ref-15697 (710091), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Ответ: .

2. Докажем равенство

Решение.

Преобразуем левую часть данного равенства:

Поменяв местами множители, получим выражение, стоящее в правой части.

3.Решить уравнение.

Решение.

Вместо стандартного освобождения от знаменателя, приведения подобных слагаемых и решение полученного квадратного уравнения, объединим дроби в пары и произведем действия внутри пар:

Ответ:

4. Решить уравнение:

.

Решение.

Замена , тогда , а . Подставляем полученные выражения в исходное уравнение, имеем:

; ; .

не удовлетворяет условию .

Возвращаемся к :

; .

Ответ:

5. Решить систему уравнений:

Решение.

Выразим , из второго уравнения :

и подставляем в первое и третье уравнения системы:

Выразив через и подставив во второе уравнение, получим:

Ответ: , .

5. Решить систему уравнений:

Решение.

Предложенная система является симметричной: замена на , а на не меняет каждого из уравнений системы.

Используем замену переменных: .

Поскольку , относительно и получим следующую систему:

Для и соответственно будем иметь две системы:

Вторая система не имеет действительных корней, первая имеет два решения: (1;2); (2;1).

Ответ: (1;2); (2;1).

7. Решить неравенство:

Решение.

Ответ: .

8. Решить неравенство:

Решение.

Ответ: .

Стандартная схема решения текстовых задач состоит из трех этапов:

1. Выбор неизвестных.

2. Составление уравнений (неравенств).

3. Нахождение нужного неизвестного или нужной комбинации неизвестных.

Рассмотрим несколько примеров.

9. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96км, затем повернулся обратно и вернулся в А через 14ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24км от А.

Решение.

I способ (алгебраический).

1) Пусть (км/ч) скорость катера в стоячей воде, у (км/ч) – скорость течения.

2) Составим уравнения. Поскольку скорость катера при движении по течению , а против течения , то на основании того, что сказано во второй фразе условия, получим: или

Вторая часть последней фразы дает нам (плот прошел до встречи 24км, катер 96 – 24 =72км на обратном пути).

Таким образом, имеем систему уравнений

Подставляем в I уравнение системы

Ответ: скорость катера в стоячей воде 14км/ч, скорость течения 2км/ч.

II способ (арифметический).

Итак, если катер удаляется от плота или приближается к нему, то его скорость относительно плота равна скорости катера в стоячей воде, меняется лишь направление этой скорости. Следовательно, катер удаляется от плота за то же время, что и приближается к нему, т.е. путь в 96км пройден за то же время, что и путь 72км (против течения).

96 : 72 = 4 : 3- отношение скорости катера по течению к скорости катера против течения.

Весь путь занял 14ч. Разделим число 14 на части пропорционально 3:4 :

катер шел по течению;

катер шел против течения.

96 : 6 =16 (км/ч) – скорость по течению;

96 : 8 =12 (км/ч) – скорость против течения;

- скорость течения;

- собственная скорость катера.

Ответ: 2км/ч; 14км/ч.

Как видно из решения задачи 9 «арифметический» способ решения зачастую удобнее, так как для него характерна достаточность знаний и умений, которыми располагает учащийся, окончивший начальную школу плюс, конечно развитый логический аппарат.

10. Лошадь съедает копну сена за 2 дня, корова может съесть такую же копну за 3 суток, овца за 6 суток. За какое время они съедят эту копну вместе?

Решение.

Задача может даваться с 6 класса. Итак, если лошадь съедает копну сена за 2 дня, то за один день она съест часть копны, аналогично корова часть копны, а овца часть копны.

За один день вместе они съедают копны сена, т.е. всю.

Ответ: 1 день.

Функции

Наибольшее значение при . Возвращаясь к , получим, что при

Ответ: наибольшее значение .

Почти вся теория квадратного трехчлена основывается на приеме, называемом «выделение полного квадрата»:

- дискриминант квадратного уравнения.

Если , то уравнение имеет два корня,

,то уравнение имеет1 корень (2 совпадающих);

, уравнение не имеет действительных корней.

11. Доказать, что при любом уравнение

имеет решения.

Процесс нахождения дискриминанта и доказательства, что он положителен достаточно трудоемкий, поэтому попробуем другой метод решения.

