1597389583-77efa643b8b6e15776de36435de667a4 (780678), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Следовательно, фупьпия р' аддптпвна на %е(р). кусти теперь А Е %) (и). Тогда А можно представить в виде объединения счет1юго множества нгпгретгканицихсл миои еств из Ие(р). Действительно. если А=- ()Аи где А;,ЕИг(р), то положим А,=А; и А, =. (А; ()... (),1;,) — - (А; (,'...
() А;, 1) (и =-2, 3, 4, ...). Тогда — () е1, (Зб) 281 Построение ягела Лебсга 2ао Гл. 1гн Теория Лебега Пусть А б !))) (р), В Е % (и) и А= () А„, В=- () Вн, я=- ! я=..! где Ан, Воб%г:(!!). Тогда тождество показывает, что Ля ДВЕ%(р), а гак как !г*(А ()В)<1!" (А ): ! (г!) Если Л р % (р), то существуя>т борелевские миожества Е и 6, такие, гто Ес:А~6 и (40) р (6 - — А) =- р (А — Р) =- О. Это следует из (б), если взять е =- !г'и и положить и — со. ! !оскольку А — Г () (Л вЂ” Е), мы видим, что каждое А ь Ч! (!!) представляет со!бог! объединение борелевского мпожества и множества пулевои меры. Борелевские множества р-измеримы прп каждом р. Ио ошожества меры нуль (т. е.
множества Е, для которых р'(Е)=-0) могут быль разлплшыми для различных р. Гл. 10, Тюрях Лиана мерой Лебсга на промежутке всшсствсииой прямой. 1.!а самом деле основные черты теории с гораздо большей ясиость1о проявляются именно в общей ситуации, когда хорошо видно, что все зависит только от счетной аддитишикти меры р, определенной на некотором о-кольце.
Нам б)дст удобно ввести обозначение (41) (х)Р) для множества всех элементов х, обладзкицил свойством Р. Нзмеримые Функиии Доказательство: (х~~((х)' ,= а)=(х')(х) а)()(х>)(х)) — а). 10.1 '. . 7. Т е о р с м а. Пугни ()я) — пооледоаапгельность измерияиях 4ункдий. ! 1Ри х Е Х положим д(х) ==-зир)'я(х) (и=- 1, 2, 3, . ), й (х) 11п1,'„(. ).
я-» Тогйа 4инкции а и й изле римы Тя. /О. Теория итебега Ингоегрироеоние 264 =- () (х (( (х) я (х)) Е Уо) и",; . г "хе ь' ч ек-" .-.. 'е.~;и ...:;, з'йв ,:.,:.".Ь.. „е*",:".. "хя ги: иь:.'.; ",осе кс:. .:и ил. г'з*....'л . .я,;...Г г ',.:" ' ° е.,'. ',"., "*'. . лкь" ""',.: Поскольку множество (х'а„<) (х) < Ь,) =-(х'((х) >пи) () (х~((х) < Ьо) измеримо, то множество (х~(((х), д(х))Е)„) = (х',пи<) (х) Ье) П(х'',со<у(х) <Ло) измеримо, Значит, то же верно и в отношении множества (х й (х) .
а) =. (х, (~(х), гг(х)) Гб,) =- Тогда (49) 5-: ' гКх ~ — — ! т. е. каждая простая функция представляет собой конечную липейпучо комбипацию характеристических функций. Ясно, что з измерима тогда и только тогда, когда мкожгства Ео ..., Е„ измеримы, Оказывается, любую фуикцюо можно приблизить простыми фуикцпялш, :".' чз:.:: ".: ».;-:-"", "..- -.:.,::.': ': .:с": Интеерироеанпе Тх. 'ей, Теория ЛетГега ~ ( г)р:.с ~ ре(р ьп ее енп, О--., е.
," ее '"".~,"..., '-' и,'.' ' *. Ел"", е . ") излн.рима, и пусть ТУЕ%). Положим 1 (52) !г. (Х) =,' с,р(Е() Е,). Если ф)пьция ( измерима и неот)ипгатсльна, то мы опрецелим (53) ~ / (р — -' р (~ ('). где исркиип грань берется по псом прость1м функциям, таким ято О:. з--.) .
'ее;.", 1";,";ьа,*',*Х е .' и'-*,'.,'.' „, „" '" ...,Ие.'.",л ь ''.; ':„'~" ' (6) Если ( измерима, причем О.- )(х)..-(е при хр~е а,(/е) (-, :со, то р р(е):.== ~ И( =.-'. ьр (е). ) (с) рсези ( и хе,е. (р) па Е и если )" (х)<у(х) при всех ХСЕ, то 2в9 Иегагграраеанае Если епк!жество Гл. !О Теорие Леаееа (л 1'(х) =,-'- р(х)) () Е ее Если 1 — простая фуплция, то 1 имеет вид (51) и утверждение леоремы также выполняется. В об!пем случае для каждой простой измеримой функции з, такой, что Осе ае 1, имеем «4! — ее! ~ ае(1г- ! ег( а).
