108611 (689158)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство Образования, Молодежи и Спорта

Республики Молдова

Государственный университет Молдовы

Курсовая Работа

Тема: Электрон в слое.

Работу выполнил

студент 3-го курса:

Радченко Андрей

Кишинёв 1997 г.

Микрочастица (электрон) в слое.

Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

²/(2m)²/x² U₀ , x < a

H = ²/(2m₀)²/x² , a < x < a

²/(2m)²/x² U₀ , x > a

Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;

m₀ - эффективная масса электрона в области II.

Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :

²_I/x² 2m/²(E U₀)_I = 0 , x a

²_II/x² 2m₀/²E_I = 0 , a x a

²_III/x² 2m/²(E U₀)_I = 0 , x a

Область I :

Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :

_I(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx).

Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,

_I(x) = Aexp(nx).

Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :

_II(x) = Cexp(ikx) + Dexp(ikx).

Функция состояния для третьей области выглядит так :

_III(x) = Fexp(nx).

Где

k = (2m₀E/²)^1/2

n = (2m(U₀E)/²)^1/2.

Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

• Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.

• В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.

• Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.

Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :

_I(x=a) = _II(x=a)

_II(x=a) = _III(x=a)

_I(x=a)/m = _II(x=a)/m₀

_II(x=a)/m₀ = _III(x=a)/m

А в наших определениях этих функций это выглядит так :

Aexp(na) = Cexp(ika) + Dexp(ika)

m¹A nexp(na) = ik/m₀(Cexp(ika) Dexp(ika))

Cexp(ika) + Dexp(ika) = Fexp(na)

ik/m₀(Cexp(ika) Dexp(ika)) = n/mFexp(na).

Теперь составим определитель :

|exp(na) exp(ika) exp(ika) 0 |

|m¹nexp(na) 1/m₀ikexp(ika) 1/m₀ikexp(ika) 0 |

|0 exp(ika) exp(ika) exp(na) |

|0 1/m₀ikexp(ika) 1/m₀ikexp(ika) 1/mnexp(na)|

Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:

((n/m)² (k/m₀)²)Sin(2ka) + 2kn/(mm₀)Cos(2ka) = 0.

Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.

C = Fexp(na){exp(ika) + exp(3ika) ( ik/m₀ n/m)/(n/m + ik/m₀)}

D = Cexp(2ika)( ik/m₀ n/m)/(n/m + ik/m₀)

A = exp(na)(Cexp(ika) + Dexp(ika)) .

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :

A = R_AF

C = R_CF

D = R_DF.

R_A, R_C, R_D - известные постоянные.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :

_I(x) = FR_Aexp(nx)

_II(x) = F( R_Cexp(ikx) + R_Dexp(ikx)).

_III(x) = Fexp(nx).

I₁ + I₂ + I₃ = 1

Где

I₁ = F²R_A²exp(2nx)dx = F²R_A2(2n)¹exp(2nx) =

= F²R_A²(2n)¹exp(2na)

I₂ = F²{ R_C²dx + R_D²dx + R_CR_D^*exp(2ikx)dx +

+ R_C^*R_Dexp(2ikx)dx } = F²{ 2a(R_C² + R_D²) +

((exp(2ika) exp(2ika))R_CR_D^*/(2ik) +

+ i((exp(2ika) exp(2ika))R_C^*R_D/(2k) }

I₃ = F²exp(2nx)dx = F²(2n)¹exp(2na)

F² = { R_A²(2n)¹exp(2na) + 2a(R_C² + R_D²) +

((exp(2ika) exp(2ika))R_CR_D^*/(2ik) +

+ i((exp(2ika) exp(2ika))R_C^*R_D/(2k) + (2n)¹exp(2na) }¹.

Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях

Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:

U(x)=U(x+2a) (1)

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:

²/x² 2m/²(E U₀) = 0

следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:

= exp(i 2ak)

Тогда (x+2ma) = (x)^m , где m=0, 1, 2,... (2)

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E0) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.

Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

²_I/x² 2m₂/²(E U₀)_I = 0 , 0 > x > a

его решение выглядит просто:

_I(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx).

Где n = (2m₂ (U₀-E) /²)^1/2

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

²_II/x² 2m₁/²E _II = 0 , a x 0

его решение выглядит просто:

_II(x) = Cexp(ipx) + Dexp(ipx).

Где p = (2m₁E/²)^1/2

Рассмотрим область III:

²_III/x² 2m₂/²(E U₀)_III = 0 , 2a > x > a

его решение выглядит просто:

_III(x) = (Aexp(nx) + Bexp(nx)).

Запишем граничные условия:

_I(x=0) = _II(x=0)

_II(x=a) = _III(x=a)

_I(x=0)/m = _II(x=0)/m₀

_II(x=a)/m₀ = _III(x=a)/m

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:

A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m₂ = (C-D) i p / m₁

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m₁ = exp(i 2 a k) n/m₂ (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :

|1 1 1 1 |

|exp(ik2ana) exp(ik2ana) exp(ipa) exp(ipa) |

|n/m₂ n/m₂ ip/m₁ ip/m₁ |

|n/m₂exp(ik2ana) n/m₂exp(ik2ana) ip/m₁exp(ipa) ip/m₁exp(ipa) |

и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.

Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.

a=10; U=10; m₁=4; m₂=1

a=10 U=10 m₁=2 m₂=1

a=10 U=10 m₁=1 m₂=1

a=10 U=10 m₁=0.5 m₂=1

a=10 U=10 m₁=.25 m₂=1

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы