150009 (732545), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

- 28 -

ш1.0

H 4y 0│ = H 4y 0│ (1.4.21) │ тоянно , не зависит от

│r=R │r=R │ пространственных координат

4внутри снаружи │

│

По теореме о циркуляции легко │ E 4z 0=const 42

получить: 5│

76 0 76 0 5│ 0 7ee 40 0 1 7 ч 0E 4z

7# 0Hdl=I (1.4.23) 5│ 0 H 4y 0= ─── ─ 7 0─── 7── 0 (1.4.24)

5│ 0 7mm 40 7 s ч 0x

5│ 0 5└ 0───┘

I 5* 0 5│ 0 5неопределенность

7H 4y 02l=I 5* 0l => H 4y 0=──── (1.4.25) 5│ 0 Магнитное поле такое же ,

2 5│ 0 как оно было бы вокруг про-

5│ 0 вода с постоянным током ,

I 5* 0 - линейная плотность тока 5│ 0 равным мгновенному значению

5│ 0 переменного тока.

ш1.0

Таким образом имеем уравнение:

7ч 52 0E 4z

──── - k 52 0E 4z 0=0 (1.4.26)

7ч 0x 52

где k 52 0=i 7mm 40 7ws

Решение этого уравнения хорошо известно[18]:

E(x) = Ae 5ikx 0+Be 5-ikx 0 (1.4.27)

7|\ 0 1-i 7|\\\\\ 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7|\\\\

т.к. 7? 0-i=────;k= 7?mm 40 7ws 5 ──── 0;k= ─ ────; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws

7|\ |\ |\

7? 0 2 7 ? 02 7 0 7d 0 7 ? 02

из геометрии задачи видно , что E 4z 0(x)=E 4z 0(-x) => A=B. Следова-

тельно решение уравнения можно записать в виде:

E(x) = A{e 5ikx 0+e 5-ikx 0} (1.4.28)

Тогда общее решение можно записать в виде ( переобозначив не-

которые выражения: x/(2 51/2 7s 0)=y , а 7w 0t-k 4z 0z= 7a 0 ):

4i 7ф

E 4z 0=A{e 5y 0e 5iy 0+e 5-y 0e 5-iy 0}e =A{e 5y 0(cosy+isiny)+e 5-y 0(cosy-isiny)}*

*{cos 7a 0+isin 7a 0}=A{(e 5y 0+e 5-y 0)cosy+i(e 5y 0-e 5-y 0)siny}{cos 7a 0+isin 7a 0}=

┌

=A│{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0-(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}+

└

┐

+i{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0+(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}│=

┘

A{(e 5y 0+e 5-y 0)cos 52 0y+(e 5y 0-e 5-y 0)sin 52 0y} 51/2 0{(cos 7f 0sin 7a 0-sin 7f 0cos 7a 0)+

- 29 -

+i(cos 7f 0sin 7a 0+sin 7f 0cos 7a 0)} (1.4.29)

ш1.0

(e 5y 0-e 5-y 0)siny 5 0e 5y 0-e 5-y

где tg 7f 0=────────────── 5 0= 5 0──────── tgy

(e 5y 0+e 5-y 0)cosy 5 0e 5y 0+e 5-y

Тогда вправе переписать:

┌──────────────────────────────────────────────── 5─ 0────────┐

│ │

│ E 4z 0=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0{cos( 7a 0+ 7f 0)+isin( 7a 0+ 7f 0)} (1.4.30) │

│ │

└─────────────────────────────────────────────────────────┘

ш2.0

Далее следует перейти к вещественной форме решения , так как

только такие решения имеют физический смысл. Приведенное выше

комплексное решение эквивалентно двум вещественным. Оба решения

одинаковы, так как синус всегда можно преобразовать в косинус ,

путем изменения начала отсчета времени. По этим же соображениям

путем изменения начала системы отсчета всегда можно положить z=0.