,! а —.— ! Л„ =.1 11оэтому, согласно (53), бе!с!! (А), ~, (Л ) имеет меру пуль, то мы будем писать 1 ° д на Е. 1'огда из 1 а следует, что и 1, и из 1 — и. се й след)ет, что 1' — )с Эго значит. что омкппснис есть отпогпеппс ьквива лсптности. Если ) д па Е, то мы, очевидно, имеем для апобого измсригппо подмпожсства А множества Е ( 1 г)п . ~ д е(п пн IО. тгарпя Лглага Инагггриррванпг г, г:: сходящиеся интегралы, и ири изучении некоторых проблем это даже существгнно, г)о у этих шгп тралов отсугстнук>т наиоолее почезиые свойства гп1тег!зала Лебега, и они играют в анализе нссколько лгеиее важную роль. 10.27.
Теорема. Пуггоь фуню(ия !' изачеримо на Е, ') ~.'.:д, и и с 2' (и) ни Е. Тгн'ди г' С Х (р] ни Е. Доказательство. 1!меем ! ~д и ! . д. 1028. Теорема Лебега о монотонной сходи- мости'). Пусть ЕбИ. г)усть (!а) — токая гюследоноо ельность Уст!зехгим в (701 и к со. Поскольку интеграл--счетно-аддггтивная функция множества (теорема !0.21) то, как показьшае (з ), можно применить теорему !0.3 к последнему интегралу в (70), и мы получим (71) сг'.г с ~ зг!)г. Устремляя с к единице, мы видим, что та~им, Е г г ь ' Г - З:..;,,/* ....',*:.!: С н::; З г Х З- ":.
",*.'1 Г'; . *...'" "Х: .*; ',* '*".', *,ф '.: .' - !ь "' г"': с.,*, ь: д:;:" ':: Л1*'.; ь ' з х, н " ": „...:-: ": .Е:„г "! *., '" *:".»:',*. и. а' г Гл. 70, Тгарнн ,табага 1 1", с(1~ .= ~ ) Ни — ~ ~зди, (75) и ~ 1йр=- ~ (,Йр+ ~ 1',ф (1-=1, 2, 3, 4), и (73) вытекает из (74) и (75). В общем сл)чае мвожество Е можио разложить иа четыре множества Е„иа каждом из щпорык 1, (х) и 1а(х) сохраняют зиак. 1!з доказаижяо следуез, что Интаграраванна Тогда фуикиия да нзмерима па множестве Е и (78) 0:.=.д, (х) = д,(х):-...., (70) д„(х) 71„(х), (80) р, (х) —.
1(х) (и — ао). Согласно (78), (80) и теореме 10.28, (81) ) д„г1р —. ~ )с(р, и с 295 Сравнение с ннтеералам Римана 294 Гя. 1й. Теария Лепееа так что — ~ ~ е(р . )ип ( — ~ )„с(р~ Е н Ье а это значит, что (86) ~ (с()е>!ип ~ )„Й)е. Существование предела в (84) и равенство (84) теперь следуют из (86) и (86).
Чтобы отличить лсбсгоп интеграл от иитсграла Римана, мы будем этот последний обозначать так: З2 ')1)з О !0.33. Теорема. (и) Если,!~Я нез (а, Ц, рло 1Е "б на (а,б! и е Ь а (82) ~и. ==я~И.. Гя. 70. Теория етейега г««7 и ~ (.'и г(х - » ~ (.! с(х, ~ ! « ~(х — » ~ ! е(х, ! а Интегрирование комплексных функций Пусть ) — комилекснозначная ф«нкция, определенная на про стреиктвс с мерой Л, ! =- е«.1- г«:, где и и .
—.вецгествеины Мы будем г«~ве«рп«га что функция ! измеримв, соти обе функ ! ции и и о пзм«римы. Легко проверить, что суммы и произведения комилексныл измеримых ф«нкпии снов ег««срп««ы 11«теорс,1ы !О 18 сяе ~уст гак что из (88), (91) и (92) следует, что дз!) 7!на«егр««регине«е хамил»агния фвяеии«й и (9()), (е«9) («98) ~ (/Ил —. ~ !.г!х ..е! ~ 7е(х, что ); — измеримая функция, если измерима комплекснвя фун««вЂ” Пе«с~ «лы'У !.(х) --. ! (х):::('(х) ~ а (п, ! ~, то первое вз равенств 1 ция ), твк кпк ..,(9:5) пдк«тУЫВ«1~;~е..
