150009 (732545), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

ш1.0

76 6 6

F 4st 0+G+F 4арх 0=0 (1.2.1)

F 4st 0=G-F 4арх 0 (1.2.2)

F 4st 0=6 7ph 0aV 4G 0, (1.2.3)

G-F 4aрх 0=3 7p 0a 53 0( 7r 4k 0- 7r 0)g/4, (1.2.4)

ш2.0

Ф+

где a-радиус капли, 7h 0-вязкость газа, V 4G 0-скорость свободного паде-

ния капли, 7r 4k 0-плотность капли, 7r 0-плотность газа.

- 12 -

Представим себе теперь , что к пластинам конденсатора прило-

жено напряжение, величина и знак которого подобраны так, чтобы

капелька под действием электрического поля поднималась вверх. Ес-

ли через V 4Е 0обозначить скорость этого подъема, то можно записать:

Ф-

Еq-mg=6 7ph 0aV 4E 0 (1.2.5)

Ф+

где Е - напряженность поля внутри конденсатора. Ионизируя воздух

между пластинами конденсатора ( например , при помощи рентгеновс-

ких лучей ) , можно изменить заряд капли. Если при этом величину

напряженности поля оставить прежней , то скорость капли изменится

и станет равной V 4E1 0.

Продолжая эти рассуждения, можно получить формулу для раз-

ности зарядов (q-заряд до облучения , q 41 0-заряд после облучения):

Ф-

1.0

7p 0(2V 4G 7h 53 0) 51/2

7D 0q=q-q 41 0=9───────────────(V 4E 0-V 4E1 0) (1.2.6)

E(( 7r 4k 0- 7r 0)g) 51/2

ш2.0

Ф+

Облучая каплю несколько раз и меняя напряжение, Милликен

проводил с одной каплей много опытов. Измеряя скорости падения и

подъема капли, экспериментатор рассчитал заряд электрона, который

по его данным оказался равным

e=4.805*10 5-10 0СГСЭ.

Схема установки Милликена приведена на рис. 3 [11,19].

Проведем строгое решение задачи о движении заряженной части-

цы в электрическом поле в вязкой среде. Данное движение (рис.2)

описывается следующим уравнением:

- 13 -

Ф-

ш1.0

76

dV 76 0 7 6 0 76 0 7 0 76

m ──── = F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 + F 4электр 0; (1.2.7)

dt

dV 4x

m ───── = - F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 - F 4электр 0 (1.2.8)

dt

ш2.0

76 0 7 6

где F 4электр 0=qE - сила, действующая на заряженную частицу в

электрическом поле с напряженностью E, причем

E 4x 0= 7+ 0 U/d , 7 0U - напряжение между обкладками конденсатора

d - расстояние между обкладками конденсатора

F 4сопр- 0определяется по закону Стокса (1.2.3), G=mg - сила тяжести

После подстановки и преобразований получим:

ш1.0

dVx 6 7ph 0а Gx F 4арх 0 4 0qE 4x

───── + ────── Vx = ──── - ────── + ───── (1.2.9)

dt m m m m

Введем обозначения

ш1.0

9 7h 0 7r 0 7 03qE 4x

7a 0=───────;(1.2.10) 7b 0=g(1- ────);(1.2.11) 7g 0=────────;(1.2.12)

2 7r 4k 0а 52 0 7r 4k 0 4 7r 4k 7p 0a 53

получим

dVx

───── + 7a 0Vx = 7b 0 + 7g 0 (1.2.13)

dt

4- 7a 0t 7b 0+ 7 g

Общее решение этого уравнения: V 4x 7 0= 7 0const e + 7 0─────── (1.2.14)

7a

используя начальное условие

7b 0 + 7g 0 7b 0 + 7g

Vx│ =V 40 0 ; 4 0V 40 0 = const + ─────── 7" 0 const = V 40 0 - ─────── (1.2.15)

│t=0 7 0 7a 0 7 0 7a

- 14 -

ш1.0

имеем

7{ 0 7b 0 + 7g 0 7} 0 4- 7a 0t 7b 0 + 7g

V 4x 0 4= 0 72 0 V 40 0 - ─────── 72 0 e 4 0+ ─────── (1.2.16)

7[ 0 7a 0 7 ] 0 7a

4x 0 4t

7! 0 7!

