Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

-10111 100,1100

100100

-10111

11010

-10111

Остаток 1100

Пример. Разделить =10001,111 на =11,01

10001111 11010

-11010 101,1

100111

-11010

11011

-11010

00000

Искомый результат 101,1

Таким образов, выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления достаточно просто. Особенно просто выполнять операции сложения, вычитания и умножения. Благодоря этому, применение двоичной системы в вычислительных машинах позволяет упростить схемы устройств, в которых осуществляются операции над числами.

Формы представления чисел с фиксированной и плавающей запятой.

При представлении числа в двоичном коде с цифрами 0,1 в каждом разряде записываются цифры 0 или 1. Так как в ЦВМ «запись» числа осуществляется с помощью технических устройств, то для представления его в такой форме необходимо располагать устройствами с двумя надежно различными состояниями, которым могут быть сопоставлены значения 0 или 1. Комбинация таких устройств, число которых соответствует количеству разрядов записываемого числа, может быть использована для представления чисел в ЦВМ.

В качестве таких устройств, могут быть использованы триггеры. Набор триггеров, предназначенных для представления чисел в ЦВМ, а также для выполнения над ними некоторых логических преобразований, называется регистром. Разумеется, число разрядов, отведенное для записи числа, соответствующее числу триггеров, в ЦВМ всегда конечно. Выбор количества разрядов для представления чисел в ЦВМ является одним из самых ответственных этапов конструирования вычислительной машины и обуславливается целым рядом требований, среди которых одно из важнейших – необходимая точность вычислений.

В ЦВМ используют две формы представления чисел: естественную и полулогарифмическую.

Числа с фиксированной запятой.

Числа с фиксированной запятой. При этой форме обычно запятая, отделяющая целую часть числа от ее дробной части, фиксируется перед старшим разрядом модуля числа.

Разряды модуля числа

Знаковый разряд

Место запятой

Таким образом, значение модуля числа всегда оказывается меньше единицы. Это условие путем выбора определенных масштабных коэффициентов должно выполнятся для исходных данных задачи и всех промежуточных результатов вычислений.

При занесении числа в ячейку памяти свободные младшие разряды заполняются нулями, а если число значащих разрядов модуля больше n – 1, то младшие разряды модуля, которые не поместились в разрядной сетке, теряются. Это приводит к погрешности, значение которой меньше единицы младшего разряда разрядной сетки, т. е. . Так, при n=16 при n=32 .

Если число имеет целую часть, то для ее хранения в разрядной сетке места нет, она теряется, число в разрядной сетке оказывается ошибочным.

Достоинство представления чисел в форме с фиксированной запятой состоит в простоте выполнения арифметических операций.

Недостатки – в необходимости выбора масштабных коэффициентов и в низкой точности представления с малыми значениями модуля ( нули в старших разрядах модуля приводит к уменьшению количества разрядов, занимаемых значащей частью модуля числа ).

Числа с плавающей запятой.

Для научно – технических расчетов необходимо представлять числа в широком диапазоны и с достаточно большой точностью. Указанным требованиям отвечают числа с плавающей запятой.

m m – 1 1 p p – 1 1

Знак Модуль мантиссы Знак Модуль порядка

числа порядка

Число состоит из мантиссы, старший разряд которой определяет знак числа, и порядка со знаком. Значение модуля мантиссы представляется двоичным дробным числом, т. е. запятая фиксируется перед старшим разрядом модуля мантиссы, порядок представляется целым числом. Порядок указывает действительное положение запятой в числе. Код в приведенном формате представляет значение числа в полулогарифмической форме: , где М и П мантисса и порядок числа.

Точность представления значений зависит от количества значащих цифр мантиссы. Для повышения точности числа с плавающей запятой представляются в нормализованной форме, при которой значение модуля мантиссы лежит в пределах . Признаком нормализованного числа служит наличие единицы в старшем разряде модуля мантиссы. В нормализованной форме могут быть представлены все числа из некоторого диапазона за исключением нуля.

Нормализованные двоичные числа с плавающей запятой представляют значения модуля в диапазоне

где - максимальное значение модуля порядка.

Так, при p=7 -1= =63 и диапазон представления модулей нормализованных чисел

,

Таким образом, диапазон чисел от до .

