Diplomx (675852), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(х) Пусть и(t), v(t) - решения уравнения (2.1), удовлетворяющие (2.7) с . При фиксированном
решением уравнения (2.1), удовлетворяющим начальным условиям и (s) = 0, p(s)u'(s) = 1, является
. Поэтому решением уравнения (2.2), удовлетворяющим условиям
, служит функция
(проще проверить это непосредственно). Общее решение уравнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения уравнения (2.1), что дает
Если замкнутый ограниченный интервал [a,b] содержится в J, то, полагая
мы получаем из (2.14) частное решение
Оно может быть записано в виде
где
матрица С (t) зависит от , но не зависит от их производных. В этом случае уравнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе
(xii) Если известно частное решение уравнения (2.27), не равное нулю на J, то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, входящую в (2.28). В действительности, тот же результат можно получить более прямым путем. Пусть уравнение (2.27) имеет решение
на интервале J. Заменим неизвестную функцию и в (2.1) на z, так что
Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению
Умножая его на , мы получаем, что
или, в силу (2.27), что
т. е. подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31). Мы могли также начинать не с решения дифференциального уравнения (2.27), а с функции
, имеющей непрерывную производную
и такой, что
непрерывно дифференцируема. При этом
определяется равенством (2.27), так что
. Подстановка (2.29) будет называться также вариацией постоянных.
(xiii) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рассмотрим (2.1) с р (t) = 1:
и" + q (t) и = 0. (2.32)
Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что
±q (t) > 0, где ± = sgn q (t) (2.33)
не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных
Тогда (2.32) сводится к (2.30), где , т. е. к уравнению
Замена независимых переменных , определенная соотношением
переводит (2.35) в уравнение
где
а аргументом функции q и ее производных служит функция t = t (s), обратная к функции s = s (f), определяемой из (2.36) с помощью квадратуры; см. (1.7). В этих формулах штрих означает дифференцирование по t, так что q' = dqldt.
Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лиувилля. Эта подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальному уравнению типа (2.37), в котором функция f (s) «близка» к постоянной. Простой предельный случай такой подстановки см. в упр. 1.1(с).
(xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (xiii) рассматривались преобразования уравнения (2.1) в различные линейные уравнения второго порядка или в соответствующие линейные системы двух уравнений первого порядка. Иногда удобно преобразовать (2.1) в соответствующее нелинейное уравнение или систему. Для этого чаще всего используется следующий метод. Пусть
так что . Тогда после деления (2.1) на и результат можно записать в виде
Это уравнение называется уравнением Риккати, соответствующим (2.1). (В общем случае уравнение вида , где правая часть является квадратичным полиномом от г, называется дифференциальным уравнением Риккати.)
Читателю предоставляется проверка того факта, что если и (t) - решение уравнения (2.1), не равное нулю на t - интервале , то функция (2.39) является решением уравнения (2.40) на J'; обратно, если
- решение уравнения (2.40) на t-интервале
, то, интегрируя (2.39), мы получаем решение
уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J'.
(xv) Преобразование Прюфера. В случае, когда уравнение (2.1) имеет вещественные коэффициенты, часто используется следующее преобразование . Пусть -вещественное решение уравнения 2.1, и пусть
Поскольку и и и' не могут обратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответствующее значение функции в некоторой точке
, мы определяем с помощью второго из равенств (2.42) непрерывно дифференцируемую функцию
. Соотношения (2.42) переводят уравнение (2.1) в систему
В уравнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций . Если решение
уравнения (2.43) известно, то соответствующее решение уравнения (2.44) может быть найдено с помощью квадратуры.
Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что всякое решение уравнения (2.43) существует на всем интервале J, где непрерывны р и q. Это видно из соотношения, связывающего решения уравнений (2.1) и (2.43).
Упражнение 2.1. Проверьте, что если функция непрерывна на J и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-тервалах из J) и если - вещественное решение уравнения (2.1), то равенства
при фиксированном значении для некоторого
однозначно определяют непрерывные функции
, имеющие локально ограниченную вариацию и
Соотношения (2.46) и (2.47) следует понимать так, что интегралы Римана - Стильтьеса от обеих их частей равны. Обратно, (непрерывные) решения системы уравнений (2.46), (2.47) определяют решения уравнения (2.1) с помощью соотношений (2.45). Заметим, что если q (t) > 0, р (t) > 0 и функция q(t) р(t) имеет локально ограниченную вариацию, то, полагая , мы получаем q/
, а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства
§ 3. Теоремы Штурма
В этом параграфе мы будем рассматривать только уравнение вида (2.1) с вещественными непрерывными коэффициентами р (t) > 0, q (t). Под «решением» мы будем понимать «вещественное, нетривиальное (т. е. ) решение». Нас будет интересовать множество нулей решения u (t). Для изучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюфера (2.42), поскольку
тогда и только тогда, когда
.
Лемма 3.1. Пусть - вещественное решение уравнения (2.1) при
, где
и
вещественны и непрерывны. Пусть функция и (t) имеет в точности
нулей
при
. Предположим, что
- непрерывная функция, определенная равенством (2.42), и
. Тогда
и
при
.
Доказательство. Заметим, что в той точке t, где u=0, т. е. где , производная
в силу (2.43). Следовательно, функция
возрастает в окрестности точек, где
для некоторого целого j. Отсюда следует, что если
и
, то
при
, а также что если
, то
при
. Тем самым лемма доказана.
В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два уравнения
где функции вещественны и непрерывны на интервале J. и
В этом случае уравнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J, а уравнение (3.1)-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно, что соотношения
или
выполняются в некоторой точке , то уравнение (3.32) называется строгой мажорантой Штурма для (3.31) на J.
Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения непрерывны на интервале J:
, и пусть уравнение (3.32) является мажорантой Штурма для (3.11). Предположим, что функция
является решением уравнения (3.11) и имеет точно
нулей
при
,а функция
удовлетворяет уравнению (3.12) и
при . [Выражение в правой (соответственно левой) части неравенства (3.4) при
полагается равным
, если
(соответственно если
); в частности, соотношение (3.4) справедливо при
, если
.] Тогда
имеет при
пo крайней мере n нулей. Более того,
имеет по крайней мере n нулей при
, если при
в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.1 г) является строгой мажорантой Штурма для (3.11) при
.
Доказательство. В силу (3.4) можно определить при пару непрерывных функций
с помощью соотношений
Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43):
Поскольку непрерывные функции , гладким образом зависят от
, решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями. Из (3.2) следует, что
при
и всех
. Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 означают, что
для
В частности, из
следует, что
, и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.
Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вначале, что при в (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда
. Обозначим через
решение уравнения (3.62), удовлетворяющее начальному условию
, так что
. Поскольку решение уравнения (3.62) однозначно определяется начальными условиями,
при
. Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что
потому
. Следовательно,
имеет n нулей при
.
Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равенство, но в некоторой точке из выполняется либо (3.31), либо (3.32). Запишем (3.62) в виде
где