150009 (732545), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

ш1.0

7(

72 0y' 41 0(x)=y 42 0(x),

7* 0 (2.3.4)

72 0y' 42 0(x)=p(1-y 52 41 0(x))y 42 0(x)-y 41 0(x).

79

ш2.0

Оценку погрешности решений системы ОДУ, получаемых методом

Рунге-Кутты четвертого порядка, можно провести можно провести по

формуле:

ш1.0

y 4h 0(x)-y 4kh 0(x)

R 40 0=───────────── 5─ 0 , (2.3.5)

k 5p 0-1

- 39 -

которая при кратности изменения шага k=2 принимает вид:

R 40 0=[y 4h 0(x)-y 42h 0(x)]/15 (2.3.6)

ш2.0

Однако эта формула требует значительных затрат времени для пов-

торного расчета.

Рассмотрим тексты программ реализованных на Паскале.

PROGRAM RUNGE-KYTTE_4

TYPE VEC=ARRAY [1..8] OF REAL;

VAR P,X,X9,H:REAL;

Y:VEC;

CH:CHAR;

{-----ПРОИЗВОДНЫЕ-----}

PROCEDURE RP(X:REAL;VAR Y,R:VEC);

BEGIN

F[1]:=Y[2];

F[2]:=P*(1.0-SQR(Y[1]))*Y[2]-Y[1];

END;

{-----МЕТОД РУНГЕ-КУТТЫ 4-го ПОРЯДКА-----}

PROCEDURE RK4(N:INTEGER; X,H:REAL; VAR Y:VEC);

VAR I,J:INTEGER;

H1,H2,Q:REAL;

Y0,Y1,F:VEC;

BEGIN

H1:=0.0;

H2:=H/2;

- 40 -

FOR I:=1 TO N DO

BEGIN

Y0[I]:=Y[I];

Y1[I]:=Y[I];

END;

FOR J:=1 TO 4 DO

BEGIN

RP(X+H1,Y,F);

IF J=3 THEN H1:=H ELSE H1:=H2;

FOR I:= TO N DO

BEGIN

Q:=H1*F[I];

Y[I]:=Y0[I]+Q;

IF J=2 THEN Q:=2+Q;

Y1[I]:=Y1[I]+Q/3.0;

END;

END;

FOR I:=1 TO N DO Y[I]:=Y1[I];

END;

{--------------------}

BEGIN

REPET

WRITE('P,X,X9,H,Y[1],Y[2]?');

READLN(P,X,X9,H,Y[1],Y[2]);

WHILE (X0.0) DO

BEGIN

RP4(2,X,H,Y);

X:+X+H;

- 41 -

WRITELN(X,' ',Y[1],' ',Y[2]);

END;

WRITE('Еще разок ?(Y/N)');

READLN(CH);

UNTIL (CH='Y')OR(CH='y');

END.

ш2.0

- 42 -

1 2.4 0 1Краткие сведения о функциях 0 1Бесселя.

Цилиндрические функции (бесселевы функции) - решения Z 7т 0 диф-

ференциального уравнения Бесселя:

ш1.0

d 52 0Z dZ

z 52 0 ───── + z ──── + (z 52 0- 7n 52 0)Z=0 (2.4.1)

dz 52 0 dz

ш2.0

где 7 n 0 - произвольное действительное или комплексное число.

Если 7 n 0 не является целым числом, то общее решение уравнения

(2.4.1) имеет вид:

Z 7т 0= 7 0c 41 0J 7т 0(z) 7 0+ 7 0c 42 0J 4- 7т 0(z), (2.4.2)

где с 41 0,с 42 0 - постоянные, а J 7т 0 и J 4- 7т 0 - так называемые цилиндричес-

кие функции 1-го рода, или функции Бесселя. Для них справедливо

разложение:

ш1.0

7$ 4 m 7 т 4+2m

7░▒ 0 (-1) 5 0(0,5z)

J(z)= 7 ▓ 0 ───────────────── , (│arg z│ < 7p 0) (2.4.3)

7│┤ 0 7█ 0Г(m+1)Г(m+ 7n 0+1)

