Kompleksni_chisla (675849), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Поняття комплексного числа.

“Подобно тому, как всю область действительных величин можно представить с помощью бесконечной прямой, можно себе представить область всех величин, действи­тельных и мнимых, с помощью бесконечной плоскости, где каждая точка, определенная своей абсциссой а и своей ординатой b, представляет в то же время величину a+ib”.

Гаусс

Рассмотрим множество чисел, каждое из которых определяется упорядоченной парой дей­ствительных чисел. Действительные числа будем обозначать буквами а, b, с, ..., а упорядоченные пары действительных чисел — буквами α, β, γ, ... и соот­ветственно записывать α=(a, b), β =(c, d) и т. д. Такую упорядоченную пару действительных чисел (a,b) назовем комплексным числом.

Определим действия над упорядоченными парами действительных чисел. Суммой двух упорядоченных пар α= (а, b) и β = (с, d) назовем упорядоченную пару γ = (a+c, b+d):

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (1)

а произведением указанных пар — упорядоченную пару δ = (ас – bd, ad + bc):

(a, b)(c, d) = (ac – bd, ad + bc). (2)

Действия сложения и умножения упорядоченных пар действительных чисел определены аксиома­тически.

Для этих действий существуют обратные дей­ствия — вычитание и деление (кроме деления на нуль). Разностью α — β двух упорядоченных пар α = (a, b) и β = (с, d) назовем такую упорядочен­ную пару (х, y), для которой (с, d) + (x, y) = (a, b). Принимая во внимание равенство (1), получаем с + х = a, d + y = b, откуда x = а – c, y = b – d. Разностью α — β упорядоченных пар α = (а, b) и β = (с, d) является упорядоченная пара (а – c, b – d):

(a, b) – (c, d) = (a – c, b – d). (3)

Нулем служит пара 0 = (0, 0). Упорядоченной парой, противоположной для упорядоченной пары α = (а, b) будет, пара - α = ( -а, -b), так как α + (-α) = (а, b) + (-а, -b) = (0,0) = 0.

Частным от деления упорядоченной пары α = (а, b) на упорядоченную пару β = (с, d), где β 0 или с + d 0 (т. е. хотя бы одно из чисел с, d отлично от нуля) должна быть упорядоченная пара (x, y) такая, что (с, d) (x, y) = (а, b). Отсюда на основании равенства (2) получаем cx – dy = a, cy – dx = b. Из этой системы уравнений находим x и y:

x = , y = .

Итак, если β 0, то частное α/β двух упорядоченных пар α = (а, b), β = (с, d) существует и определя­ется формулой:

= . (4)

Положив в этой формуле β = α (т. е. c = a, d = b), найдем, что единицей при умножении упорядоченных пар служит упорядоченная пара (1, 0). Полагая α = 1 = (1, 0), из формулы (4) получаем, что при β 0 упорядоченной парой, обратной для β, будет упорядоченная пара

.

Таким образом, построено множество чисел, дей­ствия над которыми определяются по формулам (1) - (4). Это множество чисел называют множест­вом комплексных чисел.

Докажем, что множество комплексных чисел в качестве своего подмножества содержит все дейст­вительные числа. Рассмотрим упорядоченные пары вида (a, 0). Каждой паре (a, 0) поставим в соот­ветствие действительное число а, в результате полу­чим взаимно однозначное соответствие между мно­жеством рассматриваемых упорядоченных пар и множеством всех действительных чисел. Применяя к указанным упорядоченным парам формулы (1) и (2), находим;

(а, 0) + (b, 0) = (а + b, 0); (а, 0) (b, 0) = (ab, 0).

Эти равенства означают, что упорядоченные пары вида (а, 0) складываются и умножаются так же, как действительные числа. Следовательно, множест­во указанных упорядоченных пар действительных чисел, рассматриваемое как подмножество множест­ва комплексных чисел, по своим алгебраическим свойствам не отличается от множества действитель­ных чисел. Это позволяет положить

(а, 0) = а, (5)

т. е. не различать упорядоченную пару (a, 0) дейст­вительных чисел и действительное число a. В част­ности, нуль (0, 0) и единица (1, 0) множества комп­лексных чисел оказываются обычными действитель­ными числами 0 и 1.

Покажем, что среди комплексных чисел содер­жится корень уравнения х + 1 = 0. Корнем уравне­ния х + 1 = 0 является такое число, квадрат кото­рого равен действительному числу —1. Это число определяется упорядоченной парой (0, 1). В самом деле, применив формулу (2), получим

(0, 1) (0, 1) = (-1, 0) = -1.

