Построение инвариантов для полупрямых сумм алгебр Ли (779931)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì.Â. ËîìîíîñîâàÏîñòðîåíèå èíâàðèàíòîâ äëÿ ïîëóïðÿìûõ ñóìì àëãåáð Ëè.Äèïëîìíàÿ ðàáîòà.Àâòîð: À.Ñ.ÂîðîíöîâÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü: À.Ò. ÔîìåíêîÌîñêâà, 2007 ã1 ÂâåäåíèåÏóñòü G àëãåáðà Ëè. Äëÿ ôóíêöèé íà äâîéñòâåííîì ïðîñòðàíñòâå G∗ìîæíî îïðåäåëèòü åñòåñòâåííóþ Ïóàññîíîâó ñòðóêòóðó, íàçûâàåìóþ ñêîáêîé ÏóàññîíàËè. Ãðàäèåíò ôóíêöèè f : G∗ → R ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòüêàê ýëåìåíò èç G è çàäàâàòü ñêîáêó Ïóàññîíà ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:{f, g}(x) = hx, [df, dg]i.(1)Îïðåäåëåíèå 1.
Ôóíêöèè f è g íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè, åñëè èõ ñêîáêàÏóàññîíà ðàâíà 0.Îïðåäåëåíèå 2. Íàáîð ôóíêöèé {fk : G → R} íàçûâàåòñÿ ïîëíûì èíâîëþòèâíûì íàáîðîì, åñëè âñå ïîïàðíûå ñêîáêè Ïóàññîíà {fi , fj } = 0 è âíàáîðå ñîäåðæèòñÿ 12 (ind G + dim G) íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé.Ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü âòîðîå óñëîâèå â îïðåäåëåíèè ñëåäóþùèìîáðàçîì: íàáîð íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè íà ãðàäèåíòû ôóíêöèé èç ýòîãîíàáîðà íàòÿíóòî ìàêñèìàëüíîå èçîòðîïíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.Ãèïîòåçà 1 (À.Ñ.
Ìèùåíêî, À.Ò. Ôîìåíêî ([1])). Ïóñòü G âåùåñòâåííàÿ èëè êîìïëåêñíàÿ àëãåáðà Ëè. Òîãäà íà G∗ ñóùåñòâóåò ïîëíûéêîììóòàòèâíûé íàáîð ïîëèíîìîâ.À.Ñ. Ìèùåíêî è À.Ò. Ôîìåíêî äîêàçàëè ýòó ãèïîòåçó äëÿ ïîëóïðîñòûõàëãåáð Ëè, çàòåì â ðÿäå ðàáîò ðàçëè÷íûõ àâòîðîâ áûëè ïðèâåäåíû äîêàçàòåëüñòâà äëÿ ìíîãèõ äðóãèõ ñëó÷àåâ.  îáùåì âèäå ãèïîòåçà áûëà äîêàçàíàÑ.Ò. Ñàäýòîâûì [5], ýòî äîêàçàòåëüñòâî ïîäðîáíî ðàçîáðàíî â ðàáîòå [4].Öåëü ýòîé ðàáîòû èçëîæèòü íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû, ñâÿçàííûå ñ ïîñòðîåíèåì èíâàðèàíòîâ è ïîëíûõ êîììóòàòèâíûé íàáîðîâ äëÿ àëãåáð Ëè,èìåþùèõ âèä ïîëóïðÿìîé ñóììû ñ êîììóòàòèâíîì èäåàëîì.  ðàçäåëå3 ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå êîíñòðóêöèè, ïîçâîëÿþùèå íàéòè ïîëíûå êîììóòàòèâíûå íàáîðû äëÿ Ëè èìåþùèõ âèä ïîëóïðÿìîé ñóììû, â ðàçäåëå7 îïèñàíû èíâàðèàíòû äëÿ àëãåáð Ëè, èìåþùèõ âèä ïîëóïðÿìîé ñóììûêëàññè÷åñêîé ïîëóïðîñòîé àëãåáðû Ëè è êîììóòàòèâíîãî èäåàëà ïî ïðåäñòàâëåíèþ ìèíèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè.2 Îáîçíà÷åíèÿ.
