62030 (694751), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Решив данное уравнение мы получили , что его корни следующего вида:

p₁ = 0;

p₂ = - 0,2;

p₃ = - 0,33;

p₄= -0,25.

Переходная функция линейной части имеет следующий вид:

h(t) = -21,93e^-0.2t –4.03e^-0.33t +22.86e^-0.25t +3.1 . (4.6)

С учетом формулы (4.4) получаем

.

После раскрытия скобок и приведения подобных мы получаем равенство в следующем виде:

. (4.7)

Результирующая передаточная функция разомкнутой системы может быть определена как произведение передаточной функции приведенной непрерывной чати и передаточной функции цифрового фильтра:

. (4.8)

Дискретная передаточная функция замкнутой системы:

. (4.9)

Определим значение W₃(z) для каждой из систем:

• система с П – регулятором. W_р(z) = 1.01, W_н.ч.(z) – определеня по формуле (4.7), тогда:

; (4.10)

• система с ПИ – регулятором.

;

W_н.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:

; (4.11)

• система с ПИД – регулятором.

,

W_н.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:

. (4.12)

После того , как получим выражение дискрктных передаточных функций для всех систем, проанализируем устойчивость этих систем по критерию Джури.

Критерий устойчивости заключается в следующем.

Пусть задан А(z) – характкристический полином:

A(z) = a₀zⁿ + a₁^n-1 + … + a_n, a₀ > 0.

Введем понятие обратного полинома, получаемого перестановкой коэффициентов исходного в обратном порядке:

A(z) = a_nzⁿ + a_n-1^n-1 + … + a₀.

Разделим A(z) на обратной ему. В итоге получаем частное от деления число q₀ и остаток А₁(z) – полином n-1 степени.

Домножим полученый результат на z^-1 получаем:

A₁(z) = (a₀-a_nq₀)z^n-1 + … + (a_n-1-a₁q₀).

Затем делим остаток A₁(z) на обратный ему A₁₀(z) и определяем новое q₁ и A₂(z)

и т.д.

Выполняя деление полиномов A_i(z) на обратные ему A_i0(z), получаем последовательность чисел q_i = {q₀, q₁, q₂,…,q_n-2}.

Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы является неравенства:

А(1)=(a₀+ a₁+ a₂+…+a_n)>0;

(-1)ⁿА(-1)=(a₀(-1)ⁿ + a₁(-1)^n-1 +…+a_n)>0;

|q_i|<1, i=0,1,2,…,n-2.

Используя выше изложенное, определим устойчивость наших систем.

Система с П-регулятором.

Характеристический полином имеет следующий вид:

А(1)= 1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817=0.003039>0 .

(-1)³A(-1)= -(1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817) >0.

А(z) = z³-2.7544z²+2.5359z - 0.7817

Обратный полином

.

Разделим A(z) на A₀(z).

0,3852z-0,7686z²+0,3888z³

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₁(z)= 0,3852-0,7686z+0,3888z²,

A₁₀(z)= 0,3888-0,7686z+0,3852z².

Разделим A₁(z) на A₁₀(z).

-0.00718z+0.00723z²

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₂(z)= 0.007238z-0.007187.

В результате расчетов получили, что q₀, q₁, q₂ по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.

Система с ПИ-регулятором.

Характеристический полином имеет вид:

Степень полинома n=4. Множество q_i = {q₀, q₁, q₂}.

А(1)= >0.

(-1)⁴A(-1)= >0.

.

Обратный полином:

.

Разделим A(z) на A₀(z).

-0,383z+1.147z²-1.1506z³+0,3861 z⁴

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₁(z)= -0,383+1.147z-1.1506z² +0,3861 z³,

A₁₀(z)= -0,361+1.1506z-1.147z² +0,383 z³.

Разделим A₁(z) на A₁₀(z).

0,006046z-0,01207z²+0,00605z³

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₂(z)= 0,006046z-0,01207z²+0,00605z³,

A₂₀(z)= 0,00605-0,005474z²-0,006046z³.

Разделим A₂(z) на A₂₀(z).

-0,000027278z+0,000027353z²

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₃(z) = -0,000027278z+0,000027353z²

В результате расчетов получили, что q₀, q₁, q₂ по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.

Система с ПИД-регулятором.

