kursovik_final (731842), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Д ля качественного рассмотрения кинетических явлений, протекающих в газе, используют грубые оценки интеграла столкновений через два параметра: длины свободного пробега и времени свободного пробега . Пусть при движении молекула прошла единицу длины, столкнувшись при этом с молекулами, находящимися в объеме прямого цилиндра единичной длины и площадью основания ( - эффективное сечение молекулы). В этом объёме имеется молекул.

• с реднее расстояние между молекулами;

В еличина - время свободного пробега. Для грубой оценки интеграла столкновений можно использовать:

З аписанная в числителе разность учитывает тот факт, что интеграл столкновений обращаются в нуль для равновесной функции распределения, а знак “минус” говорит о том, что столкновения являются механизмом установления статистического равновесия, т.е. стремятся уменьшить отклонение функции распределения от равновесной ( иными словами, любая система, выведенная из состояния равновесия, отвечающего минимальной внутренней энергии системы, и предоставленная самой себе, стремится вернуться в равновесное состояние).

§3 Переход к макроскопическим уравнениям. Гидродинамическое уравнение непрерывности.

Кинетическое уравнение Больцмана даёт микроскопическое описание эволюции состояния газа. Но на практике часто не требуется столь детально описывать процессы, поэтому при рассмотрении задач гидродинамики, задач о протекании процессов в неоднородных или сильно разреженных газах, задач о теплопроводности и диффузии газов и ряда других имеет смысл переходить к менее детальным (а следовательно более простым ) макроскопическим уравнениям. Такое описание применимо к газу, если его макроскопические свойства (температура, плотность, концентрация частиц, давление и т.п.) достаточно медленно меняются вдоль любого, произвольно выбранного направления в газе. Расстояния, на которых происходит существенное изменение макрокскопических параметров, должны значительно превышать длину свободного пробега молекул.

В качестве примера рассмотрим рассмотрим способ получения гидродинамического уравнения.

В ыражение определяет плотность распределения молекул газа в пространстве (концентрацию молекул газа). Произведение массы одной молекулы (предполагается, что газ состоит из одинаковых частиц) на плотность распределения молекул даёт массовую плотность газа: . Обозначим через макроскопическую скорость движения газа как целого, а через микроскопическую скорость молекул. Макроскопическая скорость (скорость движения центра масс) может быть определена как средняя величина от микроскопических скоростей молекул

С толкновения не изменяют ни количества сталкивающихся частиц ни их суммарной энергии или импульса (столкновение молекул считается абсолютно упругим ударом). Столкновительная часть изменения функции распределения не может привести к изменению плотности, внутренней энергии, скорости и любых других макроскопических параметров газа в каждом его элементе объёма. Действительно, столкновительная часть изменения полного числа молекул в единице объёма газа даётся равным нулю интегралом:

(14)

У бедимся в справедливости этого равенства следующим способом:

Интегрирование производится по каждой из переменых , а значит можно, не меняя интеграла, произвести переобозначение переменных, например, во втором интеграле :

П оследнее выражение, очевидно, равно нулю и, следовательно, справедливым является равенство (14).

З апишем кинетическое уравнение и, предварительно умножив обе его части на массу частицы m , интегрируем его по :

Отсюда немедленно получаем гидродинамическое уравнение непрерывности:

Задав в этом дифференциальном уравнении изменение плотности жидкости и считая жидкость несжимаемой, можно получить векторное поле направлений скоростей в любой точке жидкости.

§4. Слабо неоднородный газ. Теплопроводность газа.

