2-12157-1424688438-14 (784178)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

№14. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, Коши), геометрический смысл.

Теорема Ролля: Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на отрезке и значение функции на концах отрезка совпадает, т.е. , тогда существует хотя бы одна точка , т.ч. .

Доказательство. 1) Пусть наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке совпадают, т.е. и функция постоянна тогда производная . 2) Пусть функция непостоянна, тогда она достигает на интервале наибольшего и наименьшего значения. Причем функция не может достигать и на концах отрезка, т.к. и функция была бы постоянна. Значит, внутри интервала есть точка экстремума , .

Геометрический смысл. Если все условия теоремы выполнены, то на графике функции существует точка , через которую проходит касательная к графику функции, параллельно оси x.

Теорема Лагранжа: Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на отрезке , тогда существует точка , т.ч. .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию непрерывную на отрезке , дифференцируемую хотя бы на отрезке : . Тогда , а , т.е. выполнены все условия теоремы Ролля и существует , т.ч. . Следовательно, , .

Из теоремы Лагранжа следует формула конечных приращений: .

Геометрический смысл. - угла наклона секущей (хорды), стягивающей точки и графика . - угла наклона касательной к графику функции , через точку касания . Если все условия теоремы Лагранжа выполнены, то касательная проходящая через точку , параллельна секущей (хорде), точки и графика .

Теорема Коши: Пусть функция и непрерывны на отрезке , дифференцируемы хотя бы на отрезке , , тогда существует точка , т.ч. .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию непрерывную на отрезке , дифференцируемую хотя бы на отрезке : . Тогда , , т.е. выполнены все условия теоремы Ролля и существует , т.ч. . Следовательно, , .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов решённой задачи