84250 (675646)
Текст из файла
- 18 -
Государственный университет управления
Институт заочного обучения
Специальность – менеджмент
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: Высшая математика.
Вариант № 1.
Выполнил студент Ганин Д.Ю.
Студенческий билет № 1211
Группа № УП4-1-98/2
Москва, 1999 г.
Содержание
Часть I. 3
Задание №2. Вопрос №9. 3
Задание №3. Вопрос №1. 3
Задание №12. Вопрос №9. 5
Задание №13. Вопрос №2. 5
Задание №18. Вопрос №9 6
Часть II. 9
Задание №8. Вопрос №8. 9
Задание №12. Вопрос №9. 10
Задание №14. Вопрос №2. 10
Задание №15. Вопрос №6. 11
Задание №18. Вопрос №9. 12
Дополнительно Часть I. 13
Задание №7. Вопрос №1. 13
Задание №9. Вопрос №8. 13
Задание №11. Вопрос №6. 14
Задание №15. Вопрос №1. 15
Дополнительно Часть II. 15
Задание №7. Вопрос №1. 15
Задание №9. Вопрос №8. 16
Задание №11. Вопрос №6. 18
Задание №15. Вопрос №1. 18
Часть I.
Задание №2. Вопрос №9.
В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.
Решение:
машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте. | |
машин с водителями ежедневно уходят в рейс. | |
водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. | |
количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. | |
дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
Задание №3. Вопрос №1.
Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и найдите координаты точки равновесия, если ,
.
Решение:
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:
Т
Рисунок 1.
График функции спроса и предложения.
.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:
, тогда
, значит координаты т.M
.
Задание №12. Вопрос №9.
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:
Решение:
Задание №13. Вопрос №2.
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
Решение:
Ответ: | Приближенное значение заданного числа равно 1,975. |
Задание №18. Вопрос №9
Решение:
-
Найдем точки пересечения с осями координат:
-
Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
-
Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение:
, где:
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид:
, т.е.
- уравнение горизонтальной асимптоты.
-
Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. :
Рисунок 2.
Исследование на экстремум.
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.



На участке производная
> 0, значит, при
, заданная функция возрастает.
На участке производная
< 0, значит, при
, заданная функция убывает (рис 2.).
Следовательно - точка максимума заданной функции
.
-
Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. :
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
, значит
, тогда
, отсюда
Н
Рисунок 3.
Исследование на выпуклость.
а участке

значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при график заданной функции является вогнутым.
На участке производная
<0, значит, при
график заданной функции является выпуклым (рис. 3).
Следовательно, точки ,
- точки перегиба графика заданной функции
.
В
Рисунок 4.
ыполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).
Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Фирма производит товар двух видов в количествах и
. Задана функция полных издержек
. Цены этих товаров на рынке равны
и
. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.
Решение:
Пусть - функция прибыли, тогда
Найдем первые частные производные функции :
,
. Найдем стационарные точки графика функции
. Для этого решим систему:
Следовательно - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого
тогда ,
,
,
. Т.к.
> 0, то экстремум есть, а т.к.
< 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска
и
, достигается максимальная прибыль равная:
Задание №12. Вопрос №9.
Решение:
Задание №14. Вопрос №2.
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) .
Решение:
Ответ: | Данный несобственный интеграл – расходящийся. |
Задание №15. Вопрос №6.
Решение:
. Разделив обе части на
, получим
. Проинтегрируем полученное уравнение
. Представим
, как
, тогда
Задание №18. Вопрос №9.
Решение:
Найдем корни характеристического уравнения: , тогда
, следовательно
,
, тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений и
, возьмем
,
, тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
Представим правую часть уравнения, как и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:
. Имеем
,
, тогда т.к.
- многочлен второй степени, то общий вид правой части:
. Найдем частные решения:
Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем
, решив систему:
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: .
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Решение:
Задание №9. Вопрос №8.
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
Решение:
-
Т.к. точка
не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к.
и
, следовательно, уравнение
– уравнение вертикальной асимптоты.
-
Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид:
, где:
т
Рисунок 5.
.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты с осями
координат:
Задание №11. Вопрос №6.
Исходя из определения производной, докажите: .
Решение:
Т.к. по определению производная функции в точке
вычисляется по формуле
, тогда приращение
в точке
:
.
Задание №15. Вопрос №1.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя: .
Решение:
Дополнительно Часть II.
Задание №7. Вопрос №1.
Написать в точке уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением:
.
Решение:
Уравнение касательной плоскости к графику функции в точке
имеет вид:
. Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности:
. Подставив в полученное уравнение координаты точки
вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:
Задание №9. Вопрос №8.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области:
.
Решение:
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
, точка
не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями
и
. Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:
-
, тогда
,
, следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система имеет четыре решения:
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система также имеет четыре решения:
Рисунок 6.
График наибольших/наименьших значений функции при
.
Следовательно, заданная функция в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках
и
и наименьшего в точках
и
при этом графики функций
и
касаются окружности
в точках
,
и
,
соответственно (см. рис.6).
Задание №11. Вопрос №6.
Вычислить неопределенный интеграл: .
Решение:
Задание №15. Вопрос №1.
Решение:
. Разделив обе части на
, получим
. Проинтегрируем полученное уравнение:
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.