5m=0

7т

Ряд в правой части для z J 7т 0(z) сходится абсолютно и равномерно

ш2.0

при всех │z│ 7, 0R, │ 7n 0│ 7, 0N, где R и N - произвольные положительные

числа. Функции J 7т 0(z) и J 4- 7т 0(z) - аналитические , с особыми точками

z=0 и z= 7$ 0; производные функций J 7т 0(z) и J 4- 7т 0(z) удовлетворяют сле-

дующему тождеству:

ш1.0

2sin 7np

z[J 7т 0(z)J' 4- 7т 0(z)-J' 7т 0(z)J 4- 7т 0(z)] = - ────────. (2.4.4)

7p

ш2.0

- 43 -

Если же 7 n 0 - целое, то J 7т 0(z) и J 4- 7т 0(z) линейно зависимы, и их

линейная комбинация уже не является общим решением уравнения

(2.4.1). Поэтому, наряду с цилиндрическими функциями 1-го рода,

вводят цилиндрические функции 2-го рода N 7n 0(z) (или Неймана функ-

ции, функции Вебера):

ш1.0

1

N 7т 0(z)=───────[J 7т 0(z)cos 7np 0-J 4- 7т 0(z)], (2.4.5)

sin 7np

ш2.0

(другое обозначение Y 7т 0(z)). При помощи этих функций общее решение

уравнения (2.4.1) может быть записано в виде:

Z 7т 0=c 41 0J 7т 0(z)+c 42 0N 7т 0(z).

Важны для приложения и другие решения уравнения (2.4.1) - ци-

линдрические функции 3-го рода (или Ганкеля функции). Их обозна-

чают через H 7т 5(1) 0(z) и H 7т 5(2) 0(z) и, по определению, полагают:

ш1.0

1 4 -i 7тз

H 7т 5(1) 0(z)=J 7т 0(z)+iH 7т 0(z)=──────── [J 4- 7т 0(z)-J 7т 0(z)e ], (2.4.6)

isin 7np

1 4 -i 7тз

H 7т 5(2) 0(z)=J 7т 0(z)-iH 7т 0(z)=──────── [J 7т 0(z)e -J 4- 7т 0(z)]. (2.4.7)

isin 7np

ш1.0

Справедливы тождества:

7)

2 7 2

z[J 7т 0(z)N' 7т 0(z)-J' 7т 0(z)N 7т 0(z)] = ───. 7 2

7p 2

78 0 (2.4.8)

4i 7 2

z[H 7т 5(1) 0(z)H 7т 5(2) 0'(z)-H 7т 5(1) 0'(z)H 7т 5(2) 0(z)]= - ──── 7 2

7p 2

70

- 44 -

ш1.0

и соотношения:

1

J(z) = ─ [H 7т 5(1) 0(z)+H 7т 5(2) 0(z)], (2.4.9)

2

1

H 7т 0(z)= ──── [H 7т 5(1) 0(z)-H 7т 5(2) 0(z)]. (2.4.10)

2i

ш2.0

Для действительных z=x и 7 n 0 функции Ганкеля являются комплекс-

но сопряженными решениями уравнения (2.4.1). При этом функции

J 7т 0(z) дают действительную часть, а функции N 7т 0(x) - мнимую часть

функций Ганкеля.

Цилиндрические функции 1-го, 2-го и 3-го рода удовлетворяют

рекуррентным формулам:

ш1.0

7)

2 7n 2

Z 7т 4-1 0(z)+Z 7т 4+1 0(z)=──── Z 7т 0(z), 7 2

z 7 8 0 (2.4.11)

72

Z 7т 4-1 0(z)-Z 7т 4+1 0(z)=2Z' 7т 0(z). 7 2

70

ш2.0

Каждая пара функций

J 7т 0(z),J 4- 7т 0(z); J 7т 0(z),Y 7т 0(z); H 7т 5(1) 0(z),H 7т 5(2) 0(z)

образует (при целом 7n 0) фундаментальную систему решений уравнения

(2.4.1).

