1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (780678), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть г — отображение, ставищее в соо чветствие точке (х, у) Е Е точку (г, гн) ей"нк, опредслепиуго равспс гном (бб) г !(х, у), те=у. догла РОК'()г). Поскольк) !(а, Ь) — О, то ! (а Ь, Ъ и-!г) Л (Ь, !г), г (Ь, !г), сле г--.остггток, участвующий в определении Р. 11з того что Гл. 9.
Фцнкцеги неекилькик аеременник Теорема а разлиженигг 239 *э :,:л"3;,,'ал!;" ".г'., '";-*,,'..'. "' ..*,, к",'-""к *.:"-. .;.; ке" 'М ' 'ле,ем .л *, *.э е::",к:; ех':,"': ,.:,'..* к) т'. лх и ",~",л :„...,...'„.,*;;. ° .ук „в.. ':. л*. а "О л;;, ',"'', '; ',ге "':~,.;. "ж ги и * г е Гиле г'*~'ч !1.'!:, ал ,,г'.л:,": .', и гик :.*;:. к. :,,е,а'*-" и:,'. -л' 'а ми т ' ';;, '"",,1 'л ,;:,:, "-:":::-,'-::еа, "и:~л ..'л! ';". ч, ее йи', г Говд» сугп)сегеггнуге'ггг огггк)гыеггое лгнсгесесеггво (I а гг)госггг/гегггсгггвс л( тпкос, нрт а Рб', (У с: Е и (и) Г, ((г) — оеикрытог лггггггкссгггае и )',; (й) дгя лгобоео уГГ, (с)) срггеесеггаггсггг ровно одггн уес)'а, такой чгио Геометрический смысл утвсржлсния (Ь) таков: Г((') — это ее-кгсрнагг поверкностьа в у, причем «яадгг каждой точкой мггожествв Г, (()) лежит ровно одна точка этой поверхности.
г'(ы совегусм читателкг набросать чертеж для случаев, когда числа р, ** и' .'...'а тел;: Таким образом, (43) Ф(г) =Лгг+е( (г) (гсГ), где е((г) е)ль г- г, —,'-ге, г, Елг, г,бЛе. Сот.часио (42) н (43), Г, (~l) — это множество всех точек Лг„ тле г ( Г, Поскольку Г егтгерыто, а ), — мпожсс гво значсшгй оиг- бражеиня Л, то утверждение (и) теоремы доказано. гг )тобы доказать ((г), достчгточгго проверить, что Ф(г) зависит только От г,. Зафиксируем гсГ.
Согласно (42) и (43),') (44) Ф' (г) —.— Г (и (г)) д.'„,(г) -.—.е,.4„.-,)агсе„.'л(гг) ...,, .„„ '!...':,.;,ве",'.е;,."'.:!;;::;; *,кеа .к **,*с м ." *; *:... "'.* вегсм г, г, С л 9. ! июгяии нггхглихих пгреюгиислх Оиресселссисглсс 241 сели с т; из (52), кроме того, следует, что еи ' (,и+с (у) =- еи,.
1, (Ви,х) =-' «ис'у. иие, мм получаем (15) е;.1„,(х). е, х (1 л. с -.= пс) ... 4 с сп Зс)с гь с а же)ое ((с, — простое 'б'-отобрасиенае нс которой окрестногссссс точки О, я,,(0) — О, и каьдсе Вс, — линестие осссобраохение на (с'. причем .ссссссс сссстслдессссиенссог, либо мгнясоа(ее гиегтасиа каксссо-нсссс!сс)ь ос>нр псцнс координшп. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пс сложим 1- 1,, и п) гть 1 .-.' сп -. и. Прихсеьс следусонсее иссдуктипное прслиоложенпе (очевидпо, справедливое ири т — 1): 1,„отображает окрестность точки 0 прострассства сх" в пространство Я", 1„, --отображение класса 'В', преобразовассие А„- 1;л (0) обратимо и Следовательно, („„удовлетворяет предположеииго индукции с т р! вхсесзсс сп, п построение можно продолжить, Переписывая (51) в виде (50) 1„, (х) .: 1„„; (аи, (В„х)) при пс-.
1, ..., и и замечая, что 1„» — то кдественное отображе- Опреиелиспели 242 с л. ь'. Функсгии нескольких нерененных 9.22в Т с о р е и а. (а) Естс 1 — тождесгпвенньпс огсерагпор на Р", то с)е( [1[.=. де((е,, ..., ео) .—.- 1. ((с) с)е1 — лпнеппая функция пп каждому ссз сгполбцов х;, всоси остальные фикасргеваны. (с) Еслп [А[, гссссуссаегссся пз [А! гсереспсансссксссс двух спсолбцов, то с!с1[Л), =- — с[с![А). (д) Если матрица [А) имеет два равных сто сбцп, гпо с!е1 [Л [ = О. Доссвзателс ство. Если А - 1, то а(с', с)--1, а(1, 1) =0 РРИ.