Окончательно получим:

ш1.0

┌──────────────────────────────────────────────────────────┐

│ E 4z 0(r,t)=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.4.31) │

│ │

│ e 5y 0-e 5-y 0 x 7|\\\\ 0 │

│ 7f 0=arctg 5 0──────── tgy ; y=─────── ; 7 d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7w 0=2 7pn 0 │

│ e 5y 0+e 5-y 0 2 51/2 7d 0 │

└──────────────────────────────────────────────────────────┘

Т.е. решения аналогичны цилиндрическим.

Интересен предел высоких частот: 7w6$ 0; 7d6$ 0;y 76$

┌───────────────────────────────────┐

│ │

│ E 4z 0(x,t)=Ae 5y 0cos( 7w 0t+y) (1.4.32) │

│ │

└───────────────────────────────────┘

x

y= ─────── (1.4.33)

2 51/2 7d

- 30 -

Предел низких частот: 7w6 00; 7d6 00;y 76 00

ш1.0

┌─────────────────────────────────────────────────────┐

│ E 4z 0(r,t)=A(1+2y+1-2y+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.4.34) │

│ │

│ │

│ 1+y-1+y │

│ tg 7f 0=───────y=y 52 0 │

│ 1+y+1-y │

│ │

│ │

│ E 4z 0(r,t)=A(2+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.35) │

│ │

│ │

│ E 4z 0(r,t)=A(2(1+cos2y)) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.36) │

│ │

│ │

│ E 4z 0(r,t)=A2│cosy│cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.37) │

└─────────────────────────────────────────────────────┘

ш2.0

Важно заметить, что в формулах (1.3.31) и (1.3.44) существует

дополнительное фазовое слагаемое, роль которого хорошо заметна

при сравнении рисунков 10 и 11.

Очевидно, что существует приповерхностный слой с плотностью

тока противоположно направленной поверхностному току.

Для наблюдения этого эффекта нужно сравнить графики в прог-

раммах skin.exe (с учетом фазового слагаемого) и skin_1.exe (без

учета).

ш2.0

- 31 -

_ 2Глава 2

1" Математические методы исследования процессов "

1 2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (далее ОДУ) широко

используются для математического моделирования процессов и явле-

ний в различных областях науки и техники.

В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неиз-

вестных величин входят функция y(x) и ее первые n производных по

аргументу x

7f 0(x,y,y',...y 5(n) 0)=0. (2.1.1)

Из теории ОДУ известно, что уравнение (2.1.1) эквивалентно

системе n уравнений первого порядка

7f 4k 0(x,y 41 0,y' 41 0,y 42 0,y' 42 0,...,y 4n 0,y' 4n 0)=0, (2.1.2)

где k=1,2,...,n.

Уравнение (2.1.1) и эквивалентная ему система (2.1.2) имеют

бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с

помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять ис-

комые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают-

ся три типа задач, для которых доказано существование и единс-

твенность решений.

Первый тип - это задачи Коши, или задачи с начальными услови-

- 32 -

ями. Для таких задач кроме исходного уравнения (2.1.1) в некото-

рой точке x 40 0 должны быть заданы начальные условия, т.е. значения

функции y(x) и ее производных

y(x 40 0)=y 40 0 ; y'(x 40 0)=y 410 0,...,y 5(n-1) 0(x 40 0)=y 4n-1,0 0. (2.1.3)

Для системы ОДУ типа (2.1.2) начальные условия задаются в виде

y 41 0(x 40 0)=y 410 0 ; y 42 0(x 40 0)=y 420 0,...,y 4n 0(x 40 0)=y 4n0 0. (2.1.4)

Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или

краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде

функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество

условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если

решение задачи определяется в интервале x 7е 0[x 40 0,x 4k 0], то такие усло-

вия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала.

Минимальный порядок ОДУ, для которого может быть сформулирована

граничная задача, равен двум.

