Автореферат (786334), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Один из возможныхподходов заключается в минимизации квадратичного функционала ошибки,который формируется при подстановке нейросетевого представления висходное уравнение и граничные условия. Минимизация осуществляется спомощью процедур многомерной оптимизации. Существенным достоинствомданного подхода является его универсальность, т.к. он не накладываетограничений на конфигурацию области, на гладкость коэффициентов и т.д.Функционал ошибки имеет вид:22J (u~)   w A(u~(x, ψ))  f (x) dx   w B(u~(x, ψ))  g (x) dx,где w , w – некоторые коэффициенты, которые «выравнивают» вкладвнутренней и граничной составляющей. Подбор w и w во многом зависит отусловий задачи.

Как правило, вычислить интегралы аналитически весьмасложно или невозможно, поэтому используется дискретный аналогфункционала:622mmJ (u~)   j 1 w A(u~(x j , ψ))  f (x j )   j 1 w B(u~(x j , ψ))  g (x j ) ,где m , m – число контрольных точек в области и на границе, соответственно,{x}j   – набор контрольных точек в области, {x}j   – на границе. Подборпараметров ψ аппроксимирующей модели u~ осуществляется путемминимизации сформированного функционала:ψJ (u~(x, ψ)) min .В главе рассмотрено приложение разработанного метода к одномерным,двумерным, трехмерным задачам, были исследованы задачи с нелинейнымисточником, с погранслойным характером решения, получены нейросетевыеаппроксимации для задач с криволинейной границей области.Для демонстрации работы предложенного метода рассмотрим в качестветестовой характерную модельную краевую задачу. Ищется решение уравненияu( x, y)  f ( x, y) ,Пуассонавпрямоугольнойобласти:22x 2 y 2–операторЛапласа,x  0,   ,y  0,   ;удовлетворяющееu(0, y)  u( , y)  u( x, 0)  u( x,  )  0.однороднымусловиямнагранице:Источниковая компонента задана как f ( x, y)  sin x sin y .

Решение ищется в видеНРБС u~(x, ψ) , для чего составляется функционал ошибки вида:2mmJ (u~)   j 1 w u~(x j , ψ))  f (x j )   j 1 w (u~(x j , ψ)) 2 , x   ( x, y) .Подбор параметров ψ осуществляется с использованием метода сопряженныхградиентов CG_DESCENT.Было рассмотрено решение для сетей различных размеров. На рис. 2представлены НРБС-решения в различных сечениях y  const , а такжеаналитическое решение (точки).

Штриховой линией показан выход НРБС из 4-хнейронов, сплошной – НРБС из 8-ми нейронов. На рис. 3 дана конфигурациянейроэлементов на плоскости для восьминейронной сети после окончанияпроцедуры подбора параметров. Пунктиром выделена область  .Рис. 2. Аналитическое и нейросетевыерешения задачи ПуассонаРис.

3. Итоговая конфигурациянейроэлементов НРБС из 8 нейронов7На рис. 2 видно, что выход НРБС из 8-ми нейроэлементов практическисовпадает с аналитическим решением. Представленное на рис. 3 итоговоерасположение нейронов аппроксимирующей модели объясняется симметриейрассматриваемой задачи.Для оценки точности полученных приближений была вычисленасреднеквадратичная погрешность  на сетке, результаты приведены втаблице 1.

Сравнение проводилось с известным аналитическим решением.Таблица 1Число нейроэлементов, n2468Результаты расчетовИтоговый функционалошибки, J0,00270,00145,61∙10-51,17∙10-5Среднеквадратичнаяпогрешность, ε0,025130,022120,001190,00067Из таблицы 1 видно, что увеличение размерности аппроксимирующейсети влечет повышение точности результирующих приближений. Важноотметить, что происходит одновременное уменьшение функционала ошибки ипогрешности аппроксимации.В следующем разделе производится сравнительный анализ нейросетевыхметодов, основанных на классических радиально-базисных и нанормализованных радиально-базисных сетях, для набора характерныхмодельных задач.

Рассматривается одномерное уравнение следующего вида:u   k 2 u , требуется найти решение, удовлетворяющее граничным условиямu(0)  u(1)  1 . Особенностью данной задачи является погранслойный характеррешения, который проявляется в большей степени при возрастаниикоэффициента k. В работе был принят k  27,79 , при котором ярко выраженподобный эффект. На рис. 4 представлены выходы полученных нейронныхсетей из двух элементов. Видно, что НРБС-приближение лучше отражаетхарактер решения, чем ненормализованная сеть.Решалась трехмерная краевая задача для стационарного уравнениятеплопроводности с нелинейным источником: u  sin(u 2 )  f ( x, y, z) , расчетнаяобласть  – единичный куб, граничные условия: u |  sin( x  y  z) .

На графикерис. 5 представлены аппроксимации для задачи сетями из 4-х нейроэлементов вразличных сечениях. Видно, что решение, полученное с использованием НРБС,практически совпадает с аналитическим.8Рис. 4. Решение одномерной задачи спогранслойным характером решенияРис. 5. Решение трехмерной задачи снелинейным источникомПроведенные численные эксперименты показали, что в среднем метод,основанный на НРБС, производит аппроксимации с большей точностью,однако время подбора параметров выше. Для ряда задач, при этом, НРБС-методсходится быстрее.

