04 3 №4 (Предикаты и алгебра высказываний) (775938)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Алгебра высказываний

Высказывания.

Высказываниями называют­ся такие (повествовательные) предложения, о которых разумно гово­рить, что они являются истинными или ложными. Так, например, ут­верждения «Волга впадает в Каспийское море», «2x2 = 5» являются высказываниями в указанном выше смысле (первое является истин­ным, а второе — ложным). В то же время утверждение «треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны между со­бой» не будет высказыванием (как и всякое определение). Так же,

по видимому, не следует считать высказываниями фразы типа «се­годня хорошая погода» из-за очевидной субъективности понятия «хо­рошая погода». (Заметим, что слово «утверждение», по существу, яв­ляется синонимом термина «высказывание». В том же смысле иногда употребляется термин «суждение».)

Отвлечемся от содержания высказывания. Будем пользоваться только тем его свойством, что оно представляет собой или истину, или ложь. Тогда высказывание можно рассматривать как величину, имеющую одно из двух значений: «истина» и «ложь».

Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами А, В, ..., а их значения, т.е. истину и ложь, соответственно 1 и 0.

Пусть даны два произвольных высказывания А и В. Образуем новые высказывания, истинностные значения которых однозначно оп­ределяются истинностными значениями А и В:

1) А В (или просто АВ обозначает высказывание, которое ис­тинно тогда и только тогда, когда истинны оба первоначальных вы­сказывания. Высказывание А В называется конъюнкцией (логиче­ским произведением) А и В; читается: «А и В»);

2) A В обозначает высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из первоначальных выска­зываний. Высказывание A В называется дизъюнкцией (логической суммой) А и В; читается: «А и В»;

3) обозначает высказывание, которое ложно, когда первона­чальное высказывание истинно, и истинно, когда первоначальное высказывание ложно. Высказывание называется отрицанием А;

читается: «не А »;

4) А В обозначает высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Высказывание А В на­зывается импликацией (следованием) от А к В; читается: «если А, то В». При этом А есть посылка, а В — следствие;

5) А В обозначает высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда А и В оба истинны или оба ложны. Высказы­вание А В называется эквиваленцией А к В; читается: А тогда и

только тогда, когда В».

Символы , , , , называются (логическими) связками; образуемые с их помощью сложные высказывания будут называться формулами (алгебры высказываний). Исходные (простые) высказыва­ния при этом могут быть как постоянными, т.е. иметь определенное значение И или Л, так и переменными. Если задаться значениями всех переменных простых высказываний, то и формула примет определенное значение. Таким образом, каждая формула определяет некоторую функцию, аргументами которой являются переменные простые высказывания. (В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать, что формулы содержат только переменные высказывания.) Так как аргументы и функция способны принимать лишь два различных значения, то такая функция может быть полностью описана таблицей истинности (логической) функции.

Пример. таблицы для конъюнкции и дизъюнкции

Импликация А В , таблица истинности:

Порядок выполнения логических операций в формулах (анало­гично тому, как в арифметических выражениях) определяется «стар­шинством» операций и расстановкой скобок. Действует следующее правило; из двух смежных, т.е. не разделенных скобками операций, раньше выполняется более старшая; если две смежные операции рав­ны по старшинству, то раньше выполняется «левая» операция; скобки

раскрываются, начиная с «внутренних». Далее логические операции, точнее символы логических операций, выписаны в порядке убывания их старшинства: , , , ,

Равносильность формул. Две формулы А и В будем называть равносильными, если при любых значениях , где — совокупность всех переменных, входящих в А и В, эти формулы принимают одинаковые значения. Равносильность будет обозначаться символом «=».

Примеры:

1) х=х;

2) x x=x;

3) х x=y у.

Заметим, что между понятием равносильности и знаком эквиваленции существует следующая связь: если формулы А и В равносильны, то формула А В принимает значение «И» при всех значениях переменных и обратно: если формула А В принимает значение «И» при всех значениях переменных, то формулы А и В равносильны. Справедливость этого утверждения непосредственно вытекает из определения операции « ».

.

Приведем примеры наиболее важных равносильностей. Для удобства обозрения и запоминания разобьем их на группы:

Следующие пять равносильностей получаются из предыдущих заменой на и наоборот:

Любая из этих (и, конечно, других) равносильностей легко до­казывается методом таблиц истинности. Если равносильные форму­лы также и равноправны, т.е. могут быть заменены одна другой, то приведенные выше соотношения позволяют преобразовывать форму­лы к более простому или более удобному виду. (В любой формуле можно заменить любую ее часть равносильной формулой и при этом получится формула, равносильная данной.)

Заметим, что равносильности типа

выражают коммутативность логического сложения и умножения, а равносильности типа

их ассоциативность. Равносильности

называются соответственно первым и вторым дистрибутивными законами, в соотношения "

— законами поглощения. Равносильности

называются законами де Моргана; с их помощью любая формула, содержащая только операции , , , может быть приведена к такому виду, что знаки отрицания будут относиться только к про­стым высказываниям.

Можно обойтись без знаков , , которые выражаются через : , , .Однако и эти знаки не являются все необходимыми. Так как

то всегда достаточно знаков « » , « » или « », « ».

Исчисление предикатов 1^го порядка.

Предикат – логическая функция от произвольных аргументов.

Аргументом предикатов 1^го порядка не может быть предикат.

1. Алфавит

а) константы (а,b,c,’A’, и т.д.)

б) переменные (u,v,w,x,y,z,X,Y…)

в) предикатные символы (P,Q,R...)

г) логические операторы , и др.

д) скобки

е) квантор , «для всех»

ж) функциональные буквы («функтор»)(f₁, f₂,..)fio, fata,..

1. Правила построения формул

1. Каждый предикат – формула

2. Если m формула, то m – формула

3. Если m формула, то (m) – формула

4. Если m₁ и m₂ формулы, то m₁ > m₂ формула

5. ( )А( ) – формула, где

X₁ – связанная переменная,

А( ) – n – мерный предикат

1. Аксиомы:

- аксиома спецификации

если m не зависит от t

1. Правило вывода

1. modus nonens

2. правило обобщения

Теорема Черча:

Логика исчисления предикатов неразрешима.

4

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)