Характеристический полином имеет вид:

Степень полинома n=5. Множество q_i = {q₀, q₁, q₂, q₃}.

А(1)= >0.

(-1)⁵A(-1)= >0.

,

Обратный полином:

.

Разделим A(z) на A₀(z).

0,7347z-3,1644z²+5,102835z³-3,6802818z⁴+0,999747z⁵

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₁(z)= 0,7347-3,1644z+5,102835z²-3,6802818z³+0,999747z⁴,

A₁₀(z)= 0.99974 -3,680218z+5,1028z²-3,1644z³+0,7347z⁴.

Разделим A₁(z) на A₁₀(z).

-0,4596z+1,3255z²-1,3545z³+0,4597z⁴

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₂(z)= -0,4596+1,3255z-1,3545z²+0,4597z³,

A₂₀(z)= -0,4597+1,3545z-1,3255z²+0,4596z³.

Разделим A₂(z) на A₂₀(z).

-0,0288981z-0,02926z²+0,91927z³

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₃(z)= -0,0288981-0,02926z+0,91927z²,

A₃₀(z)= 0,91927-0,02926z-0,02889881z².

Разделим A₃(z) на A₃₀(z).

-0,0305301z+1.028762z²

Домножим полученный результат на z^-1, тогда:

A₄(z)= -0,0305301+1.028762z.

В результате расчетов получили, что q₀, q₁, q₂ по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.

После того, как определили устойчивость системы по критерию Джури, необходимо построить переходный процессы в замкнутых цифровых системах.

Для построения переходных процессов в замкнутых цифровых системах воспользуемся обратным z-преобразованием.

Eсли функция имеет m-полюсов z_k={z₁, z₂,…, z_n} , то:

, (4.13)

где A(z_k) – числитель функции W₃(z);

B^’(z_k) – производная знаменателя функции W₃(z);

Замкнутая система с П – регулятором.

Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с П-регулятором имеет вид:

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Полюся функции:

z₁ = 1;

z₂ = 0,8422;

z₃ = 0,954 – j0,313;

z₄= 0,954 – j0,313.

Производная знаменателя функции:

B^’(z) = -11.25z²+10.574z-3.317+4z³.

Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для :

где a = z₁;

b = z₂;

c = z₃;

d = z₄;

Изобразим переходый процесс на рисунке 4.2

Рисунок 4.2 - Переходный процесс в системе с П – регулятором

Замкнутая система с ПИ – регулятором.

Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИ-регулятором имеет вид:

;.

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Полюся функции:

z₁ = 1;

z₂ = 0.847;

z₃ = 0.965;

z₄ = 0.973 – j0.0113;

z₅= 0.973 + j0.0113.

Производная знаменателя функции:

B^’(z) = 5z⁴-19.027z³+27.171 z²-17.253z+4.110

Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для f[n]:

где а = z₁;

b = z₂;

c = z₃;

d = z₄;

e = z₅;

Изобразим переходый процесс на рисунке 4.3

Рисунок 4.3 - Переходный процесс в системе с ПИ – регулятором

Замкнутая система с ПИД – регулятором.

Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИД-регулятором имеет вид:

.

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Полюся функции:

z₁ = 1;

z₂ = -0,021;

z₃ = 0,84;

z₄ = 0,935-j0,171;

z₅= 0,935+j0,171;

z₆=0,98.

Производная знаменателя функции:

B^’(z) = 6z⁵-23.347 z⁴+34.893 z³-24.39 z²+7.505z-0.660

Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для f[n]:

где а = z₁;

b = z₂;

c = z₃;

d = z₄;

e = z₅;

f = z₆.

Изобразим переходый процесс на рисунке 4.4

Рисунок 4.4 - Переходный процесс в системе с ПИД – регулятором.

5 Расчет цифрового фильтра

Для расчета цифрового фильтра, переводящего линейную часть из начального в конечное состояние за минимальное число периодов квантования и обеспечивающего ограничение на заданное управляющие воздействие, необходимо вычислить минимально возможный период квантования, но чтобы было удовлетворено условие:

|U_m – q₀|0,05, (5.1)

где U_m = 1,0.

