31054-1 (675610), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие D, состоящее в совместном выполнении события А и события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.

А к с и о м ы т е о р и и в е р о я т н о с т е й :

1. Вероятность любого события находится в пределах:

.

2. Если А и В несовместные события , то

3. Если имеется счетное множество несовместных событий А₁, А₂, ... А_n, ... при , то

Следствие: сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т.е. если

; при

то

.

Сумма вероятностей противоположных событий ровна единице:

Правило умножения вероятностей: вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого

.

Для независимых событий правило умножения принимает вид:

, или

Основываясь на теорию выведем некоторые формулы для решения поставленной задачи.

Схема состоит из нескольких n блоков (рис. 2.1), каждый из которых (независимо от других) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Безотказная работа всех без исключения блоков необходима для безотказной работы в целом. Найти вероятность безотказной работы всей схемы.

Рис. 2.1

Событие A={безотказная работа прибора} есть произведение n независимых событий А₁, А₂, ... А_n, где A_i={безотказная работа i -го блока}. По правилу умножения для независимых событий имеем

.

Схема состоит из 2 блоков (рис. 2.2), каждый из которых (независимо от друг от друга) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Найти вероятность безотказной работы всей системы.

Рис. 2.2

От события В={система будет работать} перейдем к противоположному: ={система не будет работать}. Для того чтобы система не работала, нужно, чтобы отказали оба блока. Событие есть произведение двух событий:

={блок 1 отказал}x{блок 2 отказал}.

По правилу умножения для независимых событий:

3 Практическая часть

Воспользовавшись выше изложенными формулами рассчитаем надежность основной схемы (рис. 1а), она составит :

, а также резервной схемы (рис. 1б) :

Рассмотрим первый способ подключения (смотри рис. 3.1), когда подключаем по N элементов до тех пор, пока

Рис. 3.1

Тогда формула вероятности для схемы на рис. 2 будет выглядеть так :

, где

,

,

,

,

.

Увеличивая N дополнительных элементов пошагово добиваемся значения :

Шаг первый, при N=1

< 0.95

Шаг второй, при N=2

< 0.95

Шаг третий, при N=3

< 0.95

Шаг четвертый, при N=4

< 0.95

Шаг пятый, при N=5

> 0.95

Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо пяти добавочных элементов.

Рассмотрим второй способ подключения к основной резервной схемы (рис. 3) и найдем число N подключений при котором достигается заданная вероятность .

Рис. 3.2

Формула по которой будет вычисляться вероятность схемы на рис. 3 выглядит так :

, где

, а - смотри выше.

Увеличивая N дополнительных резервных схем пошагово добиваемся значения :

При N=1 : < 0.95

При N=2 : < 0.95

При N=3 : < 0.95

При N=4 : < 0.95

При N=5 : < 0.95

При N=6 : > 0.95

Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо шесть резервных схем.

Этап II

1 Постановка задачи

- найти неизвестную константу функции f(x);

- выписать функцию распределения, построить их графики;

- найти математическое ожидание и дисперсию;

- найти вероятность попадания в интервал (1;4).

2 Теоретическая часть

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате измерения (опыта) со случайным исходом принимает то или иное значение.

Функция распределения случайной величины Х называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное х:

.

Основные свойства функции распределения:

1) F(x) - неубывающая функция своего аргумента, при .

2) .

3) .

Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке. Обозначим ее f(x) :

Выразим функцию распределения F(x) через плотность распределения f(x):

Основные свойства плотности распределения f(x):

1. Плотность распределения - неотрицательная функция .

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единицы:

.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений.

Перейдем от дискретной случайной величины Х к непрерывной с плотностью f(x).

Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины:

Для непосредственного вычисления дисперсии непрерывной случайной величины служит формула:

3 Практическая часть

Для нахождения неизвестной константы c применим выше описанное свойство:

, откуда

, или

Найдем функцию распределения основываясь на теоретической части:

- на интервале

- на интервале

- на интервале

Теперь построим график функций f(x)- плотности распределения (рис. 2.1 - кривая распределения) и F(x)- функции распределения (рис. 2.2)

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Следуя постановке задачи найдем математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X :

Производя еще одну замену приходим к первоначальной формуле из чего можно сделать вывод, что математическое ожидание с.в. Х равно :

Также находим дисперсию :

И последнее, вероятность попадания в интервал (1;4) находим как :

Этап III

1 Постановка задачи

Дана случайная выборка объема n=100 :

2 Теоретическая часть

Под случайной выборкой объема n понимают совокупность случайных величин , не зависимых между собой. Случайная выборка есть математическая модель проводимых в одинаковых условиях независимых измерений.

Упорядоченной статистической совокупностью будем называть случайную выборку величины в которой расположены в порядке возрастания .

Размах выборки есть величина r=X_n-X₁, где X_n - max , X₁ - min элементы выборки.

Характеристики

Список файлов реферата