31054-1 (675610), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Формулы дискретного преобразования Фурье

Обратное преобразование Фурье.

где n=1,2,... , k=1,2,...

Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор

при этом, .

Разложение четной функции в ряд

Данную выше функцию сделаем четной(см. теорию), и рассмотрим ее на промежутке от 0 до смотри рис.2

Рис.2

поэтому разложение по косинусу имеет вид:

Из разложения видим что при n=2 дробь теряет смысл поэтому отдельно рассмотрим разложения первого и второго коэффициента суммы:

На основе данного разложения запишем функцию в виде ряда:

и вообще

.

Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:

1-ая гармоника

2-ая гармоника

3-я гармоника

4-ая гармоника

5-ая гармоника

А теперь рассмотрим сумму этих гармоник F(x):

Комплексная форма ряда по косинусам

Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. гл.1)

,

но при не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+2 :

(т.к. см. разложение выше)

и случай когда n=-2:

( т.к. )

И вообще комплексная форма:

или

или

Разложение нечетной функции в ряд

Аналогичным образом поступаем с данной функцией F(x), продлевая ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до смотри рис.3

Рис.3

поэтому разложение по синусам имеет вид:

Из данного разложения видно, что при n=2 произведение неопределенно (можно не учесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая.

При n=1:

,

и при n=2:

Учитывая данные коэффициенты имеем разложения в виде

и вообще

Найдем первые пять гармоник для данного разложения:

1-ая гармоника

2-ая гармоника

3-ая гармоника

4-ая гармоника

5-ая гармоника

И просуммировав выше перечисленные гармоники получим график функции F(x)

Вывод:

На основании главы 2, разложение функции в тригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложение по синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима в тригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммы первых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстрее к заданному графику достигается при разложении по синусам.

Комплексная форма ряда по синусам

Основываясь на теорию (см. гл.1) для ряда получаем:

, (т.к. )

тогда комплексный ряд имеет вид:

ГЛАВА 3 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ

Проверка условий представимости

Данную ранее функцию (см. гл. 2) доопределим на всей прямой от до как равную нулю(рис.4).

Рис.4

а) f(x)-определенна на R;

б) f(x) возрастает на , f(x) убывает на - кусочнo-монотонна.

f(x) = const на и .

< .

Интеграл Фурье

В соответствии с теорией (см. гл. 1) найдем a(u) и b(u):

;

.

И в конечном варианте интеграл Фурье будет выглядеть так:

Интеграл Фурье в комплексной форме

Теперь представим интеграл Фурье в комплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:

,

,

а теперь получим интеграл в комплексной форме:

.

ГЛАВА 4 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМОМ ЛЕЖАНДРА

Основные сведения

Функцию можно разложить в ортонормированной системе пространства X=[-1,1] , причем полиномы получим, если проинтегрируем выражение:

Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5, ... :

. . . . . . . . . .

Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд:

,

где и разлагаемая функция должна быть представлена на отрезке от -1 до 1.

Преобразование функции

Наша первоначальная функция имеет вид (см. рис. 1):

т. к. она расположена на промежутке от 0 до необходимо произвести замену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.

Замена:

и тогда F(t) примет вид

или

Вычисление коэффициентов ряда

Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим:

Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные:

Рассмотрим процесс стремления суммы полинома прибавляя поочередно - слагаемое:

А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):

Рис. 5

т.к. очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.

Вывод:

На основе расчетов гл.2 и гл.4 можно заключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданной функции достигается при разложении функции в ряд.

ГЛАВА 5 ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Прямое преобразование

Для того, чтобы произвести прямое преобразование, необходимо задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично. Поэтому разбиваем отрезок от 0 до на N=8 частей, так чтобы приращение:

В нашем случае , и значения функции в k-ых точках будет:

для нашего случая (т.к. a=0).

Составим табличную функцию:

k	0	1	2	3	4	5	6	7
	0	0.785	1.571	2.356	3.142	3.927	4.712	5.498
	0	0.707	1	0.707	0	0	0	0

Табл. 1

Прямым дискретным преобразованием Фурье вектора называется . Поэтому найдем :

, n=0,1,...,N-1

Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к. очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицы равны нулю).

Составим таблицу по прямому дискретному преобразованию:

зная, , где

, где

n	0	1	2	3	4	5	6	7
	0	1	2	3	4	5	6	7
	2,4	2	1	0	0.4	0	1	2
	0.318	0.25	0.106	0	0.021	0	0.009	0

Табл. 2

Амплитудный спектр

Обратное преобразование

Обратимся к теории гл.1. Обратное преобразование- есть функция :

В нашем случаи это:

А теперь найдем модули и составим таблицу по обратным дискретным преобразованиям:

k	0	1	2	3	4	5	6	7
	0	0.785	1.571	2.356	3.142	3.927	4.712	5.498
	0	0.707	1	0.707	0	0	0	0
	0	0.708	1	0.707	8e-4	5e-5	5e-4	3e-4

Табл. 3

Из приведенной таблицы видно, что приближенно равно .

Построим графики используя табл.3, где - это F(k), а - это f(k) рис. 6 :

Рис. 6

Вывод:

На основе проделанных расчетов можно заключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического ряда Фурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразований Фурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратного преобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведены правильно.

Этап I

1 Постановка задачи

Дана основная (рис. 1.1а) и резервная (рис. 1.1б) схемы. Рассмотреть два способа повышение надежности основной схемы до уровня 0.95