так как 72 4 0dx = 7 2 0 V 4x 0 dt (1.2.17) и x│ =0 получим

71 0 71 0 │t=0

5x 40 0 50

1 7( 0 7 b 0+ 7g 0 7) 4 0 4- 7a 4t 0 7( 0 7 b 0+ 7 g 0 7)

x = - ─── 7 * 0V 40 7 0- 7 0─────── 7 8 0 e + 7 * 0─────── 7 8 0 t (1.2.18)

7a 9 0 7a 0 70 0 7 9 0 7 a 0 7 0

Для создания демонстрационной программы удобнее использовать

формулу не для x , а для 7D 0x ,

1 7{ 0 7b 0+ 7g 0 7}{ 0 4- 7a 4t 0 7} 0 7 b 0+ 7 g

7D 0x=x-x 40 0= ─── 72 0V 40 0- ─────── 722 0 1 - e 72 0+─────── t (1.2.19)

7a 0 7[ 0 7 a 0 7 ][ 0 7 ] 0 7 a

ш2.0

При q 41 0=n 41 0e 76 g 41 0= 7a 0V 41x 0- 7a 0V 40x 0, а при q 42 0=n 42 0e 76 g 42 0= 7a 0V 42x 0- 7a 0V 40x 0(1.2.20),

где V 40x 0-скорость падения капли до облучения и без напряже-

ния,V 41x 0-скорость падения капли до облучения при наличии по-

ля,V 42x 0-скорость капли после облучения при наличии поля. Разделив

(1.2.20) друг на друга получим:

1.0

7g 41 0 V 41x 0 - V 40x 0 q 41

─── 4 0= 4 0─────────── = ──── (1.2.21)

7g 42 0 V 42x 0 - V 40x 0 q 42

ш2.0

Определив из формулы (1.2.16) значения для V 40x 0,V 41x 0,V 42x 0и подста-

вив их в (1.2.21) можно получить отношение q 41 0 к q 42 0и если оно

равно отношению целых чисел то мы вправе утверждать , что оба

- 15 -

заряда кратны одному и тому же значению - элементарному электри-

ческому заряду, который по современным данным равен:

e=1.6021892*10 5-19 0Кл.

ш2.0

- 16 -

1 0 11.3 0 1Скин эффект в цилиндрической геометрии.

Скин-эффект (от англ. skin-кожа) - это явление затухания

электромагнитных волн по мере их проникновения в проводящую сре-

ду. Переменное во времени электрическое поле 3 0и связанное с ним

магнитное поле не проникают в глубь проводника, а сосредоточены

большей частью в относительно тонком приповерхностном слое толщи-

ной 7 d 0, называемом 1 глубиной скин-слоя 0. Происхождение скин-эффекта

объясняется тем, что под действием внешнего переменного поля в

проводнике свободные электроны создают токи, поле которых компен-

сирует внешние поле в объеме проводника. Скин-эффект проявляется

у металлов, в плазме и в других средах с достаточно большой про-

водимостью[12,15].

Глубина скин-слоя существенно зависит от проводимости 7s 0, цик-

лической частоты электромагнитного поля 7 w 0, от состояния поверх-

ности. На малых частотах 7 d 0 велика, убывает с ростом частоты и для

металлов на частотах оптического диапазона оказывается сравнимой

с длинной волны 7 l` 010 5-5 0 см. При еще больших частотах, превышающих

1плазменную частоту 0, в проводниках оказывается возможным распрост-

ранение электромагнитных волн. Их затухание определяется как

внутризонными, так и межзонными электронными переходами.

Теоретическое описание скин-эффекта сводится к решению кине-

тического уравнения для носителей заряда с целью определения свя-

зи тока с полем и последующему решению уравнений Максвелла. Наи-

более просто описывается нормальный скин-эффект, который имеет

место, когда 7 d 0 велика по сравнению с эффективной длиной 7 0 пробега

l электронов. Величина l определяется расстоянием, проходимым

- 17 -

электроном за время 7 t 0 между двумя актами рассеяния( 7t 0-время релак-

сации) либо за период поля 1/ 7w 0 в зависимости от того, какая из

этих величин меньше. В общем случае:

v

l= ────────, (1.3.1)

7t 5-1 0-i 7w

где v-скорость электрона.

Известно 3 вида скин-эффекта: нормальный, аномальный и нели-

нейный.

В случае аномального скин-эффекта происходит рассмотрение си-

туации, когда l > 7 d 0; он наблюдается в СВЧ-диапазоне в чистых ме-

таллах при низких температурах.

При достаточно высоких значениях напряженности электромагнит-

ного поля, когда параметры среды, например проводимость 7 d 0, начи-

нают зависеть от поля, скин-эффект становится нелинейным, т.е.

толщина скин-слоя 7 d 0 также начинает зависеть от интенсивности

электромагнитного поля.

Подробно рассмотрим распределение плотности тока по сечению

проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный

ток , т.е. нормальный скин-эффект. Точное решение зависит , вооб-

ще говоря , не только от формы проводника, но и от способа воз-

буждения в нем тока, т.е. от характера внешнего переменного маг-

нитного поля , индуцирующего ток. Есть однако важный случай, ког-

да распределение тока можно считать независящим от способа его

возбуждения. Это ток в тонком проводе, толщина которого мала по

сравнению с его длиной.

При вычислении распределения тока по сечению тонкого провода

будем считать последний прямолинейным. При этом электрическое по-

- 18 -

ле параллельно оси провода, а вектор напряженности магнитного по-

ля лежит в плоскости перпендикулярной к оси провода[12].

Рассмотрим провод кругового сечения. Этот случай особенно

прост в связи с тем, что вид поля провода заранее ясен. Действи-

тельно, в силу симметрии на поверхности провода вектор напряжен-

ности электрического поля зависит только от времени. Но при таком

граничном условии уравнения

76 6

div E = 0 и rot E = 0 7 0 7 0 (1.3.2)

76

в пространстве вне провода имеет лишь решение E = const 7 0не зави-

сящие от пространственных координат во всем пространстве. Отсюда

следует, что магнитное поле вокруг провода будет таким же, каким

оно было бы вокруг провода с постоянным током, равным данному

мгновенному значению переменного тока.[15]

Итак пусть имеется очень длинный проводник радиуса R. Исполь-

зуя уравнения Максвелла и выражение для rot в цилиндрической

системе координат:

ш1.0

76 0 │ 7 ( 0 4 7 ) ( )

76 0 7ч 0B 7ы 0 │ 76 2 01 7 0 7ч 0E 4z 7ч 0E 7f 4 726 2 ч 0E 4r 7 ч 0E 4z 726

rotE=-──── ; │ rotE= 72 0- 7 0──── 4 0- 4 ───── 72 0e 4r 0+ 72 0──── + 4 0──── 72 0e 7f 0+

7ч 0t │ 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2 ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2

(1.3.3) │ 7 9 0 4 70 9 0

76 0 │

76 0 76 ч 0D │ 7 ( 0 7 )

rotH=j+──── ; │ 7 2 01 7 ч 0(rE 7f 0) 7 01 7 ч 0E 4z 7 26

7ч 0t 7я 0 │ 7 0 + 72 0- 7 0────── 7 0- 4 0- 7 0───── 72 0e 4z 0 (1.3.4)

(1.3.5) │ 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2

Закон Ома │ 7 9 0 7 0

76 0 76 0 │

j= 7s 0E │ 7 ( 0 4 7 ) ( )