В се реальные физические процессы обязательно протекают с некоторыми потерями энергии (т.е. происходит диссипация энергии – переход энергии упорядоченного движения в энергию хаотического движения, например, в тепловое движение молекул газа). Для рассмотрения диссипативных процессов (теплопроводности или вязкости) в слабо неоднородном газе необходимо использовать следующее приближение: функцию распределения в малом участке газа следует считать не локально равновесной, как в случае однородного газа, а отличающейся от равновесной на некоторую достаточно малую (т.к. газ слабо неоднородный) величину . Функция распределения примет вид , а саму поправку запишем в виде . Функция должна удовлетворять определённым условиям. Если заданным плотностям числа частиц, энергии и импульса газа

т .е. интегралам отвечает равновесная функция , то неравновесная функция должна приводить к тем же значениям этих величин (интегралы с и должны совпадать ), что имеет место только когда

П реобразуем интеграл столкновений в кинетическом уравнении (13): подстановка выражений функции распределения и поправки , обнуление интегралов столкновений,содержащих равновесную функцию распределения, сокращение членов , не содержащих малой поправки . Члены первого порядка дадут . Символ введен для обозначения линейного интегрального о ператора

Указанный интеграл обращается в нуль для функций вида

З апишем (без вывода) кинетическое уравнение для слабо неоднородного газа., сохранив для рассмотрения задачи о теплопроврдности в левой части уравнения только одно слагаемое с градиентом температуры

*************************************************

§4. Вычисление коэффициента теплопроводности одноатомного газа

Д ля вычисления коэффициента теплопроводности газа необходимо решать записанное выше уравнение с градиентом температуры .

П усть - вектор-функция только величин . Тогда решение уравнения () будем искать в виде . При подстановке этого решения в уравнение () получаем множитель . Уравнение () справедливо при совершенно произвольных значениях вектора градиента т емпературы , тогда должны быть равными коэффициенты при в обеих частях равенства. В итоге для получаем уравнение

У равнение не содержит градиента температуры и значит не имеет явной зависимости от координат. Функция обязательно должна удовлетворять указанным ранее условиям (). Первые два условия, очевидно, выполняются ( уравнение () не содержит никаких векторных параметров, вдоль которых могли бы быть направлены постоянные векторы- интегралы

И ). Третий интеграл представляет из себя дополнительное условие на функцию g. Если кинетическое уравнение решено и функция

о пределена, то можно определить коэффициент теплопроводности, вычисляя поток энергии, точнее - его диссипативную часть, не связанную с конвективным переносом энергии (обозначим эту часть потока энергии через ). В отсутствии макроскопического движения в газе Q совпадает с полным потоком энергии Q, который может быть выражен через интеграл

Е сли система находится в рановесии , то и этот интеграл равен нулю за счёт интегрирования по всем возможным направлениям в газе. При подстановке в () остаётся

В компонентах

В виду изотропии среды равновесного газа какие либо избранные направления в нём отсутствуют и тензор может выражаться лишь через единичный тензор ,т.е. сводится к скаляру

Т аким образом поток энергии выражается как , где величина есть скалярный коэффициент теплопроводности

П оток Q должен быть направлен в сторону, противоположную градиенту температуры, а величина соответственно должна быть положительна, что автоматически обеспечивается кинетическим уравнением (). В одноатомных газах скорость v- единственный вектор от которого зависит функция g ( в многоатомных газах имеет место зависимость g не только от скорости v , но и отмомента M). Для одноатомных газов функция g имеет вид:

.

§5.Пример решения кинетического уравнения

Молекулы газа взаимодействуют по достаточно сложным законам. Это особенно касается реальных многоатомных газов. Сделанные допущения относительно характера поведения молекул газа позволяют упростить рассуждения (или даже сделать их в принципе возможными), но несколько удаляют нас от реальности. Сложные законы взаимодействия молекул, определяющие функцию в интеграле столкновений, не позволяют даже записать уравнение Больцмана для конкретных газов в точном виде. Даже при упрощении характера молекулярного взаимодействия математическая структура кинетического уравнения остаётся достаточно сложной, и нахождение его решения в аналитическом виде затруднительно. В кинетической теории газов применяют особые, более эффективные, чем попытка аналитического решения, методы приближенного решения уравнения Больцмана. В качестве примера рассмотрим одноатомный газ и задачу о теплопроводности.

Характеристики

Список файлов реферата