150009 (732545), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

сумма произвольного числа решений уравнения сама является решени-

ем того же уравнения.

Ищем решение системы (1) в виде:

ш1.0

i 7w 0t 7 ч )

E 4z 0=E 4z 0(r)e ──=i 7w 2

i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 2 0 (1.3.18)

H 7f 0=H 7f 0(r)e 7 ┌ ч 2

i 7w 0t => ──=-ik 4z 7 2

E 4r 0=E 4r 0(r)e 7 ч 0z 7 0

Положим k 4z 0=0 так , как мы ищем колебательное решения , а не

волновое. Кроме того считаем , что 7 s > e 40 7ew 0 поэтому 7 e 0=0.

Тогда:

│

ik 4z 0H 7f 0= 7s 0E 4r 0 => E 4r 0=0 (1.3.19) │

│

│ 7s 0 7 ч 0E 4z

7ч 0E 4z 7я 0 │ H 7f 0 = ──────── ───── (1.3.22)

───── = i 7mm 40 7w 0H 7f 0 (1.3.20) │ i 7mm 40 7ws 0 7ч 0r

7ч 0r │

│

7ч 0H 7f 0 1 │

─── + ─ H 7f 0 = 7 s 0E 4z 0 (1.2.21) │

7ч 0r r

7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z

──── + ─ ─── 4 0- i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.23)

7ч 0r 52 0 r 7ч 0r

Рассмотрим 2 возможных случая:

1) _Снаружи проводника . ( 7s 0=0)

- 21 -

ш1.0

┌ ┐

7ч 52 0E 4z 0 7 01 7 ч 0E 4z 0 1 7 ч 0 │ 7ч 0E 4z 0 │ 7 ч 0E 4z

──── + ─ ─── = 0 => ─ ──│ r─── │ = 0 => r─── = const 41

7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r r 7 ч 0r│ 7 0 7ч 0r │ 7 ч 0r

└ ┘

7ч 0E 4z 0 const 41 7 ! 0 const 41

─── 4 0= ────── => E 4z 0= 72 0 ────── dr (1.3.24)

7ч 0r 7к 0 r 7 1 0 r

E 4z 0=const 41 0ln(r)+const 42 0 (1.3.25)

ш2.0

Т.к. при r 76$ 0 поле не может бесконечно возрастать => const 41 0=0,

следовательно E=const 42 0 т.е. не зависит от пространственных коор-

динат вокруг проводника.

2) _ Внутри проводника

7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z

──── + ─ ─── 4 0-i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.26)

7ч 0r 52 0 r 7ч 0r

Очевидны граничные условия:

ш1.0

I

E 4z 0│ =E 4z 0│ и H 7f 0│ =H 7f 0│ = ───

│r=R │r=R │r=R │r=R 2 7p 0R (1.3.27)

Таким образом мы получили уравнение:

7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z

──── + ─ ─── 4 0+ k 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.28)

7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r

где k 52 0=-i 7mm 40 7ws

7ы 0 ┌ 1 ┐ 7ч 0E 4z

H 7f 0=│ ───── │ ─── (1.3.29)

└ i 7mm 40 7w 0 ┘ 7ч 0r

ш2.0

Это хорошо известное уравнение Бесселя решение которого

записывается в виде комбинации функций Бесселя и Неймана ( или

- 22 -

ш2.0

Вебера )[8,18]:

E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr)+BN 40 0(k 41 0r) (1.3.30)

Однако N 40 0(x) 76$ 0при x 76 00 , поэтому мы вынуждены отбросить это

решение и окончательно записать:

E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr) (1.3.31)

Или общее решение:

ш1.0

i 7w 0t

E(r,z,t)=AJ(kr)e (1.3.32)

7|\ 0 1-i 7|\\\\\ 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7|\\\\

т.к. 7? 0-i=────;k= 7?mm 40 7ws 5 ──── 0;k= ─ ────; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws

7|\ |\ |\

7? 0 2 7 ? 02 7 0 7d 0 7 ? 02

ш2.0

7d 0 - глубина проникновения.

