ORETERVER (675862), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Величина является среднеарифметическим величины Х. Если число n достаточно велико ( при n®¥), то согласно четвертому свойству случайных ошибок

.

Это же видно и по кривой Гаусса (рис. 1), где всякой положительной погрешности соответствует равная ей отрицательная.

Из изложенного следует, что

Х = а при n ® ¥,

т.е. при бесконечном числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению результатов всех измерений. При ограниченном числе измерений истинное значение будет отличаться от среднеарифметического и необходимо оценить величину этого расхождения: Х = а ± Dх.

Следует еще раз подчеркнуть, что среднеарифметическое значение, принимаемое за истинное значение измеряемой величины, является наиболее вероятным значением. Среди значений а_i могут оказаться значения, которые в действительности ближе к истинному значению.

Отклонение Dх вероятнейшего значения а от его истинного значения Х называют истинной абсолютной ошибкой.

1.6. Оценка точности измерений

Для ряда равноточных измерений а₁, а₂ ...а_n определим его среднеарифметическое значение а и составим разности (а - а₁), (а - а₂), ..., (а - а_n).

Каждую из этих разностей называют вероятнейшей ошибкой отдельного измерения (V_i). Вероятнейшие ошибки, как и истинные ошибки Dх_i = (Х - а_i), бывают положительные и отрицательные, нулевые. Рассмотрим т.е. алгебраическая сумма вероятнейших ошибок равна нулю при любом числе измерений. Истинные случайные ошибки таким свойством не обладают.

Вероятнейшие ошибки V_i лежат в основе математической обработки результатов измерений: именно по ним вычисляют предельную абсолютную ошибку Dа_i среднеарифметического а и тем самым оценивают точность результата измерений.

Средняя истинная случайная ошибка (иначе - среднее отклонение отдельного измерения) определяется выражением (Dх₁+Dх₂+...+Dх_n)/n.

Величина [(Dх₁)²+(Dх₂)²+...+(Dх_n)²]/n представляет средний квадрат случайной ошибки или дисперсию S² выборки (при ограниченном n) или генеральной совокупности s² (при бесконечном n). Средняя квадратичная ошибка отдельного измерения S = является лучшим критерием точности, чем средняя случайная ошибка, т.к. не происходит компенсации положительных и отрицательных ошибок Dх_i и сильнее учитывается действие крупных ошибок.

Поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно, то неизвестны и истинные случайные ошибки х_i. Для определения средней квадратичной ошибки S используется положение теории случайных ошибок, что при большом числе измерений n справедливо равенство

.

Различный знаменатель объясняется тем, что величины х_i являются независимыми, а из n величин V_i независимыми являются n-1, т.к. в величину V_i входит а, само определяемое из этих же n измерений.

Важно, что не зная самих истинных случайных ошибок удается вычислить среднюю квадратичную ошибку определенного измерения:

S = ± .

Оценим теперь погрешность результата всей серии эксперимента, т.е. определим величину Dх = Х - а.

Для этого проведем преобразование выражения

S_n² =

=

= .

Если повторить серии по n измерений в каждой N раз, можно получить средние значения а₁, а₂, ... , а_N и погрешности результатов измерений

(Dх)₁ = (Х - а₁); (Dх)₂ = (Х - а₂); ... ; (Dх)_N = (Х - а_N)

и среднюю среднеквадратичную погрешность серии

S_a² = .

При большом числе N S²_a ® s²_a

.

Усредняя выражение S²_n по числу серий N, получаем

S_a² = (Dx)² = S_n² - .

Учитывая что при большом n S²_n ® s² и S² ® s² получаем искомую

связь между дисперсиями всего опыта s²_a и отдельного эксперимента s²

,

т.е. дисперсия s²_a результата серии из n измерений в n раз меньше дисперсии отдельного измерения. При ограниченном числе n измерений приближенным выражением s²_a будет S²_a

.

Выражения s²_a и S²_a отражают фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений. Из него следует, что желая повысить точность измерений в 2 раза мы должны сделать вместо одного - четыре измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число измерений в 9 раз и т.д.

1. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности

Как установлено ранее, истинное значение измеряемой величины Х отличается от среднеарифметического a на некоторую величину Dx. На рис. 2 представлено расположение истинного значения Х и а, полученного из некоторых измерений а₁, а₂, а₃.

