Автореферат (786334), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Идентификация правой части: в этом случае не задана (или задана неполностью) функция f(x).2. Идентификация граничного условия: не задана (или задана не полностью)функция g(x).Исследуемые задачи характерны тем, что вместо отсутствующейинформации известен дополнительный набор из ms точечных значений искомойфункции (результатов измерений), причем измеренные значения содержатнекоторую погрешность ξ (статистические свойства шумов известны):v j  u(x νj )  ξ, j  1, ms .Решение ищется в виде нейросетевого представления. Для этогоиспользуется пара нейронных сетей.

Первая сеть аппроксимирует искомуюфункцию, а вторая, в зависимости от типа задачи, приближает правую частьили граничное условие. Подбор параметров сетей ведется путем оптимизациидискретного квадратичного функционала, который получается при подстановке11нейросетевого представления в исходное уравнение, граничные условия иточечные (измеренные) значения функции:22mmJ (u~)   j 1 w A(u~(x j , ψ u ))  f (x j )   j 1 w B(u~(x j , ψ u ))  g (x j ) msj 1ws u~(xj , ψ u )  j2ψmin,где ψ – вектор параметров нейросетевой модели, u~ – аппроксимация точногорешения краевой задачи u , ψ u  ψ – параметры нейронной сети u~ , m , m –заданное число контрольных точек; w , w , ws – весовые коэффициенты,выравнивающие вклад составляющих функционала.

Если рассматриваетсязадача идентификации правой части, то источниковый член в первомслагаемом функционала заменяется нейросетевой аппроксимацией ~f (x j , ψ f ) ,где ψ f  ψ – вектор параметров, определяемый в результате обучения сети.Аналогично, при восстановлении граничного условия неизвестное слагаемоеg (x j ) заменяется на g~(x j , ψ g ) , ψ g  ψ . В результате оптимизации функционалана выходе получаются приближения непосредственно решения краевой задачи~u~ и идентифицируемых функций f или g~ (в зависимости от задачи).В следующих разделах рассматривается приложение вычислительнойтехнологии для ряда характерных обратных задач. Решалась задачаидентификации интенсивности источника тепла в стационарном уравнениитеплопроводности (задача сформулирована в статье Xie O., Zhao Z.

Identifyingan unknown source in the Poisson equation by a modified Tikhonov regularizationmethod. // International Journal of Mathematical and Computational Sciences. –2012. – Vol. 6.): u xx  u yy  f ( x), 0  x  π, 0  y  u (0, y )  u ( π, y )  0, 0  y  ,u ( x, 0)  0, 0  x  π.При этом функция f (x) являлась неизвестной, требовалось ее восстановить подополнительным «измерениям». В качестве результатов «измерений» бралисьзашумленные точные значения функции в точках u( x, 1)  g ( x) (квазиреальныйэксперимент): g ( x)  l 1 (1  e l )e l l 2 sin lx , g iδ  g (hi)  δθ , h  π m s , i  0, ms , где θ –случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону.Решение данной задачи известно в аналитическом виде: f ( x)  l 1 e l sin lx .

Дляоценки влияния погрешностей измерений на точность итоговых аппроксимацийв «измерения» вносились шумы δ с амплитудами: 10 4 , 10 3 , 10 2 . На рис. 7представлен результат восстановления источникового члена с использованиемНРБС из 32-х нейроэлементов при δ  10 2 . На графике точками показано точное12решение, пунктиром – полученное в статье с использованиеммодифицированного метода регуляризации Тихонова.

Видно, что нейросетевойметод дал схожий по точности результат.Вследующемразделедиссертационной работы исследуютсязадачи идентификации граничного режима.Рассматривалосьприложениенейросетевого подхода к обратной задачетеплопереноса при ламинарном течениижидкости в плоском канале. Постановкаприведена в работе Huang C.H., Ozisik M.N.Inverse problem of determining heat flux inРис. 7.

Результат восстановленияlaminar flow through a parallel plate duct. //правой частиNumerical Heat Transfer, Part A. 1992. –Vol. 21. Математически задача сформулирована следующим образом:T ( x, y) 2T ( x, y)k, 0  x  b, 0  y  L,xy 2T ( x,0)T ( x, L) 0, 0  x  b, k q( x), 0  x  b, T (0, y)  T0 , 0  y  L.yyv( y)ρC pyLyLПрофиль скорости считается заданным: v( y)  6v m (1  ) , тепловой потокq(x) не задан и подлежит определению.