Для расширения диапазона представляемых чисел при фиксированной длине разрядной сетки ( m+p ) в качестве основания системы счисления выбирается . При этом число, представляемое в разрядной сетки, приобретает значения . Нормализованная мантисса 16 – ричного числа с плавающей запятой имеет значения, лежащее в диапазоне .Признаком нормализации такого числа является наличие хотя бы одной единицы в четырех старших разрядах модуля мантиссы. Диапазон представления чисел в этом случае существенно расширяется, находясь при том же количестве разрядов в пределах от до .

Рассмотрим погрешность представления чисел с плавающей запятой. Абсолютная погрешность числа

.

Предельная относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к числу при минимальном значении модуля мантиссы нормализованного числа.

.

Отсюда видно, что точность представления чисел определяется количеством разрядов, отводимых в разрядной сетке под мантиссу.

В современных ЭВМ числа с плавающей запятой имеют основания системы счисления 16 и представляются в двух форматах: коротком ( с числом разрядов 32 ) и длинном ( с числом разрядов 64 ). Длинный формат предусматривает увеличения количества разрядов, отводимых в разрядной сетке под мантиссу, за счет чего повышается точность представления чисел.

Сложение чисел с фиксированной запятой

Алгебраическое сложение чисел с фиксированной запятой в цифровых машинах может производиться в одном из машинных кодов: прямом, дополнительном или обратном. Чаще всего используется либо дополнительный, либо обратный код. При этом знаковый разряд и цифровая часть числа рассматривается как единое целое, в результате чего с отрицательными числами машина оперирует как с положительными, независимо от того, представлены ли они в виде правильных дробей или в виде целых чисел. Главное достоинство дополнительного и обратного кодов заключается в том, что правильный знак суммы получается автоматически в процессе суммирования знаковых цифр операндов и цифры переноса из соседнего младшего разряда. В случае возникновения единицы переноса из знакового разряда суммы ее нужно отбросить при сложении в дополнительном коде и прибавить к младшему разряду суммы при сложении в обратном коде (т. е. произвести циклический перенос единицы переполнения).

Алгебраическое сложение много разрядных чисел обычно организуется как регулярный процесс, состоящий из n одинаковых операций поразрядного сложения вычитания, где n- количество разрядов в каждом из операндов).

При этом в зависимости от знаков слагаемых возможны четыре случая:

1) Х₁ > 0, Х₂ > 0, Х₃ = Х₁ + Х₂ > 0;

2) Х₁ > 0, Х₂ < 0, Х₃ = Х₁ + Х₂ > 0;

3) Х₁ > 0, Х₂ < 0, Х₃ = Х₁ + Х₂ < 0;

4) Х₁ < 0, Х₂ < 0, Х₃ = Х₁ + Х₂ < 0;

Примеры сложения чисел с фиксированной запятой были рассмотрены выше.

Сложение чисел с плавающей запятой

Если имеются два числа в нормальной форме: Х₁ = m₁ 10^p1 и Х₂ = m₂ 10^p2 , то для того чтобы их можно было сложить, нужно предварительно привести их к одному и тому же порядку Робщ, т. е. преобразовать одно из слагаемых, например, первое следующим образом:

Х₁ = m₁ 10^p1 = m₁^* 10^p1 = m₁^* 10^pобщ.

Далее можно вынести степень основания системы за скобки и произвести сложение мантисс: Х₁ + Х₂= m₁^* 10^pобщ. + m₂ 10^pобщ. = (m₁^* + m₂ ) 10^pобщ.

Преобразовывать всегда нужно меньше слагаемое, так как в противном случае произойдет переполнение разрядной сетки мантиссы преобразуемого числа.

Машинная операция сложения чисел в нормальной форме распадается таким образом, на 4 этапа:

1. Уравниваются порядки слагаемых: меньший порядок увеличивается до большего, мантисса преобразуемого числа сдвигается вправо (число денормализуется) на соответствующее количество разрядов. Практически в машинах производится вычитание порядков операндов. Знак и модуль разности Р1 - Р2 определяют соответственно, какое из слагаемых нужно преобразовывать и на сколько единиц следует сдвигать мантиссу преобразуемого числа.

2. Производится преобразование мантисс слагаемых в один из модифицированных кодов.

3. Мантиссы слагаемых суммируются по правилам сложения дробных чисел с фиксированной запятой.

4. В случае надобности мантисса суммы переводится в прямой код, производится нормализация суммы и округление ее мантиссы.

Характеристики

Список файлов реферата