Как известно , расчет значений функции Бесселя комплексного

аргумента представляет собой достаточно сложную вычислительную

задачу. Кроме того данное решение не обладает достаточной сте-

пенью наглядности.

Вместе с тем хорошо известно , что уравнение вида:

ш1.0

7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z

──── + ─ ─── 4 0- i 7l 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.33)

7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r

7l 52 0= 7mm 40 7ws 0 ; 7 l 0=1/ 7d

ш2.0

имеет решение в виде комбинации функций Кельвина:

- 23 -

ш2.0

E 4z 0=A[ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)]+B[ker 40 0( 7l 0r)+kei 40 0( 7l 0r)] (1.3.34)

Причем функции ker 40 0( 7l 0r) и kei 40 0( 7l 0r) мы должны отбросить по тем

же соображениям , что и функции Неймана в предыдущем решении.

Это же легко подтвердить из следующих соображений:

ш0.9

7|\ 0 -i 7p 0/4

(1-i)/ 7? 02 7 0=e (1.3.35)

Тогда согласно [8] получим:

-i 7p 0/4

ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)=I 40 0( 7l 0re ) (1.3.36)

ш2.0

Очевидно , что : ber 40 0( 7l 0r)=Re{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.37)

bei 40 0( 7l 0r)=Jm{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.38)

Очевидно , что общее решение будет иметь вид :

ш0.8

i 7w 0t

E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}e (1.3.39)

ш1.0

Преобразуем последнее выражение :

E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}{cos( 7w 0t-k 4z 0z)+isin( 7w 0t)}=

┌ ┐

=A│{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)-ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}│+

└ ┘

┌ ┐

+i│{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)+ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}│=

└ ┘

┌ 7 |\\\\\\\\\\

=A│((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 7 0cos( 7w 0t+ 7f 0)+

└

7|\\\\\\\\\\ 0 ┐

+i((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0 sin( 7w 0t+ 7f 0)│; (1.3.40)

┘

bei 40 0(r/ 7d 0)

где tg 7f 0=───────────

ber 40 0(r/ 7d 0)

7|\\\\\\\\\\

E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0{cos( 7w 0t+ 7f 0)+isin( 7w 0t+ 7f 0)} (1.3.41)

- 24 -

ш2.0

Далее необходимо перейти к вещественной форме решения , так

как только такие решения имеют физический смысл. Как было показа-

но выше всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным

решениям.

ш1.0

7|\\\\\\\\\\

E 4z1 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.42)

7|\\\\\\\\\\

E 4z2 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0sin( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.43)

7|\\\\

где 7 f 0 - определяется выше , а 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws

ш2.0

Оба решения одинаковы так как от функции синуса всегда можно

перейти к косинусу путем изменения начала отсчета времени.

Окончательно получим :

ш1.0

┌─────────────────────────────────────────────────────────┐

│ │

│ E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+(bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.44) │

│ │

│ │

│ bei 40 0(r/ 7d 0) 7 0 7|\\\\ 0 │

│ где 7 f 0= arctg─────────── ; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7 w 0=2 7pn 0 │

│ ber 40 0(r/ 7d 0) │

└─────────────────────────────────────────────────────────┘

ш2.0

7n 0 - частота переменного тока

7m 0 - магнитная проницаемость проводника

7m 40 0=4 7p 0*10 5-7 0 Гн/м - магнитная постоянная

7s 0 - проводимость проводника

Постоянную A можно определить зная полный ток в любой момент

времени:

ш1.0 7

4R R

7! ! !

I(t)= 72 0jdS= 72s 0E 4z 02 7p 0rdr=2 7ps2 0E 4z 0(r,t)rdr (1.3.45)

71 1 1

50 0

- 25 -

ш1.0

7|\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Графики функций ber 40 0(x),bei 40 0(x), 7? 0((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+bei 40 0(r/ 7d 0) 52 0),

7f 0(x) в приложении (на рис. 4,5).

