PTCA (708640), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Вследствие транзитивности отношения эквивалентности два автомата Мили S₁ и Sa также будут эквивалентными, но у последнего будут на 3 состояния больше. Т.о., эквивалентные между собой автоматы могут иметь различное число состояний, в связи с чем возникает задача нахождения минимального (т.е. с минимальным числом состояний) автомата в классе эквивалентных между собой автоматов.

МИНИМИЗАЦИЯ ЧИСЛА ВНУТРЕННИХ СОСТОЯНИЙ ПОЛНОСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ АВТОМАТОВ.

Рассмотрим метод минимизации полностью определенных автоматов, предложенный Ауфенкампом и Хоном.

Основная идея этого метода заключается в разбиении всех состояний исходного абстрактного автомата на попарно непересекающиеся классы эквивалентных состояний и замене каждого класса эквивалентности одним состоянием. Т.о. получающийся в результате минимальный автомат имеет столько состояний, на сколько классов эквивалентности разбиваются состояния исходного автомата.

Для пользования методом введем несколько определений.

Два состояния абстрактного автомата называются 1-эквивалентными в том случае, если реакции автомата в этих состояниях на всевозможные входные слова совпадают.

Объединение всех 1-эквивалентных состояний абстрактного автомата образует 1-класс эквивалентности.

1-эквивалентные состояния автомата называются 2-эквивалентными, если они переводятся любым входным сигналом также в 1-эквивалентные состояния.

Объединение всех 2-эквивалентных состояний образует 2-класс эквивалентности.

По индукции можно распространить определение до i-эквивалентных состояний и i-классов эквивалентности.

Если для некоторого i разбиения состояний автомата на ( i +1) - классы совпадает с разбиением на i-классы, то оно является разбиением и на  - классы эквивалентности.

Разбиение множества внутренних состояний автомата на  - классы и является требуемым разбиением на классы эквивалентности, при этом такое разбиение может быть получено за конечное число шагов.

Все вышеизложенное непосредственно применимо к минимизации автомата Мили. При минимизации полностью определенных автоматов Мура вводится понятие 0-эквивалентности состояний и разбиение множества состояний на 0-эквивалентные классы: к такому классу относятся одинаково отмеченные состояния автомата Мура.

Если два 0-эквивалентных состояния любым входным сигналом переводится в два 0-эквивалентных состояния, то они называются 1-эквивалентными. Все дальнейшие классы эквивалентности состояний для автомата Мура определяются аналогично приведенному для автоматов Мили.

Рассмотрим пример минимизации автомата Мили, заданного таблицами переходов и выходов :

Из таблицы выходов получаем разбиение на 1-классы эквивалентности ₁, объединяя в эквивалентные классы Bi состояния с одинаковыми столбцами:

₁ = {B₁, B₂}; B₂ = {a₁, a₂, a₅, a₆}; B₂ = {a₃, a₄}

Для получения 2-эквивалентных состояний строим таблицу 1-разбиения (табл.17), заменяя в таблице переходов состояния a₁ соответствующими классами эквивалентности B1 или B2.

Из полученной таблицы 1-разбиения получаем 2-классы эквивалентности C_i и разбиение ₂ = {C₁, C₂, C₃}, где С₁ = {a₁, a₁}, C₂ = {a₅, a₆}, C₃ = {a₃, a₄}. Сравнивая ₂ и ₁, отмечаем, что эти разбиения отличаются друг от друга. Поэтому аналогично строим таблицу 2-разбиения (табл. 18), опять заменяя в таблице переходов состояния a_i соответствующими классами эквивалентности C_i.

Из полученной таблицы 2-разбиения получаем 3-классы эквивалентности D_i и разбиение ₃ ={ D₁, D₂, D₃}, где D₁ = {a₁, a₂}, D₂ = {a₅, a₆}, D₃ = {a₃, a₄}.

Сравнивая ₃ и ₂, замечаем, что D₁ = C₁, D₂ = C₂, D₃ = C₃, ₃ = ₃. Следовательно получили разбиение на - эквивалентные классы. Т.к. всего три таких класса, то минимальный автомат будет содержать всего три состояния. Выбираем из каждого класса D_i по одному состоянию и получаем множество состояний A' минимального автомата. Пусть, например, A'={a₁, a₄, a₅}. Для получения минимального автомата из первоначальных таблиц переходов и выходов (табл. 16) вычеркиваем столбцы, соответствующие "лишним состояниям" a₂, a₃, a₆. В результате получается минимальный автомат Мили, эквивалентный исходному автомату (табл. 19).

Минимизацией числа внутренних состояний автомата заканчивается этап абстрактного синтеза.

Структурный синтез ЦА.

Задачи синтеза ЦА.

Канонический метод структурного синтеза ЦА.

Элементарные цифровые автоматы с памятью

(триггерные устройства) и их свойства.

Вслед за этапом абстрактного синтеза автоматов следует этап структурного синтеза, целью которого является построение схемы, реализующей автомат из элементов заданного типа. Если абстрактный автомат был лишь математической моделью, проектируемого устройства, то в структурном автомате учитывается структура входных и выходных сигналов автомата, а также его внутренне устройство на уровне логических схем. Основной задачей структурной теории автоматов является разработка общих методов построения структурных схем автоматов.

