Diplomx (675852), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Если доказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотрен­ного случая следует, что при .Поэтому и при . Так как только в нулях функции , то отсюда следует, что при и .

Следовательно, если при некотором t, то , т. е. . Если (3.3₁) не выполняется ни при каком t из отрезка , то при некотором t имеет место (3.3₂), и потому (3.3₂) справедливо на неко­тором подинтервале из . Но тогда на этом интервале и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено.

Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть урав­нение (3.1₂) является мажорантой Штурма для (3.1₁) на интервале J, и пусть - вещественные решения уравнений, (3.3_j). Пусть обращается в нуль в двух точках интер­вала J. Тогда имеет по крайней мере один нуль на . В частности, если и вещественные линейно независимые решения уравнения (3.1₁) (3.1₂). То нули функции разделяют нули функции и разделяются ими.

Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций и не имеют на J предельных точек. Кроме того, , не могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того, что решения урав­нения (3.1₁) единственны, , где (так что и не являются линейно независимыми).

Упражнение 3.1. (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда p₁(t)p₂(t)>0, q₂(t)q₁(t).)

Предположим, что u₁(t)>0 при t₁23 и утверждение неверно: например, u₂(t)>0 при t₁ tt₂. Умножая (p₁(t)u)+q₁(t)u=0, где u=u₁, на u₂, а (p₂(t)u)+q₂(t)u=0, где u=u₂, на u₁, вычитая и интегрируя по [t_1,t₂], получаем:

p(t)(u₁u₂-u₁u₂)0, при t₁tt₂, где p=p₁=p₂. Это означает, что (u₁/u₂)0; поэтому u₁/u₂>0 при t₁2, т.е. получается, что u₁(t₂)>0 чего быть не может.

Решение:

(p₁(t)u)+q₁(t)u=0, u=u₁

(p₁(t)u₁)+q₁(t)u₁=0.

Умножим левую часть равенства на u₂, получим:

u₂(p₁(t)u₁)+q₁(t)u₁u₂=0.

Во втором уравнении проделаем соответствующие операции:

(p₂(t)u)+q₂(t)u=0, u₂=u

(p₂(t)u₂)+q₂(t)u₂=0.

Умножим левую часть равенства на u₁, получим:

u₁(p₂(t)u₂)+q₂(t)u₁u₂=0.

Вычитаем из первого уравнения второе, получим:

u₂(p₁u₁)+q₁u₁u₂-u₁(p₂u₂)-q₂u₁u₂=0, p=p₁=p₂

u₂(pu₁)+q₁u₁u₂-u₁(pu₂)-q₂u₁u₂=0

(u₂(pu₁)-u₁(pu₂))+u₁u₂(q₁-q₂)=0

Упростим это уравнение,

u₂(pu₁+pu₁)-u₁(pu₂+pu₂)+u₁u₂(q₁-q₂)=0

Раскроем скобки, получим:

pu₁u₂+ pu₁u₂- pu₁u₂-pu₁u₂+u₁u₂(q₁-q₂)=0.

Сравнивая с формулой (2.2), получаем:

(p(u₁u₂-u₁u₂))+u₁u₂(q₁-q₂)=0

(p(u₁u₂-u₁u₂))-u₁u₂(q₂-q₁)=0

(p(u₁u₂-u₁u₂))=u₁u₂(q₂-q₁)=0.

Проинтегрируем это уравнение по [t₁,t], получим:

[p(u₁u₂-u₂u₁)]dt = u₁u₂(q₂-q₁)dt, где

u₁u₂>0, q₂-q₁0. Значит p(u₁u₂-u₁u₂)0.

Т.о. (u₁/u₂)0  u₁/u₂>0.

Упражнение 3.2. с) Проверьте, что вещественные решения u(t) 0 уравнения u+/t²u=0 (1/17) имеет не более одного нуля при t>0, если  , и эти решения имеют бесконечно много нулей при t>0, если > . В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t=0 и t=.

Решение: в §1 было рассмотрено упражнение 1.1 с), где показали, что функция u=t^ является решением уравнения u+/t²u=0 тогда и только тогда, когда  удовлетворяет уравнению (-1)+ =0. Решая его получили : =  .