Вычисление значения q₀ следует начать с определения значений коэффициентов числителя Z-передаточной функции приведенной непрерывной части для принятого периода дискретности. Пусть Z-передаточная функция приведенной непрерывной части представима в виде:

. (5.2)

Тогда Z-передаточная функция оптимального по быстродействию цифрового фильтра W_ф(z) имеет вид:

, (5.3)

где p_i = b_iq₀, i = 1,2,…,m;

q_i = a_iq₀, i = 1,2,…,m;

.

Воспользуясь формулой (4.7) для W_нч(z) . Находим функции b_i , а_i и Т₀.

Для коэффициентов b_i имеем:

; (5.4)

;(5.5)

. (5.6)

Для коэффициентов а_i имеем:

; (5.7)

; (5.8)

. (5.9)

Найдем выражение для q₀ :

. (5.10)

Определим Т₀ при котором выполняется условие (5.1), для этого построим график зависимости и изибразим его на следующем рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 – График зависимости |U_m – q₀(Т₀)|

При построении графика видим, что Т₀ = 4,61 , q₀(Т₀) = 1,002.

Определим коэффициенты , подставив найденное значение Т₀ в выражение (5.4) и (5.5):

b₁(Т₀) = 0,718;

b₂(Т₀) = 0,332;

b₃(Т₀) = -0,052;

a₁(Т₀) = -0,932;

a₂(Т₀) = 0,281;

a₃(Т₀) = -0,027;

Подставляя найденные значения в выражения (5.2) и (5.3) определим передаточные функции приведенной непрерывной части и цифрового фильтра.

. (5.7)

. (5.8)

Находим Z – передаточную функцию для разомкнутой цифровой системы по формуле:

W_p(z) = W_н.ч.(z) * W_ф(z). (5.9)

Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – управляюшее воздействие по формуле:

, (5.10)

Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – выходной сигнал по формуле:

, (5.10)

Пусть f – функция определяющая зависимость между q₀ от Т₀, т.е. q₀=f(Т₀), тогда f ^–1 – обратная ей функция, т.е. Т₀=f ^–1(q₀). Для того, чтобы найти период квантования необходимо минимизировать функцию
Т₀=f ^–1(q₀) с учетом условия (5.1).

Так как в явном виде функцию Т₀=f ^–1(q₀) вывести сложно, но из графика видно, что она монотонно убывает, следовательно минимум на отрезке q₀  [3,45; 3,55] будет при q₀=3,55.

Расчет Т₀ сводится к решению уравнения

. (5.11)

Для решения данного уравнения воспользуемся алгоритмом поиска корня уравнения методом дихотомии. После решения уравнения мы получили, что

Т₀ =1,25.

Подставляя значение Т₀ =1,25 в выражения (5.4)-(5.9) найдем коэффициенты Z-передаточной функций приведенной непрерывной части.

Тогда

. (5.12)

При этом q₀ =3,540075. Согласно формуле (5.3)

. (5.13)

Найдем Z-передаточную функцию разомкнутой цифровой системы. Она равна W_р(z)=W_нч(z)W_ф(z) и равна

. (5.14)

Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание – управляющие воздействие равна

(5.15)

и равна

.

Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание – выходная величина равна

(5.16)

и равна

.

Вычислим коэффициенты усиления по указанным каналам. По определению коэффициент усиления есть отношение изменения на выходе к изменению на входе в установившемся режиме, т.е.

. (5.17)

Так как

, (5.18)

то подставляя выражения (5.15) и (5.16) в выражение (5.17) найдем, что ()=1, а ()=0,4. Так как x()=1, а (0_-)=0 и (0_-)=0, то коэффициент усиления по каналу задание – выходная величина равен 1, а по каналу задание – управляющие воздействие равен 0,4.

Построим переходную функцию цифрового фильтра. Она равна

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Находим 2 полюса 1-го порядка и 1 полюс 2-го порядка. Полюса
1-го порядка: z=-0,307 и z=-0,045. Полюс 2-го z=1. Для вычисления переходной функции необходимо вычислить производную следующей функции . Производная данного выражения равна

.

Тогда передаточная функция примет вид

.

Изобразим переходный процесс на графике.

Рисунок 5.2 – Переходная функция цифрового фильтра.

Для построения переходных процессов в замкнутой цифровой системе по каналам задание – выходная величина и задание – управляющие воздействие воспользуемся уравнениями в конечных разностях.