(1.3.6) │ 76 2 01 7 0 7ч 0H 4z 7ч 0H 7f 4 726 2 ч 0H 4r 7 ч 0H 4z 726

│ rotH= 72 0- 7 0──── 4 0- 4 ───── 72 0e 4r 0+ 72 0──── + 4 0──── 72 0e 7f 0+

Материальные урав-│ 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2 ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2

нения │ 7 9 0 4 70 9 0

- 19 -

ш1.0

76 6 0 7) 0 │ 7( 0 7 )

D= 7ee 40 0E 72 0 (1.4.7) │ 72 01 7 ч 0(rH 7f 0) 7 01 7 ч 0H 4z 7 26

76 0 76 0 72 0 │ 7 0+ 72 0- 7 0────── 7 0- 4 0- 7 0───── 72 0e 4z 0 (1.3.8)

B= 7mm 40 0H 70 0 │ 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2

79 0 7 0

76 0 7 6

76 ч 0H 76 0 76 ч 0E

rotE=- 7mm 40── 0 (1.3.9); rotH= 7s 0E+ 7ee 40── 0 (1.3.10);

7ч 0t 7 0 7 ч 0t

7ч

Из симметрии задачи видно , что ──=0 , тогда получим:

7чf

7ч 0E 7f ч 0H 4r 7 0 │ 7 ч 0H 7f 4 7 ч 0E 4r

- ─── =- 7mm 40 0─── (1.3.11) │ - ───= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0─── (1.3.12)

7ч 0z 7 ч 0t 7 0 │ 7 ч 0z 7 4 7 ч 0t

│

7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 │ 7 ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f

─── - ───=- 7mm 40 0─── (1.2.13) │ ─── - ───= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0───(1.3.14)

7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t │ 7 ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t

│

1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 0 │ 7 01 7ч 0(rH 7f 0) 7 0 7ч 0E 4z

- ──────=- 7mm 40 0─── (1.3.15) │ - ──────= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0─── (1.3.16)

r 7ч 0r 7ч 0t │ 7 0r 7ч 0r 7 0 7ч 0t

Очевидно , что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы:

ш1.0

1 7 ч 0(rH 7f 0) 7 ч 0E 4z 0 7) 0 │ 1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 7 )

- ──────= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0─── (а) 72 0 │ - ──────=- 7mm 40 0─── 7 2

r 7 0 7ч 0r 7 ч 0t 72 0 │ r 7ч 0r 7ч 0t 7 2

72 0 │ 7 2

7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 72 0 │ 7ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f 2

─── - ───=- 7mm 40 0─── (б) 78 0(1)│ ─── - ───= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0─── 7 8 0(2)

7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t 72 0 │ 7ч 0z 7 ч 0r 7ч 0t 7 2

72 0 │ 7 2

7чHf 0 7 4 7ч 0Er 72 0 │ 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4r 7 2

- ───= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0─── (в) 72 0 │ - ─── =- 7mm 40 0─── 7 2

7ч 0z 7 0 7 4 7ч 0t 70 0 │ 7ч 0z 7 ч 0t 7 0

│

С компонентами E 4z 0,H 7f 0,E 4r 0 эта сис-│С компонентами H 4z 0,E 7f 0,H 4r 0 эта сис-

тема описывает скин-эффект. │тема описывает вихревые токи.

ш2.0

Будем рассматривать только первую систему, описывающую скин-

эффект.

Очевидно, что если в каком либо месте проводника поле перио-

дически меняется во времени, то оно будет периодически меняться и

во всех остальных точках проводника. При отыскании периодических

решений системы (1) вместо синуса или косинуса удобно пользовать-

ся комплексной показательной функцией, а затем с помощью извест-

- 20 -

ной формулы Эйлера:

ш1.0

4i 7ф

e 4 = 0cos 7a 0+isin 7a 0; (1.3.17)

ш2.0

перейти к вещественной форме решения.

Кроме того отметим, что уравнения в системе (1) линейны и од-

нородны и следовательно для них выполняется принцип суперпозиции:

Характеристики

Список файлов реферата