«то„„, „„, 298 Г. 19. тес .9 а 299 Функции класса Же Функции класса Х' В качестве приложения теория Лебега мы изложим обобщение теоремы Парсеваля (которую мы доказали лишь для непрерывных функций в гл. 8) и докажем теорему Рисса — Фишера для ортонормальных систем функций. 10.34. Определение. Пусть Х вЂ” измеримое пространство. Мы будем говорить, что конг:лексная функция ) принадлежит классу д,х(р) па Х, если ) измерима и ( й 1нн ~, что все, кроме одного условия н. 2.17, выполняются. Дело и том, что из равенства 9 ) — о ~ =- 0 не следует, по ) (х) = д (х) при всех х, а следует только, что 7 (х) =-д(х) при почти всех х.
1'аким образом, если мы отождествим функции, отличаклцисся только на множестве меры нуль, то Х'(р) оказывается метрическим пространством. Рассмотрим теперь Ух на сегменте вщиественной оси с мерой Лебега. 10.38. Т е о р с и а. Непрерывные функдри образуют всюду плотное гиноагсство в Ж' ни (а, О). Зог гианкссисс клогго .у"~ зс)о Гл. ГО. Тголоя Лгбгго 10.39. О и р е д е л е н н с.
Мы будем говори ггн что последов;нсльность комплексных функпнй (г(ь) есть орггсангГыгпльнсгя снсгема функнггрс на измеримом пространств( Л, если 0 (и =- ги), ~ 9.1. 1 (и — иг). Ет частности, должно вьнголняться вьлсочение гЕ„Е Хо()с). Если ) ЕХо(р) и если го — ~ )гб, г!Р (и 1, 2, 3...), Значит, но теореме 8.11 (в случае Хо) при и'г Л' имеем от~ уда н следует (99). 1'авснство (100) можно вывести из (99) так же, как при доказательстве георемы 8.16 Следствие. Еслсс ) ЕЖо на 1 и, п) и еелсс и (и =- О, гЕ 1, -г 2, ...), ) (х) е — "' г(л =- 0 , и,, е,,г ьт .„., 0„ Гя.
ГО. Тгорив,7ебега Фкнкчии класса кэ почти всюдт на Х. Поэтом, (103) Х 1).ь,, » - 1„, (')~ ~ +- а почти всюду на Х. Действительно, если бы ряд (103) раскодилси на множестве Е положительной меры, то мы могли бы выбрать фушпнпо гг отличной от нуля на множестве положительной меры, содержащемся в Е, и прийти к нротиворечшо с (102). Поскольку й-я частная сумма ряда ..,~'„йг,ггк,г, „ге~0 Дока за гельство. Если п)пк то () а„- — э„~)'-.:! с„„, ~'-,'-... -' , 'г, ', так что (а„) — последовательность Коши н Ха(р). По теореме 10.42 существует функция ) с.'б"-(р), такая, по 1)п~ ~ )',г„;, О.
Теперь при и ) й Я~с()т — сч —: ~ )гга г()ь — ~,т„~(, г)Р Гп. !О Тач1ия,тебееа Упражнения 5. Положим 0 (О <х.. 1/2), д(х) = 1 (1/2 < х ==. 1). (107) 7осда 1ии /„(х) = 0 (О < х.=" 1), ~~,-.1 =Ь,. ~е то н эо ио (108) В силу теоремы Рисса -Фишера существует функция а~Ма(р), 11 такая, что и ~, г„с(, и=! и )< д — а„!~ —.. О. Значит, !' я„—..", д,1.
Поскольку 1~ яа (е — ~ с1 ~'+ - -',-' ,сп ~', /2> (х) — д (л) Ь,+, (х) — у (1 — х) (О еж х 1), (О.. х < 1). зог, Гть га. '!ее иг~л Леьееа Улрпееления то зто, вообще говоря, неверно. Например, если г'(х) --, ! то ~Е,2:е гга )и, ио г' ~ К гщ Д'. 11. Если ), дЕ К (р) иа Х, то определим расстояние между 1 и д, полагая его равпмм )) — И34г Доказагь, что,'б (г)г) --по)иое мегрическое иростваисгво Указание. При любом А с: Е ь.ги гг1х г(х — ' О и и 2 ~ (йгггггх)ег!х= ~ (1 сов2пьх)г)х — лг(Л) прп )г — ~аз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
