Конспект 3-3 (774780)

Файл №774780 Конспект 3-3 (Конспект лекций)Конспект 3-3 (774780)2017-06-07СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

АФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Трехмерная графика обозначается 3D (3-dimension). Однородные координаты описываются четверкой чисел (x,y,z,1) или (hx,hy,hz,h) при h0.

Каждая точка пространства, кроме начальной точки 0, может быть задана четверкой одновременно неравных нулю чисел, эта четверка чисел определена с точностью до общего множителя h.

Далее аналогично двумерному случаю используем матричное описание основных преобразований.

  1. М

    атрица переноса

2. Матрицы вращения в пространстве

a) вращение вокруг оси абсцисс на угол 

 1 0 0 0 

 0 cos sin 0 

Rx =  0 -sin cos 0 

 0 0 0 1 

б) вращение вокруг оси ординат на угол 

 cos 0 sin 0

 0 1 0 0 

Ry =  -sin 0 cos 0 

 0 0 0 1

в) вращение вокруг оси аппликат на угол 

 cos sin 0 0 

 -sin cos 0 0 

Rz =  0 0 1 0 

 0 0 0 1 

  1. Матрицы отражения

а

) относительно плоскости xy

В
общем виде, если есть матрица преобразования

то соответствующее ей преобразование можно записать в виде:

  1. Матрица растяжения-сжатия

  0 0 0 

 0  0 0 

D =  0 0  0 

 0 0 0 1 

где 1 коэффициент растяжения вдоль оси абсцисс;

1 коэффициент растяжения вдоль оси ординат;

1 коэффициент растяжения вдоль оси аппликат.

Пример пространственного преобразования: пусть требуется построить матрицу вращения на угол  вокруг прямой L, проходящей через точку A(a,b,c) и имеющую направляющий вектор l=(l1, l2, l3)

(см. рис.30).

Алгоритм преобразования:

а ) перенос L на вектор –A(-a,-b,-c) - L 

в начало координат, матрица [ T ];

б) совмещение оси аппликат oz с L L’’ y

п оворотом вокруг оси абсцисс на угол  A

( матрица [Rx] ) и вокруг оси ординат на  

угол , (матрица [Ry] ); L’

в ) вращение вокруг L на заданный угол x

 (матрица [Rz] ); O Рис. 30

г) обратный поворот вокруг оси ординат на угол - (матрица [Ry]-1);

д) обратный поворот вокруг оси абсцисс на угол - (матрица [Rx]-1);

е) перенос на вектор A(a,b,c) (матрица [ T ]-1).

Полная матрица преобразования образуется как произведение

[ T ] [Rx] [Ry] [Rz] [Ry]-1 [Rx]-1 [ T ]-1 .

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Плоскость может быть описана уравнением вида:

Ax + By + Cz + D = 0,

где A2 + B2 + C2 > 0.

Коэффициенты A,B,C задают координаты вектора нормали плоскости аналогично варианту 2D (см. рис.31).

П лоскость делит пространство на два +

полупространства ( положительное и отрицательное), n

и нормальный вектор направлен в сторону

положительного полупространства.

Рис.31

Уравнения прямой В ПРОСТРАНСТВЕ

Для прямой, проходящей через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) в трехмерном пространстве, можно записать параметрические уравнения, описывающие все точки прямой:

а для описания всех точек отрезка прямой (M1,M2) используется запись:

или канонические уравнения:

Общие уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей:

Переходим к параметрическим уравнениям


Отметим некоторые свойства полученного описания прямой:

  1. Н

    l1 = B1C2– B2C1

    l2 = C1A2– C2A1

    l3 = A1B2– A2B1

    Направление выбирается так, чтобы

    векторы n1 и n2 образовали правую тройку.

    аправляющий вектор прямой всегда перпендикулярен нормальным векторам плоскостей, линией пересечения которых является эта прямая. Тогда легко вычислить параметры вектора l = (l1,l2,l3) (см. рис.32), которые определяются как

Произвольная прямая может рассматриваться как линия пересечения различных пар плоскостей, и поэтому возможно большое разнообразие в их уравнениях, а в параметрических уравнениях параметры определены однозначно и задают координаты направляющего вектора прямой.

