84403 (675858), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Теорема 2 доказана.

Пример. Для следующие четыре периода по две соседние двусторонние формы

,

,

,

,

При этом эти формы удовлетворяют теореме 2, т.к. .

Замечание. Из полученной теоремы следует, что приведенные двусторонние формы будут соседними в очень малом числе случаев и в большинстве случаев они не будут соседними. Вопрос о точном числе случаев, когда приведенные двусторонние формы будут соседними по-видимому является очень трудным и мы его не рассматриваем.

§3. Об оценке сверху числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм.

О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм, так и о числе классов неопределенных квадратичных форм известно очень мало. Для числа классов бинарных квадратичных форм имеется точная формула Дирихле. Другим важным результатом являются неравенства, принадлежащие немецкому математику Зигелю.

,

где - число приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта ; и - положительные постоянные, зависящие от ; причем - любое фиксированное положительное число. Наша цель состоит в том, чтобы элементарным способом доказать верхнюю оценку в неравенствах Зигеля для . Приводимое доказательство будет опираться на некоторые свойства функции числа положительных делителей натурального числа и мы их приведем вначале.

Арифметическая функция определяется как число положительных делителей натурального числа .

Предложение 1. Функция мультипликативна, т.е. , если .

Из этого предложения 1 легко выводится следующее

Предложение 2. Если - каноническое разложение натурального числа , то

.

Доказательства предложений 1 и 2 приводятся во всех учебниках по теории чисел (напр. см. [4,6]).

Предложение 3. Для числа делителя натурального числа имеет место неравенство

.

Доказательство. Пусть и - канонические разложения чисел и , и пусть

, ,…, - все простые делители наибольшего общего делителя чисел и . Тогда ясно, что

. (1)

Но так как справедливо неравенство

, (2)

то неравенство (1) с учетом (2) и предложения 2 перейдет в следующие соотношения

.

Предложение 3 доказано.

Предложение 4. Для имеет место неравенство

,

где - произвольное положительное число, - постоянная, зависящая только от .

Доказательство. Мы следуем рассуждениям в [4,5] (доказательство имеется также в [3]). Пусть - каноническое разложение числа . Тогда имеем

.

Рассмотрим отношение , в случаях и .

Если , то , так как .

Если , то считая , получим

.

Поэтому

.

Следовательно, полагая , получим неравенство

.

Предложение 4 доказано.

Следующее предложение характеризует среднее значение в нужной для нас форме.

Предложение 5. Для имеет место следующая оценка сверху

,

где - постоянная .

Доказательство. Имеем

.

Последняя сумма геометрически представляет собой число целых точек в первой четверти, лежащих на или под гиперболой , при этом целые точки, лежащие на осях координат исключаются, так как для них . Поэтому исследуемую сумму можно записать в виде

, где - целая часть числа .

Оцениваем теперь сумму

,

где .

Здесь мы воспользовались следующим соотношением из математического анализа

,

где

есть так называемая постоянная Эйлера.

Предложение 5 доказано.

Перейдем теперь к элементарному доказательству следующего результата.

Теорема (Зигель). Для числа всех приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта справедливо неравенство

,

где - произвольное положительное число, - постоянная, зависящая только от .

Доказательство. Пусть - неопределенная приведенная форма дискриминанта . Тогда ,

, .

Оценим сверху число приведенных форм с и . Тогда

.

Применяя к последней сумме предложения 3,4,5, получим

, где .

Теорема доказана.

§4. О диагональных формах и оценка снизу числа классов в роде.

В этом параграфе мы получим одну оценку снизу для числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм. Сначала введем соответствующие понятия.

Определение 1. Целое число , не делящееся на простое число называется квадратичным вычетом по модулю простого числа, если число сравнимо с квадратом некоторого целого числа по модулю , т.е. - квадратичный вычет по модулю , если сравнение имеет решение; в противном случае число называется квадратичным невычетом по модулю . В теории квадратичных вычетов очень полезно использование так называемого символа Лежандра.

Определение 2. Символом Лежандра числа по простому модулю , которое определяется следующим соотношением

Приведем некоторые основные свойства символа Лежандра, которые нам понадобятся.

Свойство 1. , если .

Свойство 2. Если , то (свойство периодичности).

Свойство 3. (свойство мультипликативности)

Свойство 4. , если .

Определим теперь понятие рода квадратичных форм, впервые введенное Гауссом. Совокупность классов собственно примитивного порядка данного дискриминанта Гаусс в своей арифметической теории квадратичных форм разделяет на ряды, относя в один и тот же род все те классы, формы которых имеют и тот же «характер». Под характером примитивной формы или примитивного класса форм Гаусс понимает следующее.

Пусть - простой делитель дискриминанта , и пусть число всех этих различных модулей равно . Можно показать, что если - один из этих модулей, то для всех чисел , представимых данной собственно примитивной формой дискриминанта и взаимно простых с , символы Лежандра имеют одно и то же значение. В самом деле, пусть

- собственно примитивная форма дискриминанта и - любой нечетный простой делитель числа и , - два числа, представляемых формой и не делящихся на . Подстановка определителя переводит в форму (см. соотношения (3) §1), причем , откуда , т.е. в силу определения символа Лежандра имеем . Из этого равенства в очередь на основании свойств 3 и 4следует, что . Итак, символ Лежандра имеет одно и то же значение для всех чисел , представляемых формой . Выпишем эти символы Лежандра, которые все равны или для всех указанных модулей , взятых в определенном выбранном порядке. Тогда для данной квадратичной формы получается некоторая определенная последовательность чисел, равных . Эта последовательность чисел, равных и называется характером рассматриваемой собственно примитивной бинарной квадратичной формы дискриминанта или характером класса этой формы.

Так как число всех различных последовательностей, составленных из членов, равных или равно , то число различных характеров форм данного дискриминанта, а следовательно и число родов не больше, чем . Чтобы решить вопрос о точном числе родов Гаусс вводит в рассмотрение операции композиции классов и композиции родов квадратичных форм. Не вдаваясь в эту сложную теорию Гаусса, мы приведем его результаты о числе родов и о числе классов в каждом роде.

Теорема 1 (Гаусс). Число родов бинарных квадратичных форм в данном собственно примитивном порядке дискриминанта равно , где определяется следующими условиями:

при ,

при ,

при ,

при этом - число различных простых делителей числа .

Теорема 2 (Гаусс). Каждый род собственно примитивного порядка содержит одно и то же число классов, т.е.

,

где - число всех классов, - число классов в каждом роде и -число родов.

Перейдем теперь после такого предварительного обсуждения к изложению результатов данного параграфа. Следующая теорема устанавливает существование неэквивалентных диагональных квадратичных форм данного дискриминанта.

Теорема 3. Диагональная форма дискриминанта не эквивалентна никакой другой диагональной форме того же дискриминанта.

Доказательство. Допустим, что диагональная форма

(1)

дискриминанта собственно эквивалентна другой диагональной форме

(2)

того же дискриминанта . Тогда найдется целочисленная унимодулярная подстановка , которая переводит форму в форму .

Имеем

(3)

где

(4)

Подставляя (3) в (1), получим

.

Но так как, мы требуем, чтобы форма была тоже диагональной, то

. (5)

Тогда форма перепишется в следующем виде

. (6)

Характеристики

Список файлов реферата