Третий тип задач для ОДУ - это задачи на собственные значе-

ния. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций y(x)

и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных

параметров 7 l 41 0, 7l 42 0, 7l 43 0,..., 7l 4m 0, которые называются собственными зна-

чениями. Для единственности решения на интервале [x 40 0,x 4k 0] необхо-

димо задать n + m граничных условий. В качестве примера можно

назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов дис-

сипации, структуры электромагнитных полей и механических напряже-

ний в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффици-

ентов, коэффициентов затухания, распределения напряженностей по-

- 33 -

лей волновых процессов и т.д.

К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не уда-

ется построить аналитическое решение задачи через известные функ-

ции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более

эффективными даже при наличии аналитических решений [10].

Рассмотрим конкретные алгоритмы для каждого типа задач.

ш2.0

- 34 -

1 2.2 0 1Задача Коши. (Метод Рунге-Кутту 2-го порядка).

Систему ОДУ (2.1.2) часто удается представить в каноническом

виде, в так называемой форме Коши

ш0.9

dy 4k 0(x)

──────── = f 4k 0(x,y 41 0,y 42 0,...,y 4n 0), (2.2.1)

dx

ш2.0

где k=1,2,...,n.

При формулировке задачи Коши система (2.2.1) дополняется на-

чальными условиями (2.1.4). Для простоты рассмотрим задачу Коши

для одного уравнения типа (2.2.1), а затем полученные алгоритмы

обобщим на систему n уравнений

ш0.9

dy(x)

─────── = f(x,y), y(x 40 0)=y 40 0. (2.2.2)

dx

ш2.0

В окрестности точки x 40 0 функцию y(x) разложим р ряд Тейлора

ш0.9

(x-x 40 0) 52

y(x)=y(x 40 0)+(x-x 40 0)y'(x 40 0)+─────────y''(x 40 0)+..., (2.2.3)

2

ш2.0

который можно применить для приближенного определения искомой

функции y(x). D njxrt x 40 0 + h при малых значениях h можно ограни-

чится двумя членами ряда (2.2.3), тогда

y(x 40 0+h)=y 40 0+hy'(x 40 0)+O(h 52 0), (2.2.4)

где O(h 52 0)-бесконечно малая величина порядка h 52 0. Но такой метод

дает очень существенные погрешности.

Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, исполь-

зующего разложение искомого решения в ряд Тейлора (2.2.3), необ-

- 35 -

ходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом

возникает необходимость аппроксимации производных от правых час-

тей ОДУ. Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что

производные аппроксимируются через значения функции f(x,y) в точ-

ках на интервале [x 40 0,x 40 0+h], которые выбираются из условия наи-

большей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от стар-

шей степени h, с которой учитываются члены ряда, построены вычис-

лительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности [10].

Рассмотрим схемы второго порядка точности. Для этого порядка

точности полечено однопараметрическое семейство схем вида:

y(x 40 0+h)=y 40 0+h[(1- 7a 0)f 40 0+ 7a 0f(x 40 0+ 7g 0h,y 40 0+ 7g 0f 40 0h)]+O(h 53 0), (2.2.5)

где 0 7 0< 7 a , 0 1 - свободный параметр,

f=f(x,y), 7 g 0=(2 7a 0) 5-1 0.

Локальная погрешность схем (2.2.5) имеет 3-й порядок, гло-

бальная 2-й; т.е. решение ОДУ полученное по этой схеме, равномер-

но сходится к точному решению с погрешностью O(h 52 0).

Для параметра 7 a 0 наиболее часто используют значения 7 a 0=0,5 и

7a 0=1. В первом случае формула (2.2.5) приобретает вид

y(x 40 0+h)=y 40 0+h[f 40 0+f(x 40 0+h,y 40 0+hf 40 0)]/2, (2.2.6)

геометрическая интерпретация которой представлена на рис. 7

Вначале вычисляется приближенное решение ОДУ в точке x 40 0 + h по

формуле Эйлера y 4Э 0= 4 0y 40 0+ 4 0hf 40 0. Затем определяется наклон интег-

- 36 -

ральной кривой в найденной точке f(x 40 0+h,y 4Э 0), и после нахождения

среднего наклона на шаге h находится уточненное значение

y 4RK 0=y(x 40 0+h). Схемы подобного типа называют "прогноз-коррекция",

что подразумевает грубое вычисление решения по формуле низкого

порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о пове-

дении интегральной кривой [10].