Условия принадлежности произвольной точки

внутренности выпуклого многогранника

Задача принадлежности решается аналогично плоской задаче. Простейший случай – пирамида (см.рис.33). Пусть ее грани лежат на плоскостях

1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0

2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0

3 : A3x + B3y + C3z + D3 = 0

4 : A4x + B4y + C4z + D4 = 0

Каждая плоскость i делит пространство на два полупространства – положительное и отрицательное, причем конец нормального вектора попадает в положительное полупространство


Уравнения плоскостей i всегда можно выбрать так, чтобы нормальные векторы всех плоскостей были направлены во внешнее пространство относительно пирамиды, т.е. добиться того, чтобы внутренность пирамиды лежала в отрицательном полупространстве относительно каждой из плоскостей.

ni = (Ai ,Bi ,Ci ), i = 1,2,3,4.


Для этого определяем координаты одной из вершин (например, M4(x4,y4,z4)) как решение системы уравнений.

Затем координаты подставляем в уравнение плоскости 4 :

,

и если получится отрицательное значение, то нормальный вектор имеет вид n4=(A4,B4,C4); если же значение положительное, то

нормальный вектор должен иметь вид n4=(-A4,-B4,-C4), и соответствующее уравнение плоскости

4: - = 0.

Повторив эту процедуру для всех плоскостей и определив значения для произвольной точки М, можно решить задачу ее расположения относительно пространственной фигуры.

виды проецирования

Изображение пространственных объектов на картинной плоскости основано на операции проецирования. Рассмотрим математическое описание проецирования пучком прямых лучей.

Есть два типа таких лучей:

  • пучок лучей, параллельных заданному направлению;

  • пучок лучей, исходящих из одной точки.

1. Проецирование параллельными лучами.

Простейший случай – перпендикулярное проецирование, когда прямые перпендикулярны плоскости изображения, а сама плоскость является одной из координатных плоскостей или параллельна ей (см. рис.34).

Матрица проецирования на плоскость Оyz вдоль оси Ох имеет вид:

Если M(x,y,z) – точка в пространстве, то ее проекция M*

т.е. получим координаты M*(0,y,z).

Если плоскость проецирования параллельна координатной плоскости Оyz, то матрица имеет вид: . Аналогично вдоль других осей: .

Косоугольное проецирование, когда лучи не перпендику-лярны плоскости проекции, будут рассмотрены ниже.

2.Перспективные преобразования (центральное проецирование).

Пусть выбрана точка А(а,0) как центр проецирования и требуется определить проекцию производной точки M0(x0,y0) на ось ординат Оy (см.рис.35).

Проецирующая прямая L описывается уравнениями:

Проекцией точки М0 является точка M*(0,y*),

где ,

что соответствует матрице преобразования: ,

тогда .

Нормируем столбец для h=1 и получим:

, и точка .

3.Точки схода

Свойство пропорциональности (неоднозначности) однород-ных координат используется в перспективных преобразованиях.

Рассмотрим преобразование плоскости, заданное матрицей и определим его влияние на единичный квадрат (см. рис. 36).

Рассматривая поочередно вершины квадрата, получим:

Таким образом, под действием преобразования, определяемого матрицей Q, произвольная прямая, параллельная оси Ох

,

переходит в прямую, описываемую уравнением вида:

,

и пучок прямых, параллельных оси абсцисс, преобразовывается в пучок прямых, проходящих через точку (-а,0), которая называется точкой схода преобразования, задаваемого матрицей схода.

Единичный квадрат преобразуется в трапецию, которая приближается к квадрату при а.

В случае трехмерного пространства перспективные преобразования описываются соответственно: точка М (x,y,z) описывается столбцом:

или четверкой однородных координат ( )

определяемых из условий: .

Матрица перспективных преобразований с точкой схода (-а,0,0) имеет вид: .

Если рассматривать единичный куб (см. рис.37), получим :

.

В инженерной графике используется несколько различных видов проецирования, т.е. изображения пространственных объектов на картинной плоскости.

Выделяют два вида проецирования и соответственно два вида проеций:

  1. параллельное проецирование – проецирующие прямые идут параллельным пучком до пересечения с картинной плоскостью;

  2. центральное проецирование – проецирующие прямые выходят из одной точки – центра пучка.

Каждый вид разделяется на классы (см. рис 38).

Рассмотрим преобразования проецирования

1. При ортографической проекции картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей.

Тогда матрица проецирования:

вдоль оси Ох на плоскость Оyz

(см. рис.39 а).

В случае, если картинная плоскость параллельна координатной плоскости (рис. 39 б), то нужно умножить матрицу Px на матрицу сдвига:

.

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
415,5 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее