 1y 2 22AC  B 2  3   1   1  3  1  2  02и A  0 точка M1 1;2  является точкой максимума 1 1Для точки M 2   ;   3 3A2 z312 z;B 1;x 2  323xyC132 z4 122y 2 1122AC  B 2     1   1   1    0333не является точкой максимума6.

Исследовать на экстремум функцию z  xy при условии x 2  y 2  614БИЛЕТ 51. Дать определение частной производной ФНП в точке2. Записать формулы для вычисления частных производных сложнойфункции вида z  f  u  x, y  , v  x, y  z f u f v x u x v xz f u f v y u y v y153. Сформулироватьтеоремудифференцируемости ФНПосвязинепрерывностии4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхностиe z  z  xy  3 в точке  2;1;0 Решение:Найдем частные производные первого порядка:F  x, y, z   e z  z  xy  3F x  yF x M  1F y  xF y M  2F z  e z  1F z M  e0  1  0Уравнение касательной плоскости:Fx ( x ; y ; z )   x  x0   Fy000( x0 ; y0 ; z0 )  y  y0   Fz ( x ; y ; z )   z  z0   00001  x  2   2   y  1  0   z  0   0x  2  2y  2  0x  2y  4  0Уравнение нормали:x  x0y  y0Fx ( x ; y ; z ) Fy0 0 0( x0 ; y0 ; z0 )z  z0Fz ( x ; y ; z000)x  2 y 1 z  01205.

Исследовать на экстремум функцию z  y x  x  y 2  6 yРешение:Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условиемсуществования экстремума16zy21  0 y x  y x  x  y  6 y x 1  02 x 2 x z  y x  x  y 2  6 y   x  2 y  6  0 x  2y  6  0 yyРешим данную систему y1  02 x x  2y  6  0y  2 x, x  0x  22 x  6  03 x 6x 2x4y2 4 4Следовательно, одна точка M  4;4 Находим частные производные второго порядкаA2 zy2 z1;B;2xxy 2 x4 x3CДля точки M  4;4 A2 z 2y 22 z412 z11;B ;23x8xy 2 4 44 4C2 z 2y 2211 131AC  B     2       084 16 1642и A  0 точка M  4;4  является точкой максимума6.

Исследовать на экстремум функцию z  2 x  3 y  2x2  y 2  1при условииРешение:Составляем функцию Лагранжа:L  x, y,    2 x  3 y  2    x 2  y 2  1Находим частные производные, приравниваем их к нулю, находим точкиподозрительные на локальный экстремум: Lx  2  2 x  0 Ly  3  2 y  022 L  x  y  1  0 x1  2 y1  3  0,5 1 x2  2 y2   3  0,5 2Получили две точкиНаходим вторые производные:17Lxx  2; Lxy  0;Lyy  2Исследуем в стационарной точке второй дифференциал функцииЛагранжа  0,5Составим матрицу:0 x y x yLxxLxyLxy  4Lyy 2 3 2; 3 04 2 31001 0  0  0  12  16  0  4  0следовательно, точкаявляется точкой условного максимума.  0,5Составим матрицу:0 x y xLxxLxy 2;  3  y04 2 3Lxy  41 0  0  0  0  12  16  0  4  0Lyy 2 3 01является точкой условного минимума.18следовательно,точкаБИЛЕТ 61.

Дать определение дифференцируемой ФНП в точке.2. Записать формулы для вычисления производной сложной функциивида u  f  x  t  , y  t  , z  t  du u dx u dy u dz    dt x dt y dt z dt3. Сформулироватьтеоремудифференцируемости ФНПонеобходимыхусловияхЕсли функция z  f  x, y  дифференцируема в точке М(х,у) то онанепрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные4. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхностиx2 yz  2 x 2 z  3xyz  2  0 в точке 1;0; 1Решение:Найдем частные производные первого порядка:F  x, y, z   x 2 yz  2 x 2 z  3xyz  2F x  2 xyz  4 xz  3 yzF x M  2 1 0   1  4 1  1  3  0   1  4F y  x 2 z  3xzF y M  12   1  3 1  1  2F z  x 2 y  2 x 2  3xyF z M  12  0  2 12  3 1 0  2Уравнение касательной плоскости:Fx ( x ; y ; z )   x  x0   Fy000( x0 ; y0 ; z0 )  y  y0   Fz ( x ; y ; z )   z  z0   00004   x  1  2   y  0   2   z  1  04 x  4  2 y  2 z  2  04 x  2 y  2 z  6  0Уравнение нормали:x  x0y  y0Fx ( x ; y ; z ) Fy0 0 0( x0 ; y0 ; z0 )z  z0Fz ( x ; y ; z000)x 1 y  0 z  14225.

Исследовать на экстремум функцию z  2 x 2  12 xy  17 y 2  2 y19Решение:Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условиемсуществования экстремума z22 x   2 x  12 xy  17 y  2 y  x  4 x  12 y  04 x  12 y  0  z12 x  34 y  2  0   2 x 2  12 xy  17 y 2  2 y   12 x  34 y  2  0y yРешим данную систему4 x  12 y  012 x  34 y  2  0x  3y  06 x  17 y  1  06 x  18 y  06 x  17 y  1  0 y 1  0y  1x  3 y  3   1  3Следовательно, одна точка M  3; 12 z2 zA  2  4; B  12;xxyДля точки M  3; 12 zC  2  34yAC  B 2  4  34   12   136  144  0 не является точкой экстремума26.

Исследовать на экстремум функцию z  4  x 2 xy  220y24при условииБИЛЕТ 71. Дать определение (полного) первого дифференциала ФНП.2. Записать формулы для вычисления частных производных неявнойфункции z  x, y  , заданной уравнением F  x, y, z   0Если функция F  x, y, z  дифференцируема по переменным x,y,z в некоторойпространственной области D и Fz  x, y, z   0 , то уравнение F  x, y, z   0z  x, y  ,определяетоднозначнуюнеявнуюфункциютакжедифференцируемуюF   x, y , z z yyFz  x, y, z F   x, y , z z xxFz  x, y, z 3. Сформулироватьтеоремудифференцируемости ФНПодостаточныхусловиях4.

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхностиz  x4  2 x 2 y  xy  x в точке 1;0;2 Решение:Найдем частные производные первого порядка:21F  x, y, z   x 4  2 x 2 y  xy  x  zF x  4 x3  4 xy  x  1F x M  4 13  4 1 0  1  1  4F y  2 x 2  xF y M  2 12  1  1F z  1F z M  1Уравнение касательной плоскости:Fx ( x ; y ; z )   x  x0   Fy000( x0 ; y0 ; z0 )  y  y0   Fz ( x ; y ; z )   z  z0   00004   x  1  1  y  0   1  z  2   04x  4  y  z  2  04x  y  z  2  0Уравнение нормали:x  x0y  y0Fx ( x ; y ; z ) Fy0 0 0( x0 ; y0 ; z0 )z  z0Fz ( x ; y ; z000)x 1 y  0 z  24115. Исследовать на экстремум функцию z  xy 50 20 , x, y  0xyРешение:Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условиемсуществования экстремума50 z   xy  50  20   y  50  0y 2 02xxyxxx  z  x  202  050 20 20y   xy     x  2  0xy yy y Решим данную систему50 y  x 2  0 20x  2  0y2250 y  x 2  0 20x  2  0y20x02 50  2x yx50x, y  0x220 x 402500 20 x3 x 1 0 2500 x1  0 не удов20 x 310250050 50y 2 2525x3  125 x2  5Следовательно, одна точка M  5;2 A 2 z 1002 z;B 1;x 2x3xyДля точки M  5;2 C 2 z 40y 2 y 3 2 z 100 100 42 z 2 z 40 400,8;B1;C5x 2 53 125 5xyy 2 238AC  B2  0,8  5  12  4  1  3  0 и A  0 является точкой минимумаA6.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)