В отличие от абстрактного автомата, имеющего один вход и один выход, на которые поступают сигналы во входном и выходят в выходном W={W₁,..,W_G} алфавитах, структурный автомат имеет L входных каналов х₁,х₂,..,х_L и N выходных y₁,y₂,…,y_N на каждом из которых присутствует сигнал структурного алфавита.

Обычно в качестве структурного используется двоичный алфавит.

В этом случае каждому входному сигналу Z_F абстрактного автомата соответствует некоторый двоичный вектор (l_f1,l_f2,..,l_fL), где l_fL{0,1}.

Очевидно, что для представления (кодирования) входных сигналов Z₁,..,Z_F абстрактного автомата различными двоичными векторами должно быть выполнено условие

L ] log₂F [,

аналогично

N ] log₂G [

Например , Z={Z₁,Z₂,Z₃,Z₄} W={W₁,W₂,W₃}.

Тогда L log₂4=2 N log₂3=2

Закодировать входные и выходные сигналы можно ,например, так:

Z₁ = 00 W₁ = 00

Z₂ = 01 W₂ = 01

Z₃ = 10 W₃ = 11

Z₄ = 11

Cледовательно, структурный автомат с двумя входами x₁ и x₂ и двумя выходами y₁ и y₂ может быть представлен в виде:

Задача синтеза структуры автомата.

На этапе структурного синтеза предварительно выбираются элементарные автоматы, путем композиции которых строят логические схемы полученных на этапе абстрактного синтеза автоматов Мили и Мура. Если решение задачи структурного синтеза существует, говорят, что заданная система автоматов структурно полна.

Рассмотрим канонический метод структурного синтеза при котором используются элементарные автоматы некоторого специального вида – автоматы с памятью, имеющие более одного состояния, и автоматы без памяти – с одним состоянием. Первые автоматы называются элементами памяти, вторые – комбинационные или логические элементы.

Теоретическим обоснованием канонического метода структурного синтеза автоматов служит теорема о структурной полноте:

Для правильной работы схем сигналы на входе запоминающих элементов не должны непосредственно участвовать в образовании выходных сигналов, которые по цепям обратной связи подавались бы в тот же самый момент времени на эти входы. Поэтому запоминающими элементами должны быть не автоматы Мили, а автоматы Мура. Таким образом, структурно полная система элементарных автоматов должна содержать хотя бы один автомат Мура. В то же время, для синтеза автоматов с минимальным числом элементов памяти, необходимо в качестве таких элементов выбирать автоматы Мура, имеющие полную систему переходов и полную систему выходов – полные автоматы.

Полнота системы переходов означает, что для любой упорядоченной пары состояний автомата найдётся входной сигнал, переводящий первый элемент этой пары во второй, т.е в таком автомате в каждом столбце таблицы переходов должны встречаться все состояния автомата.

Полнота системы выходов автомата Мура состоит в том, что каждому состоянию автомата поставлен в соответствие свой особый выходной сигнал, отличный от выходных сигналов других состояний. Т.о. в таком автомате число выходных сигналов равно числу состояний автомата. В связи с этим, в автоматах памяти будем использовать одни и те же обозначения и для состояний, и для выходных сигналов.

Канонический метод структурного синтеза предполагает представление структурной схемы автомата в виде двух частей: памяти и комбинационной схемы.

Память состоит из элементарных автоматов Мура П₁,....,П_Z,....,П_R. После выбора элементов памяти каждое состояние синтезируемого автомата А кодируется набором их состояний. Если все автоматы П₁...,П_R одинаковы, что в общем случае необязательно, то их число

где M – число состояний синтезируемого автомата А, а b – число состояний элементарного автомата памяти. Обычно для элементарного автомата b=2, тогда .

Например, переход автомата А, имеющего 5 элементов памяти, алфавит состояний которых – двоичный, из одного состояния (A_m)=01011 в другое (A₃)= 11000, заключается в изменении состояний соответствующих автоматов памяти: первый элемент памяти переходит из 0 в 1, второй – из 1 в 1, третий из 0 в 0, четвёртый – из 1 в 0, пятый - из 1 в 0.

Переходы автоматов памяти, соответствующие переходам в автомате А, происходят под действием сигналов возбуждения памяти, поступающих с выхода комбинационной схемы на вход памяти автомата. Так на рисунке X=(X₁,X₂,..,X_L) и Y=(Y₁,Y₂,...,Y_N) – векторные структурные входной и выходной сигналы автомата, U=(U₁,U₂,...,U_T) – векторная функция возбуждения памяти и Q=(Q₁,...,Q_T) – вектор выходного сигнала обратной связи от элементов памяти автомата.

Рассмотрим отдельно элемент памяти П_z, таблица переходов которого дана в таблице. Множество выходных сигналов элементов памяти совпадает с множеством внутренних состояний.

Полнота переходов очевидна из таблицы (в каждом столбце все состояния встречаются). При рассмотрении автомата на абстрактном уровне его можно представить в виде рис.22 а.

При переходе от абстрактного автомата к структурному, входные и выходные сигналы должны быть закодированы наборами сигналов структурного алфавита (входного или выходного соответственно). При двоичном структурном алфавите автомат П_z будет иметь два входных и два выходных канала.

Характеристики

Список файлов реферата