Если >1/4, то корни ₁ и ₂ – комплексные, т.е.

u=t^1/2[cos ( -1/4 ln t)c₁+c₂sin( -1/4 ln t)]

имеют бесчисленное множество нулей. В частности, если положить:

c₁=sinu ,c₂=cosu,

то получим:

u= t^1/2[sin u cos ( -1/4 ln t)+cos u sin ( -1/4 ln t)]=

t^1/2 [sin (u+ -1/4 ln t)].

Если <1/4, то решение

u=с₁t^1/2+ +c₂t^1/2-

имеют не более одного нуля.

Так же, если =1/4, то решение

u=c₁t^1/2+c₂t^1/2ln t

имеют не более одного нуля.

d) Рассмотрим уравнение Бесселя:

v+v/t+(1-²/t²)v=0, (3.10)

где -вещественный параметр. Вариация постоянных u=t^1/2/v переводит уравнение (3.10) в уравнение:

u+(1-/t²)u=0, где =²-1/4 (3.11)

Проверим истинность этого утверждения u=t^1/2v, следовательно:

v=u/t^1/2=ut^-1/2.

Найдём первую производную:

v=(ut^-1/2) =ut^-1/2+u(t^-1/2)=ut^-1/2-1/2ut^-3/2.

Теперь вторую производную:

v=(ut^1/2) -1/2(ut^-3/2) =ut^-1/2 +u(t^-1/2) -1/2(ut^-3/2+u(t^-3/2) )=

=ut^-1/2 –1/2ut^-3/2-1/2ut^-3/2+3/4uut^-5/2=

=ut^-1/2-ut^-3/2+3/4ut^-5/2.

Подставляя в уравнение (3.10), получим:

v+v/t+(1-²/t²)v=0.

ut^-1/2-ut^-3/2+3/4ut^-5/2+1/t(ut^-1/2-1/2ut^-3/2)+(1-²/t²)ut^-1/2=0

t^-1/2(u-ut^-1+3/4ut^-2+ut^-1-1/2ut^-2+u(1-²/t²))=0

u+1/4ut^-2+u(1-²/t²)=0

u+u-²u/t²+1/4ut^-2=0

u+u-(²u-1/4u)/t²=0

u+u-((²-1/4)u)/t²=0

u+u-u/t²=0

u+(1-/t²)u=0, где =²-1/4.

Покажем, что нули вещественного решения v(t) уравнения (3.10) образуют при t>0 такую последовательность t₁2<…, что t_n-t_n-1 при n.

Так как в уравнении

u+(1-/t²)u=0, т.е. уравнение

u+(1-(²-1/4)/t²)u=0

 - постоянное число, то при 1/4 и при t – достаточно большое, то выражение

1-(²-1/4)/t²1, т.е. если уравнение

u+(1-(²-1/4)/t²)u=0

сравнить с уравнением u+u=0, то расстояние между последовательными нулями стремится к , т.е. t_n-t_n-1 при n.

Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выпол­нены условия первой части теоремы 3.1 и функция имеет точно n нулей при . Тогда соотношение (3.4) выполняется при [где выражение в правой (соответственно левой) части (3.4) при полагается равным , если (соответственно, )]. Кроме того, при в (3.4) имеет место строгое неравенство, если выполнены условия последней части теоремы 3.1.

Доказательство этого утверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции вытекает последнее неравенство в сле­дующей цепочке: . Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство тео­ремы 3.1 дает неравенство .

Использованная литература:

1. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебн. пособие./ Пер. с англ. И.Х.Сабитова, Ю.В.Егорова; под ред. В.М.Алексеева.-М.: изд.”Мир”, 1970г.-720 с.

2. В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. Гос.изд. “Технико-теор. литер.”-М., 1953г.-468 с.

3. Большая Советская Энциклопедия. /Под ред. А.М.Прохорова. Изд. 3-е., М., “Советская Энциклопедия”, 1978г., т.29. “Чачан-Эне-ле-Бен.” – 640 с.

4. Г.Вилейтнер. “История математики от Декарта до середины 19-го столетия.” М., изд. “Наука.”, 1966г. – 508 с.

5. История математики с древнейших времён до начала 19-го столетия. /Под ред. Юшкевича А.П., т.3 /Математика 18-го столетия/., изд. “Наука.”, М., 1972г. – 496 с.

Характеристики

Список файлов реферата