Известен набор из ms измерений,полученных с термодатчиков, размещенных на расстоянии y1 от изолированнойстенки. Схема расчетной области приведена на рис. 8.Исходные данные следующие (в качестве жидкости рассматривалосьмашинное масло):T0  20 C  293 K , b  1,6 м, L  0,01 м, y1  0,009 м, v m  0,04мкгДж, ρ  840 3 , C p  2200.смкг К«Измеренные» значения температуры определялись из решения прямой задачис известным распределением теплового потока q(x) на границе y  L(квазиреальный эксперимент), предполагалось, что измерения содержатнекоторую погрешность: Ti δ  T (hi, L)  δθ , h  b m , i  1, ms , где θ – случайнаяsвеличина, распределенная по стандартному нормальному закону. Былирассмотрены два варианта продольного распределения теплового потока:3000  8750 x, 0  x  0,8, Вт 1) q( x)  ,10000  8750( x  0,8), 0,8  x  1,6  м  К 2,5 x  Вт 2) q( x)  7000  3000 sin(π) .1,6мК 13Кроме того, варьировалось число термодатчиков: в одном случае онирасположены очень плотно, на расстоянии 1 см друг от друга ( ms  160 ), вдругом – расстояние между ними составляет 10 см ( ms  16 ).С целью анализа влияния погрешностей «измерений» на решение задачирассматривались два варианта.

В первом принималась идеализированнаяситуация, когда показания датчиков абсолютно точные (   0 ), во второмсчиталось, что датчики дают показания с погрешностями   2,576 .На рис. 9 приведен результат восстановления теплого потока ссинусоидальным распределением для варианта с ms  16 и погрешностями«измерений»   2,576 . Точками представлено точное распределение, сплошнойлинией – полученная нейросетевая аппроксимация, пунктиром – приведенное встатье решение.Рис.

8. Схема расчетной области, точками Рис. 9. Результат восстановления тепловогопоказаны термодатчики, теплоизолированная потока с синусоидальным распределением,поверхность заштрихованаms  16 ,   2,576Видно, что точность НРБС-приближения сопоставима с решением,полученным в статье с использованием аппарата сопряженных уравнений. Приэтом важно подчеркнуть технологичность разработанного в диссертационнойработе метода: при решении прямых и обратных задач используютсяидентичные вычислительные алгоритмы.14ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫИтогом диссертационного исследования являются следующие научные ипрактические результаты: Разработаны методы построения нейросетевых моделей стационарных инестационарных процессов переноса в физических системах при наличииразнороднойинформации,основанныенаиспользованиинормализованных радиально-базисных функций. Разработаны бессеточные вычислительные алгоритмы решенияэллиптическихзадачматематическойфизикисадаптациейнормализованного функционального базиса к особенностям решения.Показано, что разработанные алгоритмы позволяют эффективно решатьзадачи с погранслойным характером решения, задачи в областях сосложной геометрией, многомерные задачи. Построены нейросетевые и гибридные разностно-нейросетевыеалгоритмы для решения параболических задач математической физики. Разработана модификация предложенных нейросетевых алгоритмовприменительно к обратным задачам математической физики.Рассмотрены вопросы идентификации источниковых слагаемых играничных условий для стационарных и нестационарных задачтеплопереноса.

Показано, что присущие нейросетевым алгоритмамрегуляризирующие свойства позволяют эффективно решать задачиидентификации при значительных погрешностях измерений. Создан комплекс программ для математического моделированияпроцессов переноса в физических системах с использованиемнормализованных радиально-базисных сетей.ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИПубликации в журналах из перечня ВАК1.Колбин И.С. Решение стационарных задач математической физики сиспользованием нормализованных радиально-базисных сетей. // Научнотехнический вестник Поволжья. – 2011. – № 5 – Казань: Научно-техническийвестник Поволжья, 2011 – С.

178-181.2.Колбин И.С. Разработка системы нейросетевого моделирования. //Информационные и телекоммуникационные технологии. – 2012. – № 14 – М.:Изд-во МАИ, 2012 – С. 83-86.3.Колбин И.С., Ревизников Д.Л. Решение задач математической физикисиспользованиемнормализованныхрадиально-базисныхсетей.//15«Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. – 2012. – № 2 – М.: Изд-во«РАДИОТЕХНИКА», 2012 – С. 12-19.4.Колбин И.С.Программныйкомплексдлярешениязадачматематическогомоделированиясиспользованиемнейросетевойметодологии. // Программная инженерия. – 2013.

– № 2 – С. 25-30 (статьяпринята к публикации).Публикации в других изданиях5.Колбин И.С., Ревизников Д.Л. Применение сетей с нормализованнымирадиально-базисными функциями для решения эллиптических задачматематической физики. // Материалы XVII международной конференции повычислительной механике и современным прикладным программным системам(ВМППС-2011), Алушта – М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. – С.

Характеристики

Список файлов диссертации