85154 (753397)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Двойной интеграл в полярных координатах

2. П усть в двойном интеграле

3. (1)

4. при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos , y = r sin . (2)

1. Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и = i (лучи)

2. Введем обозначения:

4. rj = rj+1 - rj,

5. i = i+1 - i

7. Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

8. Si = rj i rj (3)

9. Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

10. В качестве точки Mij Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos i, yij = rj sin i.

И следовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i) (3')

1. Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

2. интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), п олучаем:

3. (4)

4. где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

5. f(r cos, r sin)r,

6. с оответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно

7. (5)

8. С равнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

9. (6)

10. Выражение

11. dS = r d dr

12. называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

13. Д ля вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

14. Где r1(), r1() - однозначные непрерывные функции на отрезке [,].

15. И меем

16. (8)

18. Где

19. F(r,) = rf(r cos, r sin)

21. Пример 1.

22. П ереходя к полярным координатам и r, вычислить двойной интеграл

23. Г де S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

24. Так как

25. т о применяя формулу (6),

26. п олучим

27. О бласть S определена

28. Н еравенствами

29. П оэтому на основании формулы (8) имеем

31. Пример 2.

32. В интеграле

33. (9)

34. перейти к полярным координатам.

36. Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1

37. В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: =0, =/4, r cos=1 и, следовательно, область S определяется неравенствами

38. О тсюда на основании формул (6) и(8), учитывая, что

39. и меем

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов доклада