kursovik_final (731842), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

К онцентрация или плотность пространственного распределения частиц газа может быть выражена интегралом , а среднее число частиц в элементе объёма определяется произведением . Под элементом объёма подразумевается физически малый объём , т.е. участок пространства, размеры которого малы по сравнению с размерами, рассматриваемыми в задаче. В то же время размеры малого объёма велики по сравнению с размерами молекул. Утверждение о нахождении молекулы в данном элементе объёма определяет положение молекулы в лучшем случае лишь с точностью до расстояний, превышающих размеры самой молекулы. Точное определение координат двух классических частиц даёт возможность точного определения их траекторий до и после столкновения, если оно имело место. Неопределенность же точного взаимного положения частиц даёт возможность применять вероятностный подход к решению задачи об их столкновении. Рассмотрение классического газа подразумевает то, что плотность

является макроскопической величиной. Макроскопичность имеет место лишь в том случае, когда элементарный объём содержит достаточно большое число частиц ( только тогда изменение числа частиц в элементарном объёме мало в течение рассматриваемого процесса); при этом линейные размеры области, занимаемой газом, должны быть значительно больше среднего межмолекулярного расстояния.

§2 Столкновение частиц.

Рассмотрим столкновение молекул, одни из которых обладают значениями величин Г, лежащими в заданном интервале , а другие – в интервале . В результате столкновения молекулы приобретают значения величин Г в интервалах соответственно и . Далее для краткости будем говорить о столкновении молекул и с переходом

П роизведение числа молекул в единице объёма на вероятность каждой молекулы испытать столкновение с указанным переходом даст полное число таких столкновений, отнесённое к единице объёма в единицу времени. Вероятность такого события (обозначим её через некоторую функцию ) пропорциональна числу молекул в единице объёма и интервалам значений величин каждой из молекул после столкновения. Таким образом, будем считать, что , а число столкновений с переходом , происходящих в единице объёма в единицу времени примет вид

( штрихом обозначены конечные состояния, без штриха - начальные). Вероятность столкновения обладает важным свойством, которое следует из законов механики, относительно обращения знака времени. Если обозначить верхним индексом Т значения всех величин, получившихся при обращении знака времени, то будет иметь место равенство

О бращение времени переставляет состояния “до” и ”после”, а значит необходимо переставить местами аргументы функции вероятности. В частности, указанное равенство справедливо в случае равновесия системы, т.е. можно утверждать, что в равновесии число столкновений с переходом равно числу столкновений с переходом (*). Обозначим через равновесную функцию распределения и запишем

(1)

П роизведение дифференциалов представляет собой элемент фазового пространства, который не изменяется при обращении времени (дифференциалы в обеих сторонах равенства можно опустить) . Не изменяется так же потенциальная энергия молекул , и, следовательно, равновесная (больцмановская) функция распределения, которая зависит только от енергии :

(2)

V – макроскопическая скорость движения газа как целого. В силу закона сохранения энергии при столкновении двух молекул . Поэтому можно записать (3)

О тметим ещё тот факт, что сама функция вероятности в принципе может быть определена лишь путём решения механической задачи о столкновении частиц. Написанное выше равенства (1) , (2) и (3) дадут после сокращений в (1)

С учётом утверждения (*)

И нтегрируя последнее равенство (для использования в дальнейшем) получаем соотношение:

(4)

§3 В ывод кинетического уравнения.

Рассмотрим производную от функции распределения по времени:

П ри движении молекул газа в отсутствии внешнего поля величины Г, как интегралы движения, не изменяются.

(5)

(последнее слагаемое в выражении производной обнуляется , т.к. )

( оператор набла)

Выражение для производной примет вид : (6)

П усть теперь газ находится во внешнем потенциальном поле , действующем на координаты центра тяжести молекул (например, в гравитационном поле). И пусть F – сила, действующая со стороны поля на частицу.