Модифицированными цилиндрическими функциями называются ци-

линдрические функции мнимого аргумента:

- 45 -

ш1.0

7( 0 4-i 7тз 4/2 7 0 4i 7з 4/2

72 0 e 7 0J 7т 0(e z), 7 0- 7p 0 < argz 7, 0 7p 0/2 ,

72

I 7т 0(z) = 7* 0 (2.4.12)

72 0 4-3i 7тз 4/2 7 0 4-3i 7з 4/2

72 0 e 7 4 7 0J 7т 0(e 4 0 z), 7 p 0/2 < argz 7, 0 7p 0,

79

и функции Макдональда:

4i 7зт 4/2 7 4 7 4i 7з 4/2 0 4 -i 7зт 4/2 7 4 7 4-i 7з 4/2

K 7т 0(z)=(1/2)i 7p 0e 7 0H 5(1) 7т 0(e 4 0z)=-(1/2)i 7p 0e 7 4 7 0H 5(2) 7т 0(e 4 0z)=

4-i 7зт 4/2 7 4 7 4i 7з 4/2

=(1/2)i 7p 0e 7 4 7 0H 5(1) 7т 0(e 4 0z). (2.4.13)

Эти функции являются решениями дифференциального уравнения

d 52 0Z dZ

z 52 0 ───── + z ──── - (z 52 0+ 7n 52 0)Z=0 (2.4.14)

dz 52 0 dZ

и удовлетворяют рекуррентным формулам[8,9]

7)

2 7n 0 72

I 7т 4-1 0(z)+I 7т 4+1 0(z)= ──── I 7т 0(z), 7 2

z 7 0 78 0 (2.4.14)

2 7n 0 72

K 7т 4-1 0(z)-K 7т 4+1 0(z)=-──── K 7т 0(z). 72

z 7 0 70

K 4- 7т 0(z)=K 7т 0(z). (2.4.15)

ш2.0

- 46 -

1 2.5 Краткие сведения о функциях Кельвина.

Функции Кельвина (или функции Томпсона) ber(z) и bei(z) -

определяются следующими соотношениями:

ш1.0

43i 7з 4/4

ber 7т 0(z)+bei 7т 0(z)=J 7т 0(ze ) (2.4.16)

4-3i 7з 4/4

ber 7т 0(z)-bei 7т 0(z)=J 7т 0(ze 7 0 ) (2.4.17)

ш2.0 7

где J 7т 0 - вышеописанная функция Бесселя. При 7 n 0=0 индекс у знака

функции опускается. Функции Кельвина составляют фундаментальную

систему решений уравнения:

z 52 0y''+zy'-(iz 52 0+ 7n 52 0)y=0, (2,4,18)

переходящего при z=x(i 51/2 0) в уравнение Бесселя.

Функции Кельвина представляются в виде:

ш1.0

7$

7░▒ 4 5 0(-1) 5r 0z 54r 7▌█

ber(z)= 7 ▓ 4 0───────────── 5 , 0 (2.4.19)

7╞│┤ 4 02 54r 0[(2r)!] 52

4r=0

7$

7░▒ 4 5 0(-1) 5r 0z 54r+2 7▌█

bei(z)= 7 ▓ 4 0──────────────── . (2.4.20)

7╞│┤ 4 02 54r+2 0[(2r+1)!] 52

4r=0

Асимптотические представления[8,9]:

- 47 -

ш1.0

7ф 4(z)

e

ber(z)=─────── 4── 0─ cos 7b 0(z), (2.4.21)

(2 7p 0z) 51/2

7ф 4(z)

e

bei(z)=─────── 4── 0─ sin 7b 0(z), (2.4.22)

(2 7p 0z) 51/2

где

z 1 5 0 25 13

7a 0(z) 7` 0 ────── 5 0+ ──────── 5 0- ─────────── 5 0- ───── - ... (2.4.23)

(2) 51/2 0 8z(2) 51/2 0 384z 52 0(2) 51/2 0 128z 52

z 7p 0 1 5 01 5 0 25

7b 0(z) 7` 0 ────── 5 0- ─ + ──────── 5 0- ──── - ─────────── 5 0- ... (2.4.24)

(2) 51/2 0 8 8z(2) 51/2 0 16z 52 0 384z 52 0(2) 51/2

ш2.0

Графики функций Кельвина представлены на рисунках 4,5.

