145758 (728665), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Рассмотрим биматричную игру с побочными платежами. Если участники по условию игры в состоянии договориться с друг другом, то решение - то есть выигрыши игроков, не будет зависеть от выбираемых ими стратегий, а только лишь от способа дележа общего дохода. При этом для них важно еще и то, насколько выгодно им вступать в такое соглашение или коалицию.

Коалицией в кооперативное игре называется всякое (любое) подмножество множества игроков.

Пример. Пусть I = {1,2,...i...n} - некоторое множество игроков. Коалициями будут: k₁ = {1,2,5,i};

k₂ = {i} = i;

k₃ = { } = ;

k₄ = { 1,2,...n} = I.

Когда игроки обьеденены в коалицию, естественно рассматривать их общий выигрыш, который может быть получен в игре. Разумеется, игроков интересует максимально гарантированный выигрыш, который и является мерой полезности обьединения игроков.

Характеристической функцией v(k) называется наибольший выигрыш, уверенно получаемый коалицией k.

Пример. Допустим, существует небольшая бригада состоящая из двух рабочих и мастера. Дневное задание может выполняться всей бригадой или мастером с одним из рабочих. Выполнение дневного задания гарантирует бригаде заработок в С единиц (выигрыш).

Задать характеристическую функцию этой игры.

I = { M, p₁, p₂ } - множество игроков игры. Тогда

v() = v(p₁, p₂) = v (p₁) = v (p₂)= v (M) = 0,

v (M, p₁, p₂) = v( M,p₁) = v( M, p₂) = C.

Из заданной характеристической функции видно в какие коалиции выгодно вступать игрокам, так как выигрыш существенно зависит от состава коалиций. Таким образом, характеристическая функция задается на множестве всех подмножеств множества игроков I игры Г и принимает вещественные значеня.

Свойства характеристической функции:

1. Персональность v_Г () = 0;

2. Супераддитивность v_Г (КL) v_Г (К) + v_Г (L), где K,LI, KL = ;

3. Дополнительность v_Г (К) + v_Г (I\K) = v_Г (I) = C,

где С - постоянная сумма выигрыша.

2. Дележи в кооперативных играх.

Как только игроки вкоалиции получили свой максимально гарантированный выигрыш, возникае задача о том, как его разделить между участниками.

Обычно распределение выигрыша задается вектором х с числом компонент, равным числу игроков в коалиции.

Пусть задана характеристическая функция v над множеством игроков I. Какие векторы дележей в этом случае допустимы?

Прежде всего, каждый игрок вступает в коалицию только в том случае, если это, по крайней мере, не уменьшает его выигрыш, то есть если

x_i v(i) Эгалитарный подход

x_i = v (I) Утилитарный подход

Приведенные условия носят названия индивидуальной и коллективной рациональности, так как позволяют получить максимальную выгоду и использовать возможности системы полностью.

Дележом в условиях характеристической функции v называется вектор х = ( х₁, х₂, ... х_n), удовлетворяющий условиям индивидуальной и коллективной рациональности.

Классической кооперативной игрой называется система , включающая множество игроков I и характеристическую функцию v над этим множеством, а так же множество Х дележей в условиях этой характеристической функции.

Теорема. Для того, чтобы вектор х = ( х₁, х₂, ... х_n) был дележом в кооперативной игре , необходимо и достаточно, чтобы

х_i = v (i) + _i, _i 0, i I;

_i = v(I) - v(i)

Нетрудно видеть, что компоненты вектора х удовлетворяют условию индивидуальной рациональности. Условие кооперативной рациональности

x_i = v (i) + v(I) - v(i) = v(I) также выполняется.

_i - это добавочный выигрыш игрока, получаемый за счет кооперации с другими участниками.

Важной отличительной чертой кооперативных игр является то, что для каждого игрока имеет значение не выигрыш коалиции в той или иной ситуации, а результат дележа, независящий от выбора стратегий. Поэтому этот класс игр называется нестратегическим.