(7)

П равую часть равенства (6) обозначим через . Символ означает

скорость изменения функции распределения благодаря столкновениям, а величина

е сть отнесённое к единице времени изменение за счёт столкновений числа молекул в фазовом объёме . Полное изменение функции распределения в заданной точке фазового пространства запишется в виде :

(8)

Величина называется интегралом столкновений, а уравнение вида (8) – кинетическим уравнением. Реальный смысл кинетическое уравнение (8) примет только после определения вида интеграла столкновений.

§3 Определение вида интеграла столкновений и уравнения Больцмана.

Во время столкновения молекул происходит изменение величин, от которых зависит функция распределения. Учитывая тот факт, что время наблюдения состояния системы и координаты частиц изменяются, не зависимо от того, произошло или нет столкновение частиц (которое влияет лишь на характер изменения координат),можно утверждать,что изменяются величины Г столкнувшихся молекул. Рассматривая достаточно малый интервал, обнаружим, что молекулы при столкновении выводятся из этого интервала, т.е. имеют место акты “ухода”. Пусть двум столкнувшимся молекулам соответствуют, как и ранее, величины и до столкновения ,а , после столкновения (для краткости говорим о переходе ).

П олное число столкновений при вышеуказанном переходе со всеми возможными значениями

при заданном , происходящих в единицу времени в объёме ,определяется интегралом

В то же время происходят столкновения иного рода (называемые “приходом”), в результате которых молекулы, обладавшие до столкновения значениями величин , лежащими вне заданного интервала , попадают в этот интервал. Такие переходы могут быть обозначены следующим образом: (со всеми возможными значениями при заданном ). Аналогично первому типу перехода полное число таких столкновений в единицу времени в объёме равно:

В результате всех столкновений изменение числа молекул в единицу времени в элементарном объёме определяется разностью между числом актов ухода и числом актов прихода:

(9) , где

и

И нтеграл столкновений может быть определён как:

(10)

(изменение числа частиц в единицу времени в фазовом объёме dVdГ )

И з соотношений (8) и (9) получим вид интеграла столкновений

(11)

З аметим, что во втором члене подынтегрального выражения интегрирование по имеет

о тношение только к функции . Множители и не зависят от переменных . Преобразовав эту часть интеграла с помощью соотношения (4) , получим окончательный вид интеграла столкновений

(12)

и кинетического уравнения

(13)

Полученное интегрально - дифференциальное уравнение носит название уравнения Больцмана.

Р ассмотрим не зависящее от времени распределение в состоянии равновесия системы в отсутствии внешних воздействий. Такое распределение является стационарным (не зависит от времени) и однородным (не изменяется в области пространства, занимаемой системой). Наложенные условия обнуляют производную функции распределения по времени и трём координатам; левая часть кинетического уравнения обращается в нуль. Подынтегральное выражение обращается в нуль вследствие равенства (3). Следовательно, равновесное распределение в отсутствии внешних полей удовлетворяет кинетическому уравнению тождественным образом. Если газ находится в равновесном состоянии под действием внешнего потенциального (например, гравитационного) поля, то функция распределения и в этом случае удовлетворяет кинетическому уравнению. Действительно, равновесное распределение выражается через интеграл движения – полную энергию молекулы . Левая часть кинетического уравнения представляет собой полную производную , которая равна нулю как производная от функции, зависящей только от интегралов движения. Правая часть уравнения, как уже было указано, есть нуль. Таким образом, кинетическому уравнению удовлетворяет и функция распределения газа, находящегося в равновесии во внешнем потенциальном поле.

К указанным во “Введении” допущениям добавим ещё одно: столкновения молекул рассматриваются как мгновенные акты, происходящие в одной “точке” пространства. Кинетическое уравнение описывает процес, который протекает в интервале времени, много большем по сравнению с длительностью столкновений. В то же время, рассматриваемая область системы должна значительно превышать область столкновения частиц, которая имеет размеры порядка величины радиуса действия молекулярных сил d. Время столкновения по порядку величины может быть определено как ( - средняя скорость движения молекул в газе). Полученные значения представляют собой нижний предел расстояния и времени, при рассмотрении которых допускается применение кинетического уравнения. Реальные физические задачи не требуют столь детального описания процесса; размеры системы и время наблюдения значительно превышают требуемый минимум.

Характеристики

Список файлов реферата