ш2.0

- 48 -

_ 2Глава 3

_ 1Использование ЭВМ в учебном процессе.

1 3.1 Роль ЭВМ в обучении физики.

В ходе поступательного развития методики преподавания физики

совершенствуются методы обучения и технология педагогического

труда, улучшается и обогащается техническая оснащенность учебного

процесса. От примитивного рисунка на песке до использования ЭВМ,

позволяющих показать в динамике практически любой физический про-

цесс и проверить знания учащихся - вот путь эволюции технических

средств обучения. Дальнейший прогресс в преподавании физики, на

мой взгляд, будет тесно связан с широким использованием в учебном

процессе мощных современных ПЭВМ и компьютерных сетей локального

и глобального масштаба. Это, в скором будущем, позволит исключить

использование такой громоздкой техники как кино, эпи-, диа- и

графопроекция, обучающие и контролирующие устройства. Не надо ду-

мать однако, что ЭВМ вытеснит "живой" эксперимент, позволяющий

ученику соприкоснуться с явлением один на один. Речь идет о моде-

лировании тех опытов, постановка которых очень громоздка или не-

возможна вообще. Эти "мыслящие" машины должны стать в руках учи-

теля орудием более эффективной передачи знаний подрастающим поко-

лениям и усиления воспитательного влияния на них.(рис. 9,10,11)

Однако неправильно считать ЭВМ всесильными. Их применение

всегда должно определятся спецификой изучаемой темы и возмож-

ностью выразительно передать с их помощью главные особенности

- 49 -

изучаемого материала. Так, нельзя изучать физику только сидя за

терминалом ЭВМ. Основой обучения физики должно быть непосредс-

твенное (специально организованное педагогом) восприятие ученика-

ми изучаемых явлений. Учитель физики должен знать дидактические

возможности применения ЭВМ и в совершенстве владеть приемами их

использования.

Широкое применение ЭВМ дает возможность на всех этапах обуче-

ния:

1) повысить эффективность преподавания путем налаживания сис-

тематического (пооперационного) контроля знаний учащихся, индиви-

дуализировать усвоение знаний в условиях классно-урочной системы,

т.е. реализовать разноуровневость в обучении;

2) освободить учителя от монотонной технической работы, с тем

чтобы он мог больше времени уделять творческой деятельности.

3) развивать у учеников методы самостоятельной работы. Кроме

того, позволяет:

а) в ряде случаев дать учащимся более полную и точную инфор-

мацию об изучаемом явлении; с помощью компьютерной мультипликации

(или компьютерного видео), например, показать тела в состоянии

невесомости, выход человека в открытый космос, доменную структуру

ненамагниченного и намагниченного ферромагнетика, быстротечные

микропроцессы (например процессы в RLC-цепочке, скин-эффект) и

т.п.;

б) повысить наглядность, создать представления о механизме

сложных явлений и тем самым облегчить учащимся их понимание; так

средствами компьютерной мультипликации даются модельные представ-

ления об электрическом токе в проводниках разного рода, явлениях,

происходящих в атомных ядрах, о взаимодействии элементарных час-

- 50 -

тиц и т.д.

в) ознакомить учащихся с характером быстро и медленно проте-

кающих процессов, а также невидимых явлений;

г) познакомить учащихся с фундаментальными физическими экспе-

риментами, постановка которых в классе затруднена или невозмож-

на,- опытами Штерна, Резерфорда, Милликена и Иоффе, Стюарта, Ка-

вендиша и т.п.;

д) более успешно решать задачи политехнического образования,

поскольку компьютерная анимация позволит дать представление о

конструкции машин и механизмов и о физических принципах их рабо-

ты, а также показать переход от принципиальной схемы того или

иного технического устройства к её конкретному конструктивному

решению (например видеофрагменты по темам:"Машины переменного то-

ка","Радиолокация" и т.д.);

е) проводить контроль знаний учащихся учитывая их индивиду-

Характеристики

Список файлов реферата