84987 (763947)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Карпова Ирина Викторовна, старший преподаватель кафедры алгебры ХГПУ

1. Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из конечного числа букв и чисел, соединенных знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечение корня.

В
се алгебраические выражения (А.В) по действиям, которые производятся над буквами можно классифицировать следующим образом:

Буквы, входящие в А.В могут принимать значения из некоторого числового множества, которое называется множеством допустимых значений или областью определения А.В.

Так, в рассмотренных выше примерах 1) и 2) значениями букв, входящих в А.В могут быть любые числа. В общем случае область определения (О.О.) целых алгебраических выражений может быть любым числовым множеством.

Так как делить на выражение равное нулю нельзя, то с и b в пр.3) могут принимать любые числовые значения, кроме с=0 и b=0, таким образом О.О. А.В из пр.3) с0, b0. На этом же основании О.О. А.В из пр.4) x+y0 или хy.

В общем случае О.О. дробно-рационального А.В не включает те значения, входящих в выражение букв, при которых знаменатель дробей в выражении обращается в нуль.

Область определения А.В из пр.5) аb, b0 и а>0 т.к. выражение стоящее под знаком корня четной степени должно быть, по определению арифметического корня, неотрицательным.

О.О. А.В из пр.6) х+10 или х-1.

В общем случае О.О. иррационального выражения включает только те значения букв, при которых выражения, стоящие под знаком корня четной степени принимают неотрицательные значения.

Тождеством называется равенство двух А.В справедливое для любых допустимых значений, входящих в него букв.

Равенство (a+b)2=a2+2ab+b2 справедливое для любых a и b есть тождество.

Равенство является тождеством только для а1.

Тождественным преобразованием А.В называется замена одного А.В другим тождественно ему равным, но отличным по форме.

a3+3a2b=a2(a+3b)

при с0.

Целью тождественных преобразований (Т.П) может быть приведение выражению вида, более удобного для численных расчетов или дальнейших преобразований.

К Т.П относятся:

приведение подобных членов

раскрытие скобок

разложение на множители

приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

избавление от иррациональности в знаменателе и т.п.

2. Рассмотрим тождественные преобразования А.В.

Для успешного осуществления Т.П. целых А.В нужно помнить:

Формулы сокращенного умножения

(a b)2 = a2 + 2ab + b2

a3 b3 = (a b)( a2 ab+b2)

(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

Свойства степени с целыми показателями

Формулы корней квадратного трехчлена ax2 + bx + c

Теорему Виета х1 и х2 — корни ax2 + bx + c в том и только том случае, если

Разложение квадратного трехчлена ax2 + bx + c на множители.

Если х1, х2 — корни трехчлена, то ax2 + bx + c = а(х–х1)(х–х2)

Рассмотрим несколько примеров тождественных преобразований целых А.В.

Пример 1. Разложить многочлен на множители

Решение:

Задача заключается в том, чтобы сгруппировать слагаемые так, чтобы они имели общий множитель, который можно будет затем вынести за скобки, прейдя от суммы к произведению.

Итак.

Объединим крайние слагаемые в одну группу, а средние в другую:

2) Вынесем за скобки во второй группе общий множитель 2ab, получим:

3) Вынесем за скобки общий множитель первого и второго слагаемого (a2 + b2):

Полученное выражение есть произведение двух сомножителей, а значит многочлен f(a,b) разложили на множители.

Ответ:

Пример 2. Разложить на множители f(a)= a3 – 7а2 + 7а +15

Решение:

Как бы мы не группировали слагаемые мы не получим группы слагаемых, имеющие одинаковые множители. Поэтому, сначала преобразуем сами слагаемые.

–7а2 = –3а2 – 4а2

7а = 12а – 5а

f (a) = a3 – 7а2 + 7а +15 = a3 – 3а2 – 4а2 + 12а – 5а +15

3) Сгруппируем слагаемые попарно, и из каждой скобки вынесем общий множитель.

f(a) = (a3 – 3а2) +( – 4а2 +12а) + (– 5а +15) = а2 (а – 3) – 4а (а – 3) – 5(а – 3)

4) В полученном выражении все слагаемые имеют общий множитель (а – 3), который и выносим за скобки. f(a) = (а – 3)(а2 – 4а – 5)

5) Мы получили разложение на множители f(a), но второй множитель в свою очередь может быть разложен на множители. Для этого, используя теорему Виета, разложим трехчлен (а2 – 4а – 5) на множители.

По теореме Виета корнями трехчлена (а2 – 4а – 5) являются а1=5 и а2= –1. Тогда имеем (а2 – 4а – 5) = (а – 5)(а + 1) и f(a) = (а – 3)(а – 5)(а + 1)

Ответ: a3 – 7а2 + 7а +15 = (а – 3)(а – 5)(а + 1).

Пример 3. Разложить на множители f(a,b,c) = ab(a+b) – bc(b+c) + ac(a – c).