с,+,(е. д(сд;;:!1тн .., .о':". " *'тсия няь; ...,.,::...,...,,;:...;"::,: . '...,::,,... еоь::ь,...,;:.;,.:.о;::ь П вЂ” ". е":.ьа::.-„ *;"хьс'*;„лС ' „:: а *,, '*;;:*': ь „.и":;::л:ьь ,' 'я"" '„,*. Подставляя (61) и (60) в (59), мы получаем с!е1([В) [А)) -- с~ а (с'„1)... а (сп, гс)1(с„..., си),' ве1[В), каковы бы ии бкьчи матрицы [Л! и [В). Полагая  — 1, мы вссдиь, — сдим, что сумма в фиг)рьсых скобках равна с!с[[А!. Теорема доказана. 9.25. Теорема. г(сснс'сссссссс оператор А на йи обрапися тогда и псолько спо'дп, ко,да ос! [Л[:Л !с.
о 1о к а з а т е л и с т в о. Если Л обр;ыим, с сс, как показывает теорема 9.24, с[е11с)! с[с(1 1-с! -,,-,1, си сод,ге.)ин,.гл.ьз ьх Гл 9. Функции нееквЛьких Переменных Иннэеерирсваниг Поэтому определитель хэаэриээы линейного оператора не зависит от базиса, которыя был использован для построения матрицы. Таким образом, игисгт сл|ысл говори|ив об опредгл|инглг линецкого оиграиэори, ис и,игя лри ли|ил| в виду никакого базиса. 9.27. Якобианэл. Пусть Е отображает открытое множество Ес: Еэн в п)эострлпстао Еэ'". Если Е диффереээцээр)схэо в точке хЕЕ, то определитель линейно|о онератора Е' (х) назывглтся якобианом отобра|кения Е в точке х.
Якобиаи отображения Е в точке х обозначается символом !е(х), так что (бб),Е|(х) . де(Е'(х). число Ев, которое называется ингпегрилом функции ! ио )г-киги|хе !' и заиисывается в виде ~ Е(х)г(х или (бс~) |и Па первый взгляд зто определение интеграла за|щсит от порядка, в котором производится (г однокра.|ных интегрирований. Однако что только кажущаяся зависимость.
Чтобы дээказ:эть зто, введем временно о||озпачение Е,(!) для э|э|тетрада (68) и ! ' Š— для интеграла, возниьа|ощего в результате )г интегрирований. произведен- йнгиггрираааниг 24в Гл. Ч гдрнннии нггнальхих 11гргмсннслх Может показзт1ся заманчивым распрострш1нть это определение пнте1рала по пространству Р' нз функции, которь1с служ1г1 пределзмн (В некотором сл!ь1сле) нсп[ге(и1пиых фл пкций Г компактными иосигслями. Мы не хотим обсуждать условия, при которь1х это можно сделать; этот вопрос уместно решать с помоШью ивтсгрзлз Лсбега.
Мы лишь о1 шнем один очень простой прихгср, который будет использован при дш;зззтельстве тег1релн1 Стокса. 9.31. 11 ример. Пуст1 (,~" есть й-симплекс, состоящии из всех точек х =(л,, ..., лл) прос1р;шствл Кл, таких, ио х,+,+хи -,'1 и лч ' 0 прн 1' = 1, ..., ио Если (г . 3, например, то Я" — это тстуа: Д11,С ВЕРЦ1ЦНац11, (),,Е, Е, ЕЛ, ГСД;,,,1 ЦУ1 йр(исЛ М,нэвмпхлисис; 1'- эс л,* ..
-". 1',"!;.,л.м, ""',.гг тогда' ,7гл 1 (у) --(л (7!) , (у), г, г , '1" ~' прп всех уЕ )л ', так что '~ (7-0':=: ~7 ;л Отх1етнл1, что нг.равенство (71) справедливо вне зависимости от порядка, в котором производятся сг однократных интегрировании; ввиду того что Р Е О (!'), на интеграле ~ р не сказывается никакое изменение этого порядка; (71) показывает, что то же верно и в о1иошснии ~ 1. 218 Гл. д. Фрнкцигг месквлыо~х перелгенньи ?!и ргагр мравин не 249 или направления. Мгя встанем на другу~гг точку зрения, когда если 2-: / ..р, Легко проверить, что будем заниматься интегрированием дифференциальных форм по поверхностям.
Д о к а з а т е л ь с т во. Из только что сделанных замечаний В ка кдой точке множества К обращается в нуль хгмя бы саин ел~дует, что (72) справедливо, если Т вЂ” простое 'с'-отображение из сомножгпелей последнего произведения, так что ~ аг (у)-.= 1, (см.