ш1.0

При высоких частотах.

x>>1

7|\\ |\ |\

ber(x)= 7? 02 7p 0x 7 0exp(x/ 7? 02)cos((x/ 7? 02)- 7p 0/8) (1.3.46)

7|\\ |\ |\

ber(x)= 7? 02 7p 0x 7 0exp(x/ 7? 02)sin((x/ 7? 02)- 7p 0/8) (1.3.47)

Тогда x=r/ 7d

┌ 7 |\ |\

E 4z 0(r,t)=A│(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7? 02)cos 52 0((x/ 7? 02)- 7p 0/8)+

└

7|\ 0 7|\ 0 5┐

+(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7? 02)sin 52 0((x/ 7? 02)- 7p 0/8) 5│ 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.48)

5┘

7|\\ |\

7? 02 7p 0x 7 0sin((x/ 7? 02)- 7p 0/8) 7 |\

7f 0=arctg───────────────────────=arctg{tg((x/ 7? 02)- 7p 0/8)} (1.3.49)

7|\\ |\

7? 02 7p 0x 7 0cos((x/ 7? 02)- 7p 0/8)

7|\

7f 0=(x/ 7? 02)- 7p 0/8

┌──────────────────────────────────────────────────────────────┐

│E 4z 0(r,t)=A(2 7p 0r/ 7d 0) 5-1/2 0exp(r/ 7d 02 51/2 0)cos( 7w 0t+(r/ 7d 02 51/2 0)- 7p 0/8) (1.3.50)│

└──────────────────────────────────────────────────────────────┘

ш2.0

При малых частотах.

x 76 00 ber(x) 7~ 01 ; bei(x) 7~ 0x 52 0/4 ; tg 7f~ 0x 52 0/4 7~f

Тогда E 4z 0(r,t)=A(1+x 54 0/16) 51/2 0cos( 7w 0t+x 52 0/4) (1.3.51)

ш2.0

- 26 -

1 1.4 Скин-эффект в плоской геометрии.

Цилиндрические функции табулированы, однако их машинный рас-

чет является достаточно длительной по времени задачей. Покажем ,

что плоской геометрии решения очень похожи на решения в цилиндри-

ческой геометрии , причем функции sin, exp, cos считаются намного

быстрее.

Рассмотрим достаточно тонкую очень длинную ленту, по которой

течет ток (шина) (рис.6)

Ф-

ш1.0

│ 7 6 6 6

76 0 │ 4 0│ e 4x 0 4 0e 4y 0 4 0e 4z 0 │ ┌ ┐ ┌ ┐

76 0 7ч 0B │ 76 0 │ │ 4 76 4 0│ 7ч 0E 4z 0 7ч 0E 4y 0│ 76 4 0│ 7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 0│

rotE=-── │ 7 0rotE=│ 7ч 0/ 7ч 0x 7 ч 0/ 7ч 0y 7 ч 0/ 7ч 0z│=e 4x│ 0─── - ───│+e 4y│ 0─── - ───│+

7ч 0t │ │ │ 4 0│ 7ч 0y 7ч 0z │ 4 0│ 7ч 0z 7ч 0x │

(1.4.1) │ │ E 4x 0 E 4y 0 E 4z 0 │ └ ┘ └ ┘

76 0 │

76 0 76 0 7ч 0D │

rotH=j+── │ ┌ ┐

7ч 0t │ 76 4 0│ 7ч 0E 4y 0 7ч 0E 4x 0│

(1.4.2) │ +e 4z│ 0─── - ───│ (1.4.3)

76 6 0 │ 4 0│ 7ч 0x 7ч 0y │

j= 7s 0E 7о 0 │ └ ┘

76 4 76 0 ├────────────────────────────────────────────────────

D= 7ee 40 0E │ 7 6 6 0 76 6 6

76 4 76 0 │ rotE=- 7mm 40 7ч 0H/ 7ч 0t (1.4.4); rotH= 7s 0E+ 7ee 40 7ч 0E/ 7ч 0t (1.4.5)

B= 7mm 40 0H │

Из симметрии задачи очевидно , что 7 ч 0/ 7ч 0y=0

7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x 0 4│ 0 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4x