Суть метода заключается в следующем. Пусть передаточная функция цифровой системы

.

Этой передаточной функции соответствует уравнение в конечных разностях:

.

Значение искомой выходной величины равно

. (5.19)

Согласно формуле (5.19) получим, что переходная функция замкнутой цифровой системе по:

 каналу задание – выходная величина

y[k]=0,647726x[k-1] –0,620803x[k-2] –0,037272x[k-3] +0,149369x[k-4] –0,024633x[k-2] –0,001394x[k-2] +1,481007y[k-1] –0,695097y[k-2]+ +0,101098y[k-3];

 каналу задание – управляющие воздействие

y[k]=3,540075x[k] –10,485749x[k-1] +12,686121x[k-2] –
–8,004397x[k-3] +2,770507x[k-4] –0,497542x[k-5]+0,036182x[k-6]+ +1,481007y[k-1] –0,695097y[k-2]+ +0,101098y[k-3].

Данные расчетов были сведены в таблицы с учетом того, что x[k]=1.

Таблица 5.1 – Переходная функция замкнутой цифровой системе по каналу задание – выходная величина

6 Оптимальное управляющие воздействие и реакция на него приведенной непрерывной части

Оптимальное управляющие воздействие было найдено в пункте 5 и в координатах времени имеет следующий вид:

(t)=3,54(h(t)-h(t-T₀)) –1,703(h(t-T₀)-h(t-2T₀))+ (6.1)

+0,758(h(t-2T₀)-h(t-3T₀))+0,4 h(t-3T₀),

где

h(t) – функция Хевисайда;

T₀ – период квантования равный 1,25.

Тогда

(t)=3,54(h(t)-h(t-1,25)) –1,703(h(t-1,25)-h(t-2,5))+ (6.2)

+0,758(h(t-2,5)-h(t-3,75))+0,4 h(t-3,75).

И

зобразим данное управляющее воздействие на графике.

Рисунок 6.1 – Оптимальное управляющие воздействие.

Для нахождения реакции непрерывной линейной части на данное воздействие воспользуемся изображением Лапласа. Используя свойство линейность данного изображения и теорему запаздывания найдем, что

(t)= 3,54(g(t) - g(t-1,25)) –1,703(g(t-1,25)-g(t-2,5))+ (6.3)

+0,758(g(t-2,5)-h(t-3,75))+0,4 h(t-3,75),

где

g(t)=f(t)h(t),

– переходная функция линейной части, найденная нами в пункте 4.

Изобразим реакцию непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие.

Рисунок 6.2 – Реакция непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие

На этом все построения окончены.

Заключение

В данной курсовой работе был сделан синтез и анализ оптимальной одноконтурной САУ при использовании трех типов регуляторов, реализующих П-, ПИ- и ПИД-закон регулирования. Проведены сравнительный характеристики данных типов регуляторов и был сделан вывод, что ПИД-закон регулирования является наилучшим среди рассмотренных.

Были проведены расчеты по использованию данных регуляторов в цифровых системах. Как показали расчеты, несмотря на то, что цифровые системы – это системы дискретного действия и действуют через определенные промежутки времени, переходные процессы в цифровых системах не сильно отличаются от переходных процессов в непрерывных системах, а конечное состояние выходной величины одинаково. Кроме того развитие микропроцессорной техники и использование теории управления в цифровых системах позволяют создать регуляторы различной сложности и с заранее заданных свойствами. Один из регуляторов, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на управляющие воздействие, был синтезирован в данной курсовой работе.

Список литературы

1. Пугачев В.И. Методические указания по курсу: «Теория автоматического управления» для студентов всех форм обучения специальности 21.01 – автоматика и управление в технических системах. Часть I. Краснодарский политехнический институт – Краснодар, 1990. – 157 с.

2. Пугачев В.И. Методические указания по курсу: «Теория автоматического управления» для студентов всех форм обучения специальности 21.01 – автоматика и управление в технических системах. Часть III. Краснодарский политехнический институт – Краснодар, 1995. – 114 с.

3. Колосов С. П., Калмыков И. В.,Нефедова В. И. “Элементы автоматики”

издательство “Машиностроение”, Москва, 1970.

Характеристики

Список файлов реферата