теорему 9.2!), а теорема 9.29 показывает, по (?2) верно если уг ?(. 11оситель непрерывной функции и,!" лежит в 1г(у?), и в том случае, когда Т вЂ” линейное преобразование, чсня1ои[ес так что (72) выполняешься при каждом о,/. Из равенства !'.== ~ гг,? местами две координаты. следует, что (72) справедливо и для ?, Если теорема верна для отображений Р;Ц и если 5(х) =-Р(х?(х)), то 9.33. О предел е н не.
Пусть ? — вещественная функции, опРеделеннаЯ иа откРытом множестве Л 9;.Р,"в.р„час(11ых)и пРопз .;9ч,",'.-,'!„~""-"„, рл„,";.'гссаир,"д.".'а..",,"„!;.та;"„"-,Хл". '":х::"" ';".'.':,'.':,'.':,' ' ' '.''" "" .";", """.': -.',".'.',".'.',"'; в('"'.' ~"".?';."" ь::."~?бн'=и .';;,'„,"„'„" '"„; „', „' „''„; „";,"",",',', „,"„,"„;"„,;;,', „'„„" ":."'ганг;."'~х:";."":' ';")г 11и44еренципльные 4срмы 225! .; к:;,х".," !",ь' 4:, хдэ.':'эр"!': '..'-":: ъ'с.с 250 Гл.
9. 4анкции нескилькил иерсмсннык по основной теореме интегрального исчисления, а цо теореме 9.99 зот же результат получится и для ~ йэм~, что противоречит и неравенству (?4). Дифференциальные формы В этом разделе будет частично разработан аппарат, необходимьи~ для теоремы Стокса. До снх пор мы расеи;привали производныс функций нескольких ПСРЕМСННЫХ тОЛЬЬО ДЛЯ фУНКЦИй, ОПДС Ц,йскН)ЦЬУ,' Н1Д,СДтьд)1йтлкйт (индексы (о, сн независимо пробегают множество 1...., и) и сопоставтяюгцая каждой й-поверхности с1> в множестве Е число си1гР) — -- у ьэ В соответствии с п)эавитом д(к;...к;] 1?б) ~ =- ~ Х,...', <а < )),= "- где Π— множество параметров поверхности Ф. Функции а,, предполагая>тся веи1ественными и непрерывно ' ''к пыми в Е.
Если ць ..., цн — компоненты отображения Ф, то яко- Дифференциильнае Форма Рл. 9. Функции нееколькил переменные ;,*"'. *а~:.*;:,ни *;:лт': Сл.'„"'-сеете.;"*.-н, '"; .,',",.'* иу!" !Л~;*'-:":"*, ь'; д„::-',," ик.х ".*Гио.хьд' ФОР--Д .Е:-;-*...ОЫ."'Ни-:"- "гг*.*де.':*-',К Ли.!'-О В частности, — ы определяется так, что (78) ( — ео) =- — ~и, н ы=ы,+ыг означает, что ~ы=~ы,+~о~в Ф Ф Ф для всех ее-поверхностей сР в множестве Е.
Согласно (78) и (76), из того, что определитель меняет знак сел,'*."'х -; "."' * . *,"":"' *: -": 1"*'й . ь-;.''.. в "':- ' ~ хт т и". *.. ~ и г . то ~ 'и *:* ли У' ч со у ь ин. - -; ':. О-форма класса Ж' в Š— зто просто вещественная фрикции 7 Е'ть'(Е), и мы полагаем, по определению, (88) г)( =- ~' ()л,)) (х) г(хь ~=! Если го=-д)', где ри- базисная )е-форма, то ее производной иги называется (Й+!)-форма (84) е(ьо =- (и)) ~ () ', где г() — то же, что в (88), а произведение понимается в смысле Гл.
й. ерднннии неонолькил переменных Ввиду того что 0„/= Ел/ и г(х,/ г(хе= — яхт/~дхо мы видим, что Р/=-О. Если ы=- Д3", зо г(ги=-(е(/)/,()', а так как г(фи) -О, то из (85) следует, что г)'ги.—. (г(и/)/,ри = О. 9.41. Определение. Пусть Š— о~крытое множество в пространстве Л", Т есть Ж'-отображение ьпюжесзва Е на открытое множество Р с: К'', а и~ есть )е-форма и )л: го =.,» и,,; (у) Лу;,/',... /~г(у;ь. Тогда Т преобразует форму го в )оформу и>, в Е, заданную следующим образом: оьг = /т фи)т то (89) и (6) показывгпот теперь 1то ! г! (ьье) .. е(Цт)/~ф ), (гЦ)г/,ф ), ((г(/)/(р") = (г)и') т. Тем самым доказано и (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