С целью экономии памяти при программировании алгоритма

(2.2.6), обобщенного на системы ОДУ, изменим его запись с учетом

того, что y 40 0=y 4Э 0-hf 40

y 4k 0(x 40 0+h)=y 4kЭ 0+h[f 4k0 0-f 4k 0(x 40 0+h,y 4kЭ 0)]/2, (2.2.7)

где k - номер решения для системы ОДУ.

Во втором случае при 7a 0=1 от формулы (2.2.5) переходим к схеме

y(x 40 0+h)=y 40 0+hf(x 40 0+h/2,y 40 0+hf 40 0/2), (2.2.8)

геометрический смысл которой отражает рис. 8. Здесь при прогно-

зе определяется методом Эйлера решение в точке x 40 0+h/2

y 41/2 0=y 40 0+hf 40 0/2, (2.2.9)

а после вычисления наклона касательной к интегральной кривой в

средней точке решение корректируется по этому наклону.

ш2.0

- 37 -

1 2.3 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка.

Для построения вычислительных схем методов Рунге-Кутты чет-

вертого порядка в тейлоровском разложении искомого решения y(x)

учитываются члены, содержащие степени шага h до четвертой включи-

тельно. после аппроксимации правой части ОДУ f(x,y) получено се-

мейство схем Рунге-Кутты четвертого порядка, из которых наиболее

используемой в вычислительной практике является следующая:

y(x 40 0+h)=y 40 0+(k 41 0+2k 42 0+2k 43 0+k 44 0)/6+O(h 55 0), (2.3.1)

где

k 41 0=hf(x 40 0,y 40 0),

k 42 0=hf(x 40 0+h/2,y 40 0+k 41 0/2),

k 43 0=hf(x 40 0+h/2,y 40 0+k 42 0/2),

k 44 0=hf(x 40 0+h,y 40 0+k 43 0).

Схема (2,3,1) на каждом шаге h требует вычисления правой час-

ти ОДУ в 4-х точках. Локальная погрешность схемы имеет 5-й поря-

док, глобальная - 4-й. Схема обобщается для систем ОДУ, записан-

ных в форме Коши. Для удобства программной реализации, особенно в

случае систем ОДУ, формулы (2,3,1) рекомендуется преобразовать к

виду:

y 4i 0(x 40 0+h)=y 4i0 0+(q 4i1 0+2q 4i2 0+2q 4i3 0+q 4i4 0)/3+O(h 55 0), (2.3.2)

где

- 38 -

q 4i1 0=h 42 0f 4i 0(x 40 0,y 4i0 0), h 42 0=h/2

q 4i2 0=h 42 0f 4i 0(x 40 0+h/2,y 4i0 0+q 4i1 0),

q 4i3 0=hf 4i 0(x 40 0+h/2,y 4i0 0+q 4i2 0),

q 4i4 0=h 42 0f 4i 0(x 40 0+h,y 4i0 0+q 4i3 0),

i=1,2,...,n - номер уравнения в системе ОДУ из n уравнений.

В приводимом тексте программ рассматривается решение уравне-

ния Ван дер Поля:

y''+p(y 52 0-1)y'+y=0, (2.3.3)

которое является математической моделью автоколебательных механи-

ческих и электронных схем. Параметр p в уравнении (2,3,3) опреде-

ляет нелинейные свойства системы. Для малых (p << 1) и больших

(p >> 1) значения параметра p в теории колебаний развиты прибли-

женные методы аналитического решения уравнения Ван дер Поля. Для

промежуточных значений параметра p уравнение приходится решать

численными методами[10].

Для приведения уравнения (2,3,3) к форме Коши введем обозна-

чения: y 41 0(x)=y(x),y 42 0(x)=y'(x), тогда получим систему уравнений:

Характеристики

Список файлов реферата