Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

C¹

A¹

A

B¹

B

C

D

D¹

α

зображением фигуры понимают её параллельную проекцию.

В частности, изображение прямой линии — это прямая линия или (в исключительном слу­чае, когда прямая параллельна направлению проекции) точка. На изображении параллель­ные прямые так и остаются параллельными, сохраняется здесь и отношение длин парал­лельных отрезков, хотя сами длины и изменя­ются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку основного свой­ства параллельной проекции:

• Если АВ =k CD, а A¹,B¹,C¹ и D¹- проекции точек A,B,C и D, то A¹B¹= k C¹D¹.

Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство — совпадение не толь­ко длин, но и направлений (рис. 7). Таким об­разом, если задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX = kAB на параллельной про­екции и оригинале одинаков. Аналогично, по изображениям трёх точек, не лежащих на од­ной прямой, однозначно восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы предопределяем изображения всех точек про­странства.

В то же время изображением данной трой­ки точек, т. е. треугольника, может служить тре­угольник любой заданной формы. В этом легко убедиться: проведём через сторону Поданного треугольника Л

Рис. 8

ВС любую плоскость а, постро­им в ней треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС на α вдоль пря­мой l = СС¹ (рис. 8). Взяв в качестве А В С равно­бедренный прямоу-гольный треугольник и до­строив его до квадрата ABCD, увидим, что в параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в любой параллело-грамм. Более того, можно доказать, что изображе-нием любой данной треу-гольной пирамиды могуг быть лю­бые четыре точки, не лежащие на одной пря­мой, вместе с соединяющими их отрезками.

Правильно выбранное изображение помо­гает решать задачи. Найдём, например, отно­шения, в которых треугольное сечение A¹BD нашего куба (рис. 9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В¹С¹. По­смотрим на куб со стороны бокового ребра ВВ¹, а точнее говоря, спроектируем куб вдоль прямой BD па плоскость АА¹С¹С. Понятно, что проекцией будет сам прямоугольник АА¹С¹С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины оснований (точки В и D совпадут;

р

Рис. 9

С¹

С

А¹

А

М

Р(=К’) B(=D)

B¹(=D¹) Q

ис. 9, б); рассматриваемое сечение превра­тится в отрезок (рис. 9, б), а точки Р и Q станут серединами отрезков А1) и ВiCi. Очевидно, что на нашем рисунке A¹Q = 3PB, а значит, РМ: MQ = 1 : 3. В силу основного свойства параллельной проекции, это равенство верно и в пространстве. Та же про­екция позволяет найти отношение между ча­стями любого проведённого в кубе отрезка, на которые он рассекается плоскостью A¹BD: в частности, отрезок KQ, где К — середина АВ. вновь делится ею в отношении 1 : 3, а диаго­наль АС, — в отношении 1:2.

Ещё эффектнее решения планиметриче­ских задач, которые получают, «выходя в про­странство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется построить треугольник с вершина­ми на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС с общим началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов АОВ, ВОС к СОА точки Р, Q и R.

Э

Р

В

А

О

С

Q

R

Р

В

А

О

С

Q

R

Q¹

M

E

R¹

Рис. 10

то очень трудная задача. Но если мы дога­даемся посмотреть на её чертёж (рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками на его гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение сечения этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис 10, б; кстати сказать, оно поясняет и основной прием построения сечений. Из произвольной точки Е луча ОС проектируем данные точки R и Q на плоскость ОАВ; получаем точки R¹ и Q¹. Плоскость искомого сечения пересекает плоскость ОАВ по прямой МР. Дальнейшее очевидно.

IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.

До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства всех их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте, нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие перпендикулярности, известное из планиметрии.

Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через точку Р, то говорят , что данные прямая и плоскость перпендикулярны.

Например, ясно, что ребро АА¹ нашего куба перпендикулярно основанию АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно того, что АА¹ составляет прямые углы с двумя из них – АВ и АD: согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

• Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b, то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.

Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны параллельные им пря­мые, проходящие через произвольно взятую точку, в частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпен­дикулярна любой лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:

• Через данную точку в пространстве можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную дан­ной прямой, а также одну и только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную плоскость. Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно ор­тогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно использовать при решении задач о расстояниях и углах в пространстве.

Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):

• Н

  a¹

  a

  α

  l

  Рис. 11

  аклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой плоскости тогда, когда её проекция а¹ на плоскость перпендикулярна l.

Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равно­сильны тому, что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.

П

B¹

рименим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC¹ на основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх перпендикулярах, и сама диаго­наль АС¹ перпендикулярна BD. По такой же причине перпендикулярны АС¹ и А¹В. Отсюда следует, что диагональ перпендикулярна «тре­угольному сечению» A¹BD.

В стереометрии помимо обычных плоских

у

A

B

C

D

D¹

C¹

A¹

Рис. 12

глов приходится иметь дело ещё с тремя ви­дами углов. Угол между скрещи-вающимися прямыми, по определению, равен углу между пе­ресекающимися прямыми, которые им парал­лельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая и пло­скость перпендикулярны, его принимают рав­ным 90°. Это наименьший из углов между пря­мой а и любой прямой в плоскости а. Угол между пересекающимися плоскостями измеря­ется углом между перпендикулярами, проведён­ными в этих плоскостях к линии их пересече­ния (рис. 13). Все названные углы принимают значения в промежутке от 0 д

Рис. 13

Рис. 14

о 90°.

Найдём, например, угол между диагоналями А¹В и В¹С граней нашего куба (рис. 14). Заме­ним прямую В¹С на параллельную ей диагональ A¹D противоположной грани; искомый угол равен углу BA¹D, т. е. 60° (треугольник BA¹D равносторонний). Угол между диагональю АС¹ и основанием куба равен углу САС¹ между прл* мой ас¹ и её проекцией АС на основание, т.е. arctg (C¹C/AC) = arctg (1/√2]. А угол между пло­скостями BDA¹ и BDC¹ (рис. 14) равен углу А¹МС¹, где М — середина BD, так как прямые МА¹ и МС¹ лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление даёт arccos (1/3)).

Расстоянием между двумя любыми фигура­ми называют наименьшую длину отрезка, концы которого принадлежат данным фигу­рам. Значит, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенно­го из точки на плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольно­го треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).

Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость α, параллельную прямой b (рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b¹ прямой b на α и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и р

b

Характеристики

Список файлов реферата