Решение:

1) Заметим, что выражение, стоящее в первых скобках есть сумма выражений, стоящих во второй и в третьей скобках a+b=(b+c)+(a–c). Подставим это вместо а+b.

f(a,b,c)=ab((b+c)+(a–c))–bc(b+c)+ac(a–c)=ab(b+c) + ab(a–c)–bc(b+c)+ac(a–c)

2) Сгруппируем 1-е и 3-е слагаемые и 2-е и 4-е и вынесем общие множители за скобки.

f(a,b,c)=(b+c)(ab–bc)+(a–c)(ab–ac)=(b+c)(a–c)b+(a–c)(b+c)a=(a–c)(b+c)(b+a)

Полученное есть произведение трех сомножителей.

Ответ: ab(a+b) – bc(b+c) + ac(a – c)=(a–c)(b+c)(b+a).

Пример 4. Разложить на множители f(a,b)=4a2–12ab+5b2.

Решение:

1) Выделим полный квадрат

f(a,b)=(2a)2–2(2a)(3b)+(3b)2 –4b2 =(2a–3b)2 –4b2.

2) Воспользуемся формулой разности квадратов:

f(a,b)=((2a–3b)–2b)((2a–3b)+2b)=(2a–5b)(2a–b).

Ответ: 4a2–12ab+5b2=(2a–5b)(2a–b).

Пример 5. Разложить на множители f(a)=а3+9а2+27а+19.

Решение:

Так как выражение зависит только от а, которое входит в выражение в 3-ей, 2-ой и 1-ой степенях, попытаемся выделить полный куб, воспользуясь формулой (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.

1) f(a)=a3+3a2 3+3a32+33 –8

2) т.к. 8=23, то воспользуемся формулой разности кубов: a3 –b3=(a–b)(a2+ab+b2).

f(a)=(a+3)3–23=(a+3–2)((a+3)2+2(a+3)+22)=(a+1)(a2+8a+19).

Ответ: а3+9а2+27а+19=(a+1)(a2+8a+19).

3. Рассмотрим примеры тождественных преобразований дробно-рациональных выражений.

При выполнении Т.П. таких выражений надо следить за областью определения выражения, т.к. может происходить расширение области определения. Это может произойти, например, при сокращении дроби.

Так область определения дроби все х1 и х –2.

Вместе с тем .

Сократив дробь, получим . Область определения полученной дроби: х-2, т.е шире, чем О.О. первоначальной дроби.

Поэтому дроби и

равны при х1 и х-2.

Изменение области определения выражения возможно и в результате некоторых других преобразований, поэтому, выполнив преобразования выражения, нужно всегда уметь ответить на вопрос, на каком множестве оно тождественно полученному.

Пример 1. Сократить дробь

Решение:

1) Найдем О.О. Для этого нужно потребовать, чтобы знаменатель дроби был отличен от 0. a+b0 ab. Таким образом О.О. f(a) все ab.

2) Чтобы сократить дробь, разложим числитель на множители

2а2+ab-b2=2a2+2ab-ab-b2=(2a2+2ab)+(-ab-b2)=2a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(2a-b)

3)

Ответ: .

Пример 2. Упростить выражение

Решение:

Найдем область определения: а2+3а+20, а2+4а+30, а2+5а+60.

Используя т. Виета найдем значения а, при которых трехчлены обращаются в нуль

а2+3а+2=0 при а1=–2, а2=–1

а2+4а+3=0 при а1=–3, а2=–1

а2+5а+6=0 при а1=–3, а2=–2

таким образом область определения f(а): а–2, а–1, а–3

Приведем сумму дробей, стоящую в скобках, к общему знаменателю, предварительно определив его, используя 1)

а2+3а+2=(а+2)(а+1)

а2+4а+3=(а+3)(а+1)

а2+5а+6=(а+3)(а+2) тогда общий знаменатель: (а+2)(а+3)(а+1).

Разложим числитель первой и второй дроби на множители:

2а2+6а+4=2(а2+3а+2)=2(а+2)(а+1)

(а–3)2+12а=а2–6а+9+12а=а2+6а+9=(а+3)2

Ответ:

при а–3, а–2, а–1.

Пример 3. Упростить выражение

Решение:

Найдем область определения:

х–у0 ху

х+у0 х–у

х2–у20 ху, х–у

х2+у20 х0, у0.

Итак, область определения х0, у0, ху, х–у.

Приведем дроби, стоящие в скобках к общему знаменателю и воспользуемся формулами сокращенного умножения

Воспользуемся правилом деления дробей:

Ответ: при х0, у0, ху, х–у.

Пример 4. Упростить выражение

Найдем область определения выражения:

а0

b+с0 b–с

b+с–а0 b+са

а0 и b+с0

2bс0 b0, с0.

Таким образом, область определения: а0, b0, с0, b–с, b+са.

Приведем дроби, стоящие в числителе и знаменателе первой дроби, а также сумму, стоящую в скобках, к общим знаменателям

Воспользуемся правилом деления дробей и приведем четырехэтажную дробь к двухэтажной. В числителе второй дроби выделим полный квадрат суммы b и с

Числитель второй дроби, воспользовавшись формулой разности квадратов, разложим на множители

Ответ: при а0, b0, b–с, с0, b+са.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов статьи