ßâíûå ôîðìóëû äëÿ ad∗ . ÔîðìóëàÐàèñàÐå÷ü ïîéäåò î ïîñòðîåíèè ïîëíûõ êîììóòàòèâíûõ íàáîðîâ è èíâàðèàíòîâäëÿ àëãåáð Ëè, èìåþùèõ âèä ïîëóïðÿìîé ñóììû ñ êîììóòàòèâíûì èäåàëîì. Ýòó àëãåáðó áóäåì îáîçíà÷àòüR = G +ϕ V.(2)Ýëåìåíòû àëãåáðû áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ êàê ïàðû ýëåìåíòîâ (ξ, v), ξ ∈ G, v ∈V , ëèáî â âèäå ñóììû ξ + v .Êîììóòàòîð äëÿ òàêîé àëãåáðû îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéad (ξ1 ,v1 ) (ξ2 , v2 ) = [(ξ1 , v1 ), (ξ2 , v2 )] = ([ξ1 , ξ2 ], ϕ(ξ1 )v2 − ϕ(ξ2 )v1 ).(3)Äëÿ äâîéñòâåííîãî ïðîñòðàíñòâà R∗ èìååì åñòåñòâåííîå ðàçëîæåíèå â ïðÿìóþ ñóììó R∗ = G∗ + V ∗ , G∗ = V ⊥ , V ∗ = G⊥ .
 äàëüíåéøåì áóäåò âñòðå÷àòüñÿ àííóëÿòîð ðåãóëÿðíîãî ýëåìåíòà èç V â ñìûñëå ïðåäñòàâëåíèÿ ϕ.Çàôèêñèðóåì äëÿ íåãî îáîçíà÷åíèåHa = Annϕ (a) = {ξ ∈ G|ϕ(ξ)a = 0}.(4)Èç âûðàæåíèÿ äëÿ ad íåòðóäíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ad∗ :ad∗ (ξ,v) (x, a) = (ad ξ x + A(a, v), ϕ∗ (ξ)a).(5)Çäåñü A îòîáðàæåíèå A : V × V ∗ → G∗ , êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåìhA(a, v), ξi = hϕ(ξ)v, ai.(6)Èíîãäà óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü ãðóïïó Ëè G ×Φ V , äëÿ êîòîðîé àëãåáðàËè R ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì â åäèíèöå. Óìíîæåíèå â ýòîéãðóïïå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé(g1 , v1 ) ◦ (g2 , v2 ) = (g1 g2 , v1 + Φ(g1 )v2 ).(7)Ïîëåçíà áóäåò òàêæå ÿâíàÿ ôîðìóëà äëÿ Ad∗ :Ad∗ (g,v) (x, a) = (Ad∗ g x + A(a, v), Φ∗ (ξ)a).(8)Êîëè÷åñòâî èíâàðèàíòîâ êîïðèñîåäèíåííîãî äåéñòâèÿ ðàâíî êîðàçìåðíîñòè îðáèòû îáùåãî ïîëîæåíèÿ â R∗ (òî åñòü èíäåêñó àëãåáðû R).
Ïîñ÷èòàòü èíäåêñ äëÿ ïîëóïðÿìîé ñóììû àëãåáðû Ëè ñ êîììóòàòèâíûì èäåàëîìïîçâîëÿåò òåîðåìà ÐàèñàÒåîðåìà 1 (Rais). Ïóñòü a ýëåìåíò îáùåãî ïîëîæåíèÿ a ∈ V (âñìûñëå ïðåäñòàâëåíèÿ ϕ). Òîãäàind R = ind Ha + ind ϕ∗ .(9)Ïðåäñòàâëåíèÿ ϕ∗ ýòî ïðåäñòàâëåíèå G â V ∗ , äâîéñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèþ ϕ, òî åñòü òàêîå, ÷òîhϕ(ξ)v, ai = −hv, ϕ∗ (ξ)ai.(10)3 Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ ïîëíûõ êîììóòàòèâíûõ íàáîðîâÍèæå áóäóò îáñóæäàòüñÿ äâà ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ ïîëíûõ êîììóòàòèâíûõíàáîðîâ: ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà è ìåòîä öåïî÷åê ïîäàëãåáð.3.1 Ìåòîä öåïî÷åê ïîäàëãåáðÌåòîä öåïî÷åê ïîäàëãåáð îñíîâàí íà ñëåäóþùåé ëåììå [2].Ëåììà 1. Ïóñòü H ⊂ G ïîäàëãåáðà.