В соответствии с приведенным определением можно построить бесконечное множество классических кооперативных игр. Для изучения их свойств игры делятся на непересекающиеся классы, внутри которых игры обладают одинаковыми или близкими свойствами.

Существующая классификация делит все кооперативные игры, прежде всего, на существенные и несущественные.

Несущественной игрой называется кооперативная игра, в которой характеристическая функция любой коалиции равна сумме характеристических функций любых подкоалиций.

v (КL) = v (К) + v (L), где K,LI, KL = ;

Существенными называются остальные игры.

Любая кооперативная игра с аддитивной (а не супераддитивной) характеристической функцией является несущественной, ее участники не заинтересованы в образовании коалиций, так как это не увеличивает их выигрыш (долю).

Признак аддитивности характеристической функции задается теоремой:

Теорема. Для того, чтобы характеристическая функция была аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство v(i) = v(I).

Если в соответствии с этим признаком окажется, что рассматриваемая кооперативная игра несуществена, то характеристические функции легко можно найти по аддитивным формулам. Так же просто могут быть определены и дележи.

Теорема. В несущественной игре существуе только один дележ

( v(1), v(2),... v(n) ).

Во всякой существенной игре множество дележей бесконечно.

Это обьясняется тем, что в существенной игре обязательно существует

= v(I) - v(i) 0,

которая может быть разделена между игроками бесконечным большим числом способов.

Игроки так же делятся на существенных и несущественных (болванов), а множества игроков - на носителей игры и множества болванов.

Существенным называется игрок i, если существует такая коалиция К, что

v(K) + v(i) < v(Ki).

Болваном называется игрок i, если для любой коалиции KI cправедливо

v(K) + v(i) = v( Ki).

Допустим, L - множество болванов (несущественных игроков) и LK, тогда

v(K) = v(K\ L) + v(i), а если K = L, то v(K) = v(i).

Существенные игроки образуют множество носителей игры, NI. Признаком этого для коалиции К является:

v(K) = v(KN) + v(i) _{i K\N}.

3. Аффинно-эквивалентные игры.

Существенные и несущественные игры тоже делятся на классы.

Кооперативная игра с множеством игроков I и характеристической функцией v называется аффинно-эквивалентной игре с тем же множеством игроков и характеристической функцией v’, если найдутся такое положительное число k и произвольные вещественные c_i ( i I ), что для любой коалиции K L имеет место равенство:

v’(K) = k v(K) + c_i , iK.

При афинной эквивалентности v ~ v’ дележ x соответствует дележу х’ так, что: x_i ’ = k x_i + c_i.

Иногда вместо аффинной эквивалентности самих кооперативных игр удобно говорить об аффинной эквивалентности их характеристических функций.

Введенное понятие эквивалентности кооперативных игр сходно с понятием стратегической эквивалентности бескоалиционных игр, но и имеет существенные отличия. Во-первых, в кооперативных играх не оговариваются стратегии для эквивалентных игр. Во-вторых, если в бескоалиционных играх в качестве функции выигрыша рассматривались платежи, то в кооперативных играх задаются характеристические функции, то есть максимально гарантированные выигрыши коалиции.

Выделенные пары аффинно-эквивалентных игр на всем множестве кооперативных игр образуют бинарные отношения, которые обладают свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, что позволяет судить о них как о классах эквивалентности. Следовательно, для изучения свойств какой-либо кооперативной игры достаточно рассмотреть одну, наиболее простую из соответствующего класса.

Рассмотрим с позиций стратегической эквивалентности несущественные игры.

Нулевой называется характеристическая функция, тождественно равная нулю. Кооперативная игра с множеством игроков I называется нулевой, если все значения ее характеристической функции равны нулю.

Теорема. Всякая существенная игра аффинно эквивалентна нулевой игре.

Следствие. Все несущественные игры с одним и тем же множеством игроков аффинно эквивалентны друг другу.

Таким образом, свойства любой несущественной игры можно изучать по эквивалентной ей нулевой игре. В нулевой игре все игроки безразличны к ее исходам, это случай полной незаинтересованности.

