84775 (763874)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Абзалимов Р.Р.

В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал заменяется на

, после чего задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.

I. Регулярная задача

Рассмотрим следующую краевую задачу:

, (1.1)

, (1.2)

. (1.3)

Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:

, (1.4)

с граничными условиями

, (1.5)

, (1.6)

где

. (1.7)

Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):

;

;

удовлетворяет граничным условиям (1.5) и (1.6);

удовлетворяет так называемым условиям сопряжения

(1.8)

В каждом интервале решения

уравнения (1.4) имеют вид:

. (1.9)

Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:

, (1.10)

где ,

выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким образом, получаем:

(1.11)

Из первого краевого условия получаем зависимость от

, затем, подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6):

, (1.12)

где выписывается явно.

Пусть - собственные значения и

- соответствующие им собственные функции задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено

,

и пусть - собственные значения задачи (1)-(3) и

соответствующие им собственные функции. Введем обозначение:

. (1.13)

Заметим прежде, что при

.

Тогда имеет место следующая

ТЕОРЕМА 1.1 Справедливы равенства

, (1.14)

. (1.15)

Доказательство. Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на интервале . Представим ее в виде

, (1.16)

где вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения (1.16) получаем интегральные уравнения:

,

.

Применяя метод последовательных приближений, получаем:

, (1.17)

где - решения уравнения (1.4).

Следовательно, для всего промежутка [0,p] справедливо равенство (1.15).

Из (1.15) нетрудно установить неравенство:

, (1.18)

где при

.

Тогда имеет место следующее равенство:

(1.19)

при , где

- оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3), а

- оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). Теорема доказана.

Следствие 1.1 ,

.

Следствие 1.2 , где

- характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6),

- характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.1)-(1.3).

Следствие 1.3 и

совпадают со всеми корнями уравнения

.

Следствие 1.4 образуют полную систему собственных функций.

II. Сингулярная задача. Случай .

Будем рассматривать задачу

, (2.1)

, (2.2)

где монотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не более одной точки поворота. Таким образом, для любого

. В случае, когда

, спектральная задача имеет дискретный спектр. Из представленного метода решения регулярной задачи следует, что

; таким образом, для каждого

задачи на полуоси ставится в соответствие своя регулярная задача на конечном отрезке

. Если бы мы знали все значения собственных функций

, соответствующие собственным числам

задачи на полуоси, в точке

, то, решая задачи на конечном промежутке

с дополнительным граничным условием

, мы могли бы вычислить все собственные числа задачи на

достаточно точно. Исходя из сказанного, можно утверждать, что погрешность определения собственных чисел тем меньше, чем точнее выбор второго краевого условия. В связи с этим рассмотрим два краевых условия

(условие Дирихле) и

(условие Неймана). Пусть

- собственные числа задач на конечном промежутке с дополнительными условиями Дирихле и Неймана соответственно. С помощью метода решения регулярной задачи доказываются следующие утверждения:

ТЕОРЕМА 2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси

, (2.3)

где ¹ .

Справедливость теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.

ТЕОРЕМА 2.2 Справедливо неравенство:

. (2.4)

Доказательство теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел (см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и следствия 1.1.

Замечание В случае полуограниченного оператора ( ), данный выбор краевых условий позволяет получать лишь верхнюю и нижнюю оценку собственных чисел.

Следствие 2.1 , где

- длина промежутка

.

Пример

.

Известно, что , где

вычисляется явно. Из следствия 2.1 следует:

.

III. Сингулярная задача. Случай .

Будем рассматривать задачу

, (2.1)

. (2.2)

Имеет место следующая (см. [3])

ТЕОРЕМА 3.1 Пусть потенциальная функция удовлетворяет следующим условиям

;

, при

;

сохраняет знак для больших

;

, где

, при

;

.

Тогда спектр оператора - чисто дискретный и состоит из двух серий собственных чисел, уходящих на

и

.

Аналогично (как и для полуограниченного оператора) задача на полуоси для расчета собственных чисел заменяется на регулярную задачу, т.е. интервал

заменяется на

, где

- достаточно большое положительное число с дополнительным краевым условием

. Нетрудно установить, что погрешность приближенных собственных чисел неполуограниченного оператора (при

) стремится к нулю при

. С помощью решения регулярной задачи доказывается следующая

ТЕОРЕМА 3.2 Пусть выполнены все условия теоремы 3.1. Тогда если - собственные числа задачи (2.1)-(2.2) на конечном промежутке

с дополнительным краевым условием

, то справедливо равенство

для всех

.

Замечание 1 Известны более общие условия дискретности спектра задачи (2.1)-(2.2) (см. например [4]).

Замечание 2 Для расчета собственных чисел задачи (2.1)-(2.2), промежуток

заменяется на

, где

- достаточно большое положительное число, с краевыми условиями

и

.

IV. Сингулярная задача. Случай .

Будем рассматривать задачу

, (3.1)

(3.2)

с дополнительными условиями:

;

голоморфна в точке

, причем

;

при

монотонно, и

, где

;

при

,

.

Данная задача рассматривалась в работе Е.ПЖидкова. и А.Г.Соловьева (см. [5]). Известно, что задача имеет собственные числа и собственные функции такие, что все ее собственные числа простые, отрицательные и образуют бесконечно возрастающюю последовательность с единственной предельной точкой

, а собственные функции

, отвечающие собственным значениям

, имеют в интервале

в точности

нулей. В этом случае справедливы все результаты, полученные для случая полуограниченного оператора.

Пример

.

Известно (см. [3]), что - собственные числа.

Введем обозначения: - приближенные собственные числа, полученные Е.П.Жидковым и А.Г.Соловьевым, а

- приближенные собственные числа, полученные методом, описанным выше. Были рассчитаны собственные числа, которые представлены в таблице (см. ниже). Используя асимптотическую формулу (2.3), можно показать (достаточно грубая оценка), что

,

где вычисляется явно. Для более точной асимптотики необходимо точно решить уравнение

.

n				Промежуток
1	0.2500	0.25000…	0.247…			(1.16,6.82)
2	0.1111	0.11107…	0.111…			(1.06,16.9)
3	0.0625	0.06249…	0.063…			(1.03,30.9)
4	0.0400	0.39995…	0.041…			(1.02,48.9)
5	0.0277	0.0277715	0.028…			(1.01,70.9)

Список литературы

Митрохин С.И. // ДАН. 1997. Т. 356. № 1. С. 13-15.

Рид, Саймон. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Т. 1, 4

Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М.: Наука, 1960. 276 с.

Султанаев Я.Т. // ДАН. 1984. Т. 276. № 5. С. 1072-1074.

Жидков Е.П., Соловьев А.Г. // ЖВММФ. 1999. Т. 39. № 3. С. 1098-1118.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.bashedu.ru

1 Вопрос о том, как находить значения для расчета собственных чисел, остается нерешенным

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов статьи