84987 (763947), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пример 5. Упростить выражение
Найдем область определения выражения, для этого потребуем
первые два выражения, как сумма трех неотрицательных слагаемых равны нулю только при х=0 и у=0.
Рассмотрим третье выражение
тогда 
когда
. Отсюда имеем х0, у0.
Т.о. обл. определения х0, у0.
2) Знаменатель третьей дроби мы заложили на множители, находя область определения выражения. Разложим на множители числитель первой дроби, а в числителе и в знаменателе второй представим
Воспользуемся правилами деления дробей
Ответ: 
Пример 6. Упростить выражение 
Решение:
Найдем область определения:
b-c 0 b c
c-a 0 c a
a-b 0 a b
2) Приведем дроби к общему знаменателю (b-c)(c-a)(a-b)
3) Воспользуемся формулами сокращенного умножения
Ответ: f(a,b,c) = 0 при b c, c a, a b.
4. Для успешного выполнения тождественных преобразований иррациональных выражений нужно помнить:
1. Определение арифметического корня n-ой степени:
Если 
и n – натуральное число большее 1, то существует только одно неотрицательное число x такое, что выполняется равенство
. Это число х называется арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а и обозначается
.
Пример.
Если n – нечетное натуральное число большее 1 и а 0, то под 
понимают такое отрицательное число х, что
.
Пример. 
2. Из определения 1. Следует, что если в алгебраическом выражении есть корни четной степени, то подкоренные выражения таких корней должны быть неотрицательными, что учитывается при определении области определения алгебраического выражения.
Пример. 
Область определения выражения 
3. Определение модуля числа.
Модулем числа а называется само число а, если и противоположное ему число, если а 0 т.е.
4. Свойства арифметического корня:
Если n, k, m – натуральные числа, 
то:
1 
2 
, если b 0.
Замечание. Если a < 0, b < 0, то свойства 1 и 2 принимают вид
3 
4 
5 
6 
Замечание. Если показатели корней нечетные числа, то свойства 1– 6 выполняются для a < 0, b < 0 и ab < 0.
7 Если n – четное число т.е. n = 2k, то 
Пример. 
т.к.
, то
, тогда по определению модуля
и
.
Пример 1. Упростить выражение: 
Решение.
1) Сначала, используя свойства арифметического корня, упростить каждый из имеющихся радикалов:
2) 
3) Раскроем скобки и приведем подобные
Ответ: 
Пример 2. Упростить выражение 
Решение: Выражение упростится, если окажется, что под этим корнем содержится полный квадрат разности или суммы каких-нибудь чисел.
Представим 
в виде полного квадрата. Для этого представим
тогда
2) 
3) По свойству 7 имеем 
Т.к. 
, то
, тогда по определению модуля
и
Ответ: 
.
Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
.
Решение:
В знаменателе имеем иррациональность 2-ой степени, поэтому домножим и числитель, и знаменатель дроби на сумму чисел 
и
, тогда в знаменателе будем иметь разность квадратов, которая и ликвидирует иррациональность.
Ответ: 
.
Пример 4. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
Решение:
Имеем иррациональность 3-ей степени, поэтому и числитель, и знаменатель умножим на неполный квадрат чисел 
и 1, тогда в знаменателе получим разность кубов, которая и ликвидирует иррациональность.
Ответ: 
Пример 5. Упростить выражения
Решение:
Воспользуемся свойствами степени с рациональным показателем и арифметического корня
Ответ: 
.
Решение:
От десятичных дробей в показателе степени перейдем к обыкновенным и воспользуемся свойствами арифметического корня и степени с рациональным показателем
Ответ: 
.
Пример 6. Упростить выражение 
Решение:
1. Найдем область определения алгебраического выражения
в результате имеем 
.
2. Перейдем в показателях степеней от десятичных дробей к обыкновенным и выражения, стоящие в скобках приведем к общему знаменателю
3. Числитель первой дроби преобразуем как сумму кубов
Пример 6. Упростить выражение 
Решение:
Приведем дроби, стоящие под знаками корня к общему знаменателю
В числителе первой дроби стоит полный квадрат суммы, а в числителе второй дроби – полный квадрат разности 
и
:
3. Воспользуемся свойством арифметического корня
4. Так как 
и
, то
, а значит
.
5. Так как 
может быть как отрицательным, так и положительным, рассмотрим два случая:
1) 
, тогда
. В этом случае
и
2) , тогда 
.
В этом случае 
и
Ответ: 
.
Контрольное задание.
Предлагаем для самостоятельного решения приведенные ниже задачи. Желательно решить все задачи, однако, если это не удалось, присылайте только те, которые решены.Правила оформления работ смотрите во вступительной статье.
Разложить на множители
М8.1.1. 
М8.1.2. 
М8.1.3. 
М8.1.4.
Сократить дробь
М8.1.5. 
М8.1.6. 
Упростить выражение
М8.1.7. 
М8.1.8. 
М8.1.9. 
М8.1.10. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби 
Упростить выражение
М8.1.11. 
М8.1.12. 
М8.1.13. 
М8.1.14. 
М8.1.15. 
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