Для изучения существенных игр наиболее удобна a-b редуцированная форма, то есть такая, в которой v(i) = a, v(I) = b. Обычно используются варианты a=0, b=1 и a=1, b=0.

Теорема. Всякая существенная игра аффинно эквивалентна одно и только одной игре в 0-1 редуцированной форме.

То есть любую существенную кооперативную игру можно свести к редуцированной форме и в этом виде производить ее исследование и изучение. От существенной кооперативной игры к ее редуцированной форме можно перейти следующим образом. Для произвольной коалиции К:

v’(K) = ( v(K) - _iK v(i))/ ( v(I) - _iI v(i)) (3.1.)

Нетрудно видеть, что 0-1 редуцированная форма существенной кооперативной игры позволяет по характеристической функции сразу же судить об эффективности обьединения в коалицию (см.знаменатель), то есть в чистом виде рассматривать свойство супераддитивности.

Все дележи в 0-1 редуцированной форме должны отвечать условиям: x_i 0, так как v(i) = 0, но есть еще , так как игра существенная x_i = v(I) = 1.

Пример. Дана кооперативная игра, I = {1,2,3,4}. Задана характеристическая функция: v(1) = -1; v(2) = v(3) = -2; v(1,2,4) = v(1,3,4) = 2; v(2,3,4) =1;

v(4)= v(1,2)= v(1,3) = v(1,4) = v(2,3)= v(2,4) = v(3,4) = v(1,2,3) = v(1,2,3,4) = 0;

Найти характеристическую функцию 0-1 редуцированной формы.

Воспользуемся формулой 3.1. В знаменателе выражения стоит постоянная величина v(I) - _iI v(i) = 0 - (-1-2-2) = 5. Остальные вычисления занесем в таблицу:

4. Доминирование дележей.

Рассмотрим кооперативную игру Г = и два дележа в этой игре: х = ( х₁, х₂, ... х_n) и y = ( y₁, y₂, ... y_n). Допустим, K I - некоторая коалиция в игре.

Дележ х доминирует дележ у по коалиции К, если выполняются неравенства _iK х_i v(К) и х_i y_i , i К. Доминирование дележа по коалиции К обозначается х_К у, х dom _К y, или x R_к y.

Первое неравенство определения утверждает, что коалиция К способна обеспечить такой дележ, так как сумма выигрышей, получаемых членами коалиции не превышает ее максимального гарантированного выигрыша V(K). Второе означает, что каждый член коалиции К получает по дележу х больше, чем по дележу у ( именно в этом смысл доминирования). Иногда, определяя отношение доминирования, не указывают конкретно коалицию, а просто говорят, что дележ х доминирует дележ у (х у). Однако, при этом подразумевается, что существует коалиция К, по которой это доминирование имеет место, то есть справедливо х_К у.

Для коалиции К доминирующий дележ полезнее, чем доминируемый. Эта коалиция будет его отстаивать. Иной случай, когда с этим дележом не согласятся остальные игроки (входящие в множество I\K). Но коалиция К может сама обеспечить себе такой дележ, так как _iK х_i v(К).

Следует отметить, что доминирование возможно по любой коалиции, кроме коалиции из одного игрока и из всех игроков. В первом случае К = {i} из определения следует, что х_i v(i), что противоречит свойству индивидуальной рациональности дележа х ( х v(i)).

В случае К = I из х_i y_i следует , что х_i y_i v(I), то есть дележ х должен давать в сумме больше, чем гарантированный выигрыш для всех игроков.

Важно, что отношение доминирования дележей выполняется для аффинно эквивалентных кооперативных игр, то есть доминирование инвариантно относительно аффинной эквивалентности.

Теорема. Если v и v’ - аффинно-эквивалентные характеристические функции, причем дележам х и у в v соответствуют дележи x’ и y’ в v’, то из х _К у следует х’ _К у’.

Характеристики

Список файлов реферата