Diplomx (675852), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(х) Пусть и(t), v(t) - решения уравнения (2.1), удовлетворяю­щие (2.7) с . При фиксированном решением уравнения (2.1), удовлетворяющим начальным условиям и (s) = 0, p(s)u'(s) = 1, является . Поэтому решением урав­нения (2.2), удовлетворяющим условиям , слу­жит функция

; (2.13)

(проще проверить это непосредственно). Общее решение уравнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения уравнения (2.1), что дает

. (2.14)

Если замкнутый ограниченный интервал [a,b] содержится в J, то, полагая

, ,

мы получаем из (2.14) частное решение

.(2.15)

Оно может быть записано в виде

, (2.16)

где

(2.17)

матрица С (t) зависит от , но не зависит от их про­изводных. В этом случае уравнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе

. (2.28)

(xii) Если известно частное решение уравнения (2.27), не равное нулю на J, то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, вхо­дящую в (2.28). В действительности, тот же результат можно полу­чить более прямым путем. Пусть уравнение (2.27) имеет решение на интервале J. Заменим неизвестную функцию и в (2.1) на z, так что

. (2.29)

Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению

.

Умножая его на , мы получаем, что

(2.30)

или, в силу (2.27), что

, (2.31)

т. е. подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31). Мы могли также начинать не с решения дифферен­циального уравнения (2.27), а с функции , имеющей непрерывную производную и такой, что непрерыв­но дифференцируема. При этом определяется равенством (2.27), так что . Подстановка (2.29) будет назы­ваться также вариацией постоянных.

(xiii) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рас­смотрим (2.1) с р (t) = 1:

и" + q (t) и = 0. (2.32)

Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что

±q (t) > 0, где ± = sgn q (t) (2.33)

не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных

. (2.34)

Тогда (2.32) сводится к (2.30), где , т. е. к уравнению

(2.35)

Замена независимых переменных , определенная соотношением

, (2.36)

переводит (2.35) в уравнение

(2.37)

где

(2.38)

а аргументом функции q и ее производных служит функция t = t (s), обратная к функции s = s (f), определяемой из (2.36) с помощью квадратуры; см. (1.7). В этих формулах штрих означает дифферен­цирование по t, так что q' = dqldt.

Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лиувилля. Эта подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальному уравнению типа (2.37), в котором функция f (s) «близка» к постоянной. Простой предель­ный случай такой подстановки см. в упр. 1.1(с).

(xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (xiii) рассматривались преобразования уравнения (2.1) в различные линейные уравнения второго порядка или в соответствующие линейные системы двух уравнений первого порядка. Иногда удобно преобразовать (2.1) в соответствующее нелинейное уравнение или систему. Для этого чаще всего используется следующий метод. Пусть

, (2.39)

так что . Тогда после деления (2.1) на и результат можно записать в виде

. (2.40)

Это уравнение называется уравнением Риккати, соответствующим (2.1). (В общем случае уравнение вида , где правая часть является квадратичным полиномом от г, называется дифференциальным уравнением Риккати.)

Читателю предоставляется проверка того факта, что если и (t) - решение уравнения (2.1), не равное нулю на t - интервале , то функция (2.39) является решением уравнения (2.40) на J'; обрат­но, если - решение уравнения (2.40) на t-интервале , то, интегрируя (2.39), мы получаем решение

(2.41)

уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J'.

(xv) Преобразование Прюфера. В случае, когда уравнение (2.1) имеет вещественные коэффициенты, часто используется следующее преобразование . Пусть -вещественное решение уравнения 2.1, и пусть

.

Поскольку и и и' не могут обратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответствующее значение функции в некоторой точке , мы определяем с помощью второго из равенств (2.42) непре­рывно дифференцируемую функцию . Соотношения (2.42) пере­водят уравнение (2.1) в систему

, (2.43)

(2.44)

В уравнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций . Если решение уравнения (2.43) известно, то соответствую­щее решение уравнения (2.44) может быть найдено с помощью квадратуры.

Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что всякое решение уравнения (2.43) существует на всем интервале J, где непрерывны р и q. Это видно из соотношения, свя­зывающего решения уравнений (2.1) и (2.43).

Упражнение 2.1. Проверьте, что если функция непре­рывна на J и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-тервалах из J) и если - вещественное решение уравнения (2.1), то равенства

(2.45)

при фиксированном значении для некоторого однозначно определяют непрерывные функции , имеющие локально ограниченную вариацию и

Соотношения (2.46) и (2.47) следует понимать так, что интегралы Римана - Стильтьеса от обеих их частей равны. Обратно, (непре­рывные) решения системы уравнений (2.46), (2.47) определяют реше­ния уравнения (2.1) с помощью соотношений (2.45). Заметим, что если q (t) > 0, р (t) > 0 и функция q(t) р(t) имеет локально огра­ниченную вариацию, то, полагая , мы получаем q/ , а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства

(2.48)

(2.49)

. (2.50)

§ 3. Теоремы Штурма

В этом параграфе мы будем рассматривать только уравнение вида (2.1) с вещественными непрерывными коэффициентами р (t) > 0, q (t). Под «решением» мы будем понимать «вещественное, не­тривиальное (т. е. ) решение». Нас будет интересовать множество нулей решения u (t). Для изучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюфера (2.42), поскольку тогда и только тогда, когда .

Лемма 3.1. Пусть - вещественное решение уравне­ния (2.1) при , где и вещественны и непре­рывны. Пусть функция и (t) имеет в точности нулей при . Предположим, что - непрерывная функция, определенная равенством (2.42), и . Тогда и при .

Доказательство. Заметим, что в той точке t, где u=0, т. е. где , производная в силу (2.43). Следовательно, функция возрастает в окрестности точек, где для некоторого целого j. Отсюда следует, что если и , то при , а также что если , то при . Тем самым лемма дока­зана.

В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два урав­нения

где функции вещественны и непрерывны на интервале J. и

. (3.2)

В этом случае уравнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J, а уравнение (3.1)-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно, что соотношения

(3.3₂)

или

и (3.3₁)

выполняются в некоторой точке , то уравнение (3.3₂) назы­вается строгой мажорантой Штурма для (3.3₁) на J.

Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения непрерывны на интервале J: , и пусть уравнение (3.3₂) является мажорантой Штурма для (3.1₁). Предположим, что функция является решением уравнения (3.1₁) и имеет точно нулей при ,а функция удовлетворяет уравне­нию (3.1₂) и

(3.4)

при . [Выражение в правой (соответственно левой) части нера­венства (3.4) при полагается равным , если (соответственно если ); в частности, соотношение (3.4) справедливо при , если .] Тогда имеет при пo крайней мере n нулей. Более того, имеет по крайней мере n нулей при , если при в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.1 г) является стро­гой мажорантой Штурма для (3.1₁) при .

Доказательство. В силу (3.4) можно определить при пару непрерывных функций с помощью соотношений

(3.5)

Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43):

(3.6_j)

Поскольку непрерывные функции , гладким образом зависят от , решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями. Из (3.2) следует, что при и всех . Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 означают, что

для В частности, из следует, что , и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.

Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вна­чале, что при в (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда . Обозначим через решение уравнения (3.6₂), удовлетворяющее начальному условию , так что . Поскольку решение уравнения (3.6₂) однозначно определяется начальными условиями, при . Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что потому . Следовательно, имеет n нулей при .

Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равен­ство, но в некоторой точке из выполняется либо (3.3₁), либо (3.3₂). Запишем (3.6₂) в виде

,

где

Характеристики

Список файлов реферата