Òîãäà ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííîåîòîáðàæåíèå π : G∗ → H∗ . Åñëè ôóíêöèè f1 è f2 íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèèíà H∗ , òî π ∗ f1 è π ∗ f2 íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè íà G∗ .Åñëè ìû óìååì êàêèì ëèáî îáðàçîì ñòðîèòü ïîëíûé êîììóòàòèâíûé íàáîð h1 , . . . , hk íà H, òî ïîëíûé êîììóòàòèâíûé íàáîð íà G∗ ìîæíî ïûòàòüñÿ ñòðîèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïîäíÿòü ôóíêöèè gi íà G∗ è äîïîëíèòüíàáîð èíâàðèàíòàìè êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Ïîëó÷åííûé íàáîð çàâåäîìî áóäåò êîììóòàòèâíûì (ôóíêöèè π ∗ gi íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèèñîãëàñíî ëåììå, a èíâàðèàíòû êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ëåæàò âÿäðå ñêîáêè Ïóàññîíà) íî ìîæåò íå áûòü ïîëíûì. ñëó÷àå ïîëóïðÿìîé ñóììûR = G +ϕ V(11)èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ åñòåñòâåííàÿ öåïî÷êà: G ⊂ R. Ñôîðìóëèðóåì êðèòåðèé, ïîêàçûâàþùèé, â êàêîì ñëó÷àå íàáîð ïîñòðîåííûé ñ ïîìîùüþ òàêîéöåïî÷êè áóäåò ïîëíûì.Òåîðåìà 2.
Íàáîð ôóíêöèé íà R∗ , ïîëó÷àåìûé ñ ïîìîùüþ öåïî÷êè G ⊂R, áóäåò ïîëíûì, åñëè ïîëíûì áóäåò íàáîð ôóíêöèé íà G∗ , ïîëó÷àåìûéèç öåïî÷êè Ha ⊂ G (Ha ñòàáèëèçàòîð ðåãóëÿðíîãî ýëåìåíòà a ∈ V ∗ âñìûñëå ïðåäñòàâëåíèÿ ϕ).Ýòî óòâåðæäåíèå ìîæíî äîêàçàòü èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ðàèñà è âû÷èñëÿÿêîëè÷åñòâî ôóíêöèé, êîòîðûå âîéäóò â íàáîð, íî ýòîì ñëó÷àå ïðèäåòñÿ äîïîëíèòåëüíî çàáîòèòüñÿ îá èõ íåçàâèñèìîñòè. Âìåñòî ýòîãî ìû ïðèâåäåìäîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ â äðóãèõ, áîëåå èíâàðèàíòíûõ òåðìèíàõ.Ðàññìîòðèì ïîëíûé íàáîð ôóíêöèé íà G∗ è ïîäíèìåì èõ íà R∗ .
 êàæäîé òî÷êå R∗ ðàññìîòðèì ïîäïðîñòðàíñòâî P , íàòÿíóòîå íà ãðàäèåíòû ýòèõôóíêöèé. Åãî êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå â ñìûñëå ñêîáêè Ïóàññîíà íàR∗ ñîäåðæèò â ñåáå ïîäïðîñòðàíñòâî P è ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íàãðàäèåíòû èíâàðèàíòîâ àëãåáðû R, òî åñòü ÿäðî ñêîáêè Ïóàññîíà. Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ òîãî, ÷òîáû íàáîð, ïîëó÷àåìûé äîáàâëåíèåì ê èñõîäíîìó íàáîðó áûë ïîëíûì ÿâëÿåòñÿ òî÷íîå ðàâåíñòâîP ⊥ = P + Ker({, }).(12)Ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ â êàæäîé òî÷êå R∗ .Ìîæíî çàìåíèòü ýòî ðàâåíñòâî ñëåäóþùèì âêëþ÷åíèåì:G⊥ ⊆ G + Ker({, }).(13)Çäåñü G îáîçíà÷àåò ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íà ãðàäèåíòû êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé íà G.