Обозначим эту упорядоченную пару через i, т. е. i = (0, 1), тогда

i = - 1, i = , (6)

число ί называют мнимой единицей.

Найдем произведение действительного числа b на упорядоченную пару (0, 1) = ί — мнимую еди­ницу:

bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b), ib = (0, 1)(b, 0) = (0, b). (7)

Если (а, b) - произвольная упорядоченная пара, то из очевидного равенства (а, b) = (a, 0) + (0, b) и формул (5), (7) получаем

(a, b) = a + bi. (8)

Следовательно, комплексное число α = (a, b) мо­жет быть записано в виде a + bi = a + ib, где a и b — действительные числа, ί — мнимая единица, определяемая соотношением (6). Выражение a + bi называют алгебраической формой комплексного числа. Число a называют действительной, число b — мнимой частью комплексного числа a + bi. Обозначая комплексное число a + bi одной буквой α, пишут:

a = Reα, b = Imα,

где Re — начальные буквы латинского слова realis (действительный), Im - начальные буквы латинского слова imaginarius (воображаемый). Кроме указанных обозначений, употребляются также и такие: a = R(α), b = I(α), где (a, b) = a + bi. Числа вида bi называют чисто мнимыми числами или просто мнимыми.

85

Комплексное число a + bi считают равным нулю тогда и только тогда, когда а = 0, b = 0:

. (9)

Два комплексных числа a + bi и c + di считают равными тогда и только тогда, когда равны между собой соответственно их действительные и мнимые части, т. е. a = с, b = d:

. (10)

Комплексное число a - bi называют сопряжен­ным комплексному числу a + bi. Обозначим число a - bi буквой = a + bi. Числу будет сопряжено число a – (-bi) = a + bi = α. Вследствие этого числа α = a + bi и = a - bi называют комп­лексно сопряженными числами. Действительные числа и только они сопряжены сами себе. В самом деле, если α = a, где a - действительное число, то из формул (5) и (8) имеем: α = a + 0i = a, = a – 0i = a, т. е. α = .

Например: комплексному числу 3 + 5i сопряжённым будет 3 – 5i ;

комплексному числу 4 - 7i сопряжённым будет 4 + 7i .

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Рассмотрим правила, по которым производятся арифметические действия над комплекс­ными числами.

Если даны два комплексных числа α = a + bi и β = c + di, то

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i . (11)

Это следует из определения действий сложения и вычитания двух упорядоченных пар действительных чисел (см. формулы (1) и (3)). Мы получили правила сложения и вычитания комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, надо отдельно сложить их действительные части и соответственно мни­мые части; чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, необходимо вычесть соответственно их действительные и мнимые части.

Число – α = – a – bi называют противополож­ным числу α = a + bi . Сумма двух этих чисел равна нулю: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Для получения правила умножения комплексных чисел воспользуемся формулой (6), т. е. тем, что i² = -1. Учитывая это соотношение, находим (a + bi)( c + di) = ac + adi + bci + bdi² = ac + (ad + bc)i – bd, т.е.

(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Эта формула соответствует формуле (2), которой определялось умножение упорядоченных пар дей­ствительных чисел.

Отметим, что сумма и произведение двух комп­лексно сопряженных чисел являются действительными числами. В самом деле, если α = a + bi, = a – bi, то α = (a + bi)( a - bi) = a² – i²b² = a² + b² , α + = ( a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i = 2a, т.е.

α + = 2a, α = a² + b². (13)

При делении двух комплексных чисел в алгеб­раической форме следует ожидать, что частное вы­ражается также числом того же вида, т. е. α/β = u + vi, где u, v R. Выведем правило деления комплексных чисел. Пусть даны числа α = a + bi, β = c + di, причем β ≠ 0, т. е. c² + d² ≠ 0. Послед­нее неравенство означает, что c и d одновременно в нуль не обращаются (исключается случай, когда с = 0, d = 0). Применяя формулу (12) и вто­рое из равенств (13), находим:

.

Следовательно, частное двух комплексных чисел определяется формулой:

, (14)

соответствующей формуле (4).

С помощью полученной формулы для числа β = с + di можно найти обратное ему число β^-1 = 1/β. Полагая в формуле (14) а = 1, b = 0, получаем

.

Эта формула определяет число, обратное данному комплексному числу, отличному от нуля; это число также является комплексным.

Например: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

Характеристики

Список файлов реферата