-─── =- 7mm 40 0─── (1.4.6) 4│ 0 -─── = 7s 0E 4x 0+ 4 7ee 40 0─── (1.4.7)

7ч 0z 7 ч 0t 4 0 4│ 0 7ч 0z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t

4│

7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 0 4│ 0 7ч 0H 4x 0 7ч 0H 4z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4y

4─── 0 - ─── =- 7mm 40 0─── (1.4.8) 4│ 0 ─── - ─── = 7s 0E 4y 0+ 4 7ee 40 0─── (1.4.9)

7ч 0z 4 0 7ч 0x 7 ч 0t 4 0 4│ 0 7ч 0z 7ч 0x 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t

4│

7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z 0 4│ 0 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4z

─── =- 7mm 40 0─── (1.4.10) 4│ 0 ─── = 7s 0E 4z 0+ 4 7ee 40 0─── (1.4.11)

7ч 0x 7 ч 0t 4 0 4│ 0 7ч 0x 7 0 7 4 7 0 4 7ч 0t

Очевидно , что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы:

7) 0 │

7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4z 7 2 0 │ 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x

─── = 7s 0E 4z 0+ 4 7ee 40 0─── (a) 78 0 (a)│ -─── =- 7mm 40 0───

7ч 0x 7 0 7 4 7 0 4 7ч 0t 7 0 0 │ 7ч 0z 7 ч 0t

- 27 -

7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 7 ) 0 │ 7ч 0H 4x 0 7ч 0H 4z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4y

4─── 0 - ─── =- 7mm 40 0─── (b) 72 0 │ ─── - ─── = 7s 0E 4y 0+ 4 7ee 40 0───

7ч 0z 4 0 7ч 0x 7 0 7 ч 0t 7 0│ │ 7ч 0z 7ч 0x 7 0 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t

78 0 (a)│

7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4x 7 2 0 │ 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z

-─── = 7s 0E 4x 0+ 4 7ee 40 0─── (c)│ │ ─── =- 7mm 40 0───

7ч 0z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t 7 2 0 │ 7ч 0x 7 ч 0t

70 0 │

────────────────────────────────┼────────────────────────────────

С компонентами E 4z 0,H 4y 0,E 4x 0 , эта │ С компонентами H 4z 0,E 4y 0,H 4x 0 , эта

система описывает скин-эффект │ система описывает вихревые токи

────────────────────────────────┴────────────────────────────────

Занимаемся только системой (a) и ищем решения в виде:

ш1.0

7)

i 7w 0t 7 ч 2

E 4z 0=E 4z 0(r)e ──=i 7w 2

i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 8 0 (1.4.12)

H 4y 0=H 4y 0(r)e 7 ┌ ч 2

i 7w 0t => ──=-ik 4z 7 2

E 4x 0=E 4x 0(r)e 7 ч 0z 7 2

70

7ч 0H 4y

───= 7s 0E 4z 0 (1.4.13)

7ч 0x

7ч 0E 4z 0 7ы

─── = i 7mm 40 7w 0H 4y 0 (1.4.14)

7ч 0x

E 4x 0= 0 (1.4.15)

7s 0 7 ч 0E 4z

H 4y 0= ─────── 7 0─── (1.4.16)

i 7mm 40 7ws ч 0x

7ч 52 0E 4z

──── - i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.17)

7ч 0x 52

Таким образом имеем уравнения:

Внутри проводника │ Снаружи проводника ( 7s 0=0)

──────────────────────────────────┼──────────────────────────────

7ч 52 0E 4z 0 │ 7ч 52 0E 4z

──── - i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.18) │ ──── = 0 (1.4.19)

7ч 0x 52 0 │ 7ч 0x 52

│

Очевидны граничные условия: │ Решение:

│ E 4z 0=const 41 0x+const 42 0 (1.4.22)

E 4z 0│ = E 4z 0│ (1.4.20) │ Так как поле не может бес-

│r=R │r=R │ конечно возрастать то:

4внутри 5 4снаружи 0 │ const 41 0=0

│ Поле вне проводника пос-

Характеристики

Список файлов реферата