Так, например, трехмерная задача с нелинейным источникомдля сетей из 4-х нейронов решается НРБС-методом примерно в два разабыстрее, чем РБС, при этом точность аппроксимации выше почти в сто раз.В следующем разделе диссертационной работы проводится сравнениенейросетевого метода с методом конечных разностей. В конечно-разностнойреализации использовался метод погруженной границы с фиктивнымиячейками, для итерационного решения систем линейных алгебраическихуравнений применялся стабилизированный метод бисопряженных градиентов спредобуславливателем. Рассматривался ряд модельных задач с криволинейнойграницей области. Сравнительный анализ показал, что методы имеют схожуюточность и время сходимости.

Важно отметить, что переход от задач спрямоугольными границами области к задачам с криволинейными границамипрактически не внес изменений в нейросетевой алгоритм решения. Этоявляется существенным преимуществом нейросетевого метода по сравнению сметодом конечных разностей, который требует значительной модификации длярешения задач с криволинейными границами.В последнем разделе первой главы дан обзор созданного в процесседиссертационной работы вычислительного комплекса, реализующегоразработанные методы, рассмотрены вопросы повышения эффективностивычислений.Во второй главе рассматриваются нейросетевые алгоритмымоделирования нестационарных процессов переноса.

Приводятся два метода:прямой, при использовании которого временная компонента заносится вовходной вектор, и гибридный, с конечно-разностным разбиением по времени.9При использовании гибридного метода на выходе алгоритма получается наборнейронных сетей, которые осуществляют пространственную аппроксимацию насоответствующих временных слоях. Подбор параметров сети на очередномвременном шаге осуществляется путем минимизации функционала ошибки.Функционал ошибки для k+1 слоя при использовании явно-неявной схемыКранка-Николсона с шагом  имеет вид:mJ (u~ k 1 )   j 1 w u~ k 1 (x j , ψ k 1 )  ( A(u~ k 1 (x j , ψ k 1 ))  f k 1 (x j ))  u~ k (x j , ψ k ) 222m( A(u~ k (x j , ψ k ))  f k (x j ))   j 1 w B(u~ k 1 (x j , ψ ))  g k 1 (x j ) .2В следующем разделе проводится сравнение прямого и гибридногометодов на примере ряда модельных задач теплопроводности.Искалосьрешениедвумерногонестационарногоуравнениятеплопроводности в прямоугольной области:  2u  2u u a 2  2  ,ty  x0  y  ln 2 , удовлетворяющее начальному условию0 xu( x, y, 0)  cos(2 x)sh( y),4исмешанным граничным условиям:u(0, y, t )  sh( y) exp( 3at ) , u x 0,25 , y, t   2sh( y) exp(3at ) , u y ( x, 0, t )  cos(2 x) exp( 3at ) ,u( x, ln 2, t )  0,75 cos(2 x) exp(3at ) .

Задача представлена в безразмерном виде, a  1 .Нарис.6показаныполученныеаппроксимации и аналитическое решение наразличных временных слоях. Видно, что обаметода дали высокую точность. Результатырасчетов для прямого и гибридного методовсведены в таблицу 2. Вычисленияпроводились на компьютере с процессоромIntel Core 2 Duo E6750 2,66 ГГц.Рис. 6. Решение двумерной задачитеплопроводностиТаблица 2Результаты решения двумерной нестационарной задачи теплопроводности прямым игибридным методамиПрямой методГибридный метод, τ=0,05nJεT, сек nJεT, сек8 0,000890,008321,392 0,001520,020710,06-516 0,000120,00562,514 1,31∙100,002270,64-5-624 3,72∙100,001714,26 4,3∙100,000970,75-5-632 1,37∙100,000946,548 2,31∙100,000731,4110Из приведенных результатов видно, что гибридный метод обладаетлучшими показателями скорости и точности решения по сравнению с прямымметодом.

С другой стороны, стоит отметить, что гибридный метод взначительной степени менее универсален, чем прямой метод. Во-первых, этовыражается в узкой специализации алгоритма для решения конкретного типазадач. Во-вторых, из-за конечно-разностного разбиения в значительной степениухудшаются регуляризирующие свойства нейросетевых алгоритмов, что сильноограничивает возможность их применения для задач с неточно заданнымиусловиями, а также для обратных задач.В заключительном разделе диссертационной работы рассматриваетсяприложение гибридного метода для начально-краевой задачи для уравненияБюргерса, показана высокая эффективность нейросетевого метода.Третья глава посвящена нейросетевым алгоритмам решения обратныхзадач (задач идентификации).

Рассматривается обратная задача в следующейпостановке: требуется найти решение u  u(x) уравненияA(u)  f (x), x  ,удовлетворяющее условию на границе:B(u)  g (x), x  ,где A , B – известные интегро-дифференциальные операторы, f , g –некоторые функции. Операторы могут быть нелинейными, содержать разрывы,менять тип в подобластях и т.д. Специальных требований к границе непредъявляется. В настоящей работе рассматривалось 2 типа обратных задач:1.

Характеристики

Список файлов диссертации