ref-17200 (675883), страница 2

Определение. Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A₁A₂…A_n, а остальные грани – треугольники с общей вершиной.

Этот n – угольник A₁A₂…A_n называется основанием пирамиды.

Остальные (треугольные) грани называются боковыми гранями (A₂PA₃, …, A_nPA₁)

Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды (P).

Рёбра пирамиды, не принадлежащие основанию, называются её боковыми рёбрами (PA₁, PA₂, …, PA_n)

Объединение боковых граней пирамиды называется её боковой поверхностью.

Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды (РН).

Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой этой пирамиды (РЕ). Все апофемы равны друг другу.

Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n-угольной.

Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его рёбра равны (т.о. все грани правильного тетраэдра – равные правильные треугольники).

Некоторые свойства правильной пирамиды:

• Все боковые рёбра равны между собой

• Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники

• Все двугранные углы при основании равны

• Все плоские углы при вершине равны

• Все плоские при основании равны

• Апофемы боковых граней одинаковы по длине

• В любую правильную пирамиду можно вписать сферу

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней.

S_полн=S_бок+S_осн

Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней.

Площадь боковой грани

S_бок.гр.=1/2*m*/g/, где m – апофема, /g/ - основание грани

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

S_бок=1/2 * (P_осн* m), где m – апофема, Р – периметр многоугольника основания.

Объём пирамиды.

V=(1/3)*S_осн*h

Определение. Усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырёхугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂, …, A_nA₁B₁B_n.

Усечённая пирамида является частным случаем пирамиды.

Основания усечённой пирамиды – основание исходной пирамиды и многоугольник, полученный при пересечении её плоскостью (A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n).

Отрезки A₁B₁, A₂B₂, …, A_nB_n называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды (СН).

Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции.

Усечённую пирамиду с основаниями A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n обозначают так: A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n.

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций называются апофемами (КК₁)

Свойства усечённой пирамиды:

1. Боковые рёбра и высота пирамиды разделятся секущей плоскостью на пропорциональные отрезки

2. В сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, 6ежащеему в основании

3. Площади сечения и основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды

Теорема. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площади оснований.

Площадь поверхности усечённой пирамиды

S=(1/2)*m*(P+P₁), где m – апофема

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

S_бок=1/2*(Р_в+Р_н)* m, где m – апофема, Р_в, Р_н – периметр верхнего и нижнего оснований

Объём усечённой пирамиды:

V=(1/3)*h*(S₁+√S₁S₂+S₂), где S₁, S₂ – площади оснований.

Площадь боковой грани

S_бок.гр.=1/2*m*(g+g₁), где m – апофема, g, g₁ – основания боковой грани

Определение. Тетраэдр – поверхность, составленная из четырёх треугольников. Любая грань может быть принята за основание пирамиды.

Тетраэдр является частным случаем пирамиды.

Тетраэдр состоящий из треугольников ABC, DAB, DBC, DCA обозначается так: DABC

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями.

Стороны треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются рёбрами.

Вершины треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются вершинами тетраэдра.

Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

Иногда выделяют одну грань тетраэдра и называют её основанием, а три другие – боковыми гранями.

Медианы тетраэдра – отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней.

Тетраэдр, все грани которого равны, называется равногранным.

Свойства равногранного тетраэдра:

1. описанный параллелепипед равногранного тетраэдра – прямоугольный

2. развёртка тетраэдра, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, - треугольник

3. у него имеются три оси симметрии

4. все трёхгранные углы равны

5. все медианы (тетраэдра) равны

6. все высоты (тетраэдра) равны

7. центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают

8. радиусы описанных окружностей граней равны

9. периметры граней равны

10. площади граней равны

Тетраэдр, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра, называется прямоугольным

Для него выполняется своего рода «теорема Пифагора»:

S₂=S²₁+S²₂+S²₃

Тетраэдр, составленный из четырёх равносторонних треугольников, называется правильным.

Объём правильного тетраэдра.

V=(a³*√2)/12

Радиус описанной сферы в правильном тетраэдре

R=(a*√6)/4

Высота правильного тетраэдра

H=(a*√6)/3

Площадь поверхности правильного тетраэдра

S=a²*√3

Радиус вписанной окружности правильного тетраэдра

r = (a*√6)/12