Пусть .

при любом .

Т.о. уравнение всегда имеет решение, причем если , то уравнение имеет два корня; при этом всегда имеется корень, удовлетворяющий неравенству .

12. Пусть и корни уравнения . Выразить через и .

Решение.

Необходимо выразить через и :

По теореме Виета

тогда

Ответ: .

13. Определить все значения параметра , при которых уравнение имеет 1 корень.

Решение.

В условие не сказано, что рассматривается квадратное уравнение, поэтому рассмотрим случай

Остальные значения параметра получим из уравнения .

Ответ:

Простейший прием нахождения наибольших значений, основанный на свойствах квадратичных функций состоит в том, что исследуемая функция при помощи преобразований или замены переменной приводится к квадратичной, после чего выделяется полный квадрат.

14.Найти наибольшее значение функции

Решение.

Положим , тогда Отсюда Итак, после замены получим, что надо найти наибольшее значение

15.Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Решение.

Рассмотрим данное неравенство как уравнение с неизвестным и параметром .

После преобразований получим

Для того, чтобы уравнение имело решение необходимо и достаточно, чтобы

Отсюда наименьшее значение функции , наибольшее .

Ответ:

Как видно из решений последних задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений иногда удобнее рассматривать функцию как уравнение с неизвестным , в котором необходимо установить при каких это уравнение имеет решение. Рассмотрим еще один пример, в котором работает эта идея с небольшими вариациями.

16. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения , если

.

Решение.

Положим . Подставим полученное выражение в (1):

Ответ: наибольшее значение выражения равно ; наименьшее - .

Рассмотрим один из самых универсальных методов доказательства – методом математической индукции.

17. Доказать, что при любом натуральном число делится на 7.

Решение.

Обозначим .

1. При - делится на 7.

2. Пусть делится на 7.

Имеем

Последнее число делится на 7, т.к. представляет собой разность двух целых чисел, которые делятся на 7, ч.т.д.

17. Доказать тождество:

Решение.

1)При равенство выполняется.

2)Предположим, что равенство выполняется при

При имеем:

ч.т.д.

18. Выполнить следующие действия:

а) ; б) ; в)

Решение.

а)

б)

в)

Ответ: а) ; б) в)

19. Решить уравнения:

а) ;

б)

Решение.

а)

б)

Чтобы найти не будем переходить к тригонометрической форме (но и этот путь верный). Итак, надо найти числа и такие что,

Достаточно найти одно решение

Т.о.

Ответ: а) б) .

2.3. Индивидуальная работа учащихся.

Поскольку внеклассная индивидуализация осуществляется в основном в форме самостоятельной работы, следует, естественно, учитывать требования, исходящие из методики самостоятельной работы.

Самостоятельная работа учащихся – это такой способ учебной работы, где 1) учащимся предлагаются учебные задания и руководства для их выполнения; 2) работа проводится без непосредственного участия учителя, но под его руководством; 3) выполнение работы требует от учащегося умственного напряжения.

С точки зрения организационных основ самостоятельную работу можно разделить на: 1) самостоятельную работу в школе и 2) самостоятельную работу, выполняемую за пределами школы, в т. ч. и дома. Самостоятельная работа в школе может проводиться в рамках урока, зачета, семинара, практического занятия и т. д. На основе другого логического членения можно выделить еще два вида самостоятельной работы: 1) индивидуальную и 2) групповую.

В ходе самостоятельной работы каждый ученик получает конкретное задание, которое предполагает и выполнение определенной письменной работы. В этом случае можно проверить степень участия ученика в выполнении этого задания. Самостоятельная работа позволяет работать и в индивидуальном темпе и стиле.

Учебные задания для самостоятельной работы.

Учебные задания для самостоятельной работы весьма разнообразны. Их можно в основном делить на следующих 4 логических основаниях: 1) по методу самостоятельной работы учащихся (например, наблюдения, упражнения, работа с текстом учебника); 2) по звеньям учебного процесса (задания на восприятие, систематизацию, закрепление и повторение учебного материала); 3) по характеру познавательной деятельности учащегося (репродуцирующие и творческие задания); 4) по характеру руководства (подробное или менее подробное инструктирование).

Характеристики

Список файлов реферата