Ýòî óñëîâèå ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó 12 â ñëåäóþùåìñìûñëå. Åñëè ìû âûáåðåì â G ïîëíûé íàáîð ôóíêöèé è îáîçíà÷èì ïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäàåìîå èõ ãðàäèåíòàìè P , òî èç 13 áóäåò ñëåäîâàòü 12.Îáðàòíîå (13 èç 12) î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó ñïðàâåäëèâû âêëþ÷åíèÿ G⊥ ⊆ P ⊥è P ⊆ G. Âêëþ÷åíèå 13 äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ïî÷òè âî âñåõ òî÷êàõ R∗ . ýòèõ òåðìèíàõ òåîðåìà ìîæåò áûòü ïåðåôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèìîáðàçîì:Òåîðåìà 3. Ïóñòü R = G +ρ V .
Îáîçíà÷èì Ha ñòàáèëèçàòîð ýëåìåíòà îáùåãî ïîëîæåíèÿ èç V . Åñëè äëÿ Ha ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå Ha⊥ ⊆Ha + G⊥ (çäåñü êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå áåðåòñÿ â ñìûñëå ñêîáêèÏóàññîíà íà G), òî ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå G⊥ ⊆ G + R⊥ (çäåñü êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå áåðåòñÿ â ñìûñëå ñêîáêè Ïóàññîíà íà R∗ ).Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñêîáêè Ïóàññîíà â R â òî÷êå(x, a):{(ξ, u), (η, v)} = h[ξ, η], xi + hρ(ξ)v − ρ(η)u, ai.(14)Âîçüìåì ôóíêöèþ èç êîñîîðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ ê G â R è îáîçíà÷èì åå ãðàäèåíò (η, v).
Äëÿ åå ãðàäèåíòà ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå{(ξ, 0), (η, v)} = h[ξ, η], xi + hρ(ξ)v, ai = 0 ∀ξ.(15)Âûáèðàÿ ξ ∈ Ann a ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ âñåõ òàêèõ ξ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåh[ξ, η], xi = 0.(16)Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî η ïðèíàäëåæèò ê êîñîîðòîãîíàëüíîìó äîïîëíåíèþ(Ann a)⊥ . Ïî íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèáî η ∈ Ann aëèáî η ëåæèò â ÿäðå ñêîáêè Ïóàññîíà äëÿ àëãåáðû G. ïåðâîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì, ÷òî èç 15 è η ∈ Ann a ñëåäóåò, ÷òî{(ξ, u), (η, v)} = 0,(17)òî åñòü (η, v) ëåæèò â ÿäðå ñêîáêè Ïóàññîíà äëÿ R.
Âî âòîðîì ñëó÷àå èç15 ïîëó÷àåìhρ(ξ)v, ai = 0.(18)Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (0, v) ëåæèò â ÿäðå ñêîáêè Ïóàññîíà, îòêóäà ñëåäóåòâêëþ÷åíèå G⊥ ⊆ G + R⊥ .Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îïèñàííàÿ êîíñòðóêöèÿ ìîæåò áûòü ïðèìåíåíàäëÿ àëãåáð Ëè so(n)+Rn , sl(n)+Rn è sp(n)+R2n . Äëÿ àëãåáð Ëè âèäà G+ϕkV k , k ≥ 2 (ãäå G îäíà èç êëàññè÷åñêèõ àëãåáð Ëè, à ϕ ïðåäñòàâëåíèåìèíèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè) ýòà êîíñòðóêöèÿ íå ðàáîòàåò.3.2 Ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòàÎäíèì èç ýôôåêòèâíûõ ñïîñîáîâ ïîñòðîåíèÿ ïîëíûõ êîììóòàòèâíûõ íàáîðîâ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ñäâèãà àðãóìåíòà. Åãî ïðèìåíåíèå îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé ëåììå [2]Ëåììà 2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