Ясно, что случайные величины а₁, а₂, а₃ обусловят случайный характер абсолютной погрешности Dx результата серии измерений, которая будет распределена по закону Гаусса:

.

Рис. 2. Взаимное расположение Х и а, полученных

из трех измерений а₁, а₂, а₃

Тогда вместо выражения Х = а ± Dх можно записать а - Dх £ Х £ а + D.

Интервал (а - Dх; а + Dх), в который по определению попадает истинное значение X называют доверительным интервалом. Надежностью (уровнем значимости) результата серии измерений называется вероятность a того, что истинное значение X измеряемой величины попадет в доверительный интервал. Вероятность a выражается в долях единицы или процентах. Графически надежность отражается площадью под кривой нормального распределения в пределах доверительного интервала, отнесенной к общей площади. Выбор надежности определяется характером производимых измерений. Например, к деталям самолета предъявляются более жесткие требования, чем к лодочному мотору, а к последнему значительно больше, чем к ручной тачке. При обычных измерениях ограничиваются доверительной вероятностью 0,90 или 0,95. Для любой величины доверительного интервала (выраженного в долях s ) по формуле Гаусса может быть просчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления проделаны и сведены в таблицу, имеющуюся практически во всей литературе по теории вероятности. На рис. 3 представлены значения надежности a при величине доверительного интервала ±s, ±2s, ±3s. Эти значения доверительной вероятности рекомендуется запомнить.

По рис. 3 видно, что величина абсолютной погрешности Dx может быть представлена в виде К×s_а, где К некоторый численный коэффициент, зависящий от надежности a. Однако это справедливо лишь для большого (бесконечного) числа n. При малых n этим коэффициентом пользоваться нельзя, т.к. величина s_а неизвестна. Для того, чтобы получить оценки границ доверительного интервала при малом n вводится новый коэффициент t_a. Этот коэффициент предложен английским математиком и химиком В.С. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом ² Стьюдент ².

Рис. 3. Значения надежности a при различных значениях Dx/s

И коэффициент t_a назвали коэффициентом Стьюдента. Коэффициент Стьюдента отражает распределение случайной величины t = при различном n. При n®¥ ( практически при n ³ 20 ) распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение. Значения коэффициента Стьюдента также приводятся практически во всей литературе по теории вероятности.

Зная величину t_a можно определить величину абсолютной погрешности Dх = t×S_a . Следует отметить, что величина абсолютной погрешности еще не определяет точность измерений. Точность измерений характеризует относительная погрешность, равная отношению абсолютной погрешности Dx результата измерений к результату измерений а: å = ± Dх / а. .

1. Обнаружение промахов

Если в ряду измерений встречаются результаты, резко отличающиеся от большей части ряда, то возникает вопрос принадлежности ² выскакивающих ² значений этому ряду измерений. Большие ошибки имеют малую вероятность возникновения. Поэтому следует объективно оценить, является ли данное измерение промахом ( тогда его исключают из ряда ) или же это результат случайного, но совершенно закономерного отклонения. Можно считать каждое измерение промахом, если вероятность случайного появления такого значения является достаточно малой.

Если известно точное значение s, то вероятность появления значения, отличающегося от среднеарифметического а более чем на 3s £ 0,003 и все измерения, отличающиеся от а на 3s ( и больше ) могут быть отброшены, как маловероятные.

Следует иметь в виду, что для совокупности измерений вероятность появления измерения ³ 3s от а всегда больше 0,003. Действительно, вероятность того, что результат каждого измерения не будет отличаться от истинного более чем 3s составляет 1- 0,003 = 0,997. Вероятность того, что все n измерений не будут отличаться от среднего более чем на 3s по правилу умножения вероятностей составит ( 1 - 0,003 )ⁿ. Для не слишком большого n

(1 - 0,003)ⁿ » 1 - 0,003×n.

Это значит, что вероятность того, что из 10 измерений хотя бы одно будет случайно отличаться от среднего более чем на 3s будет уже не 0,003, а 0,03 или 3%. А при 100 измерениях вероятность такого события составит уже около 30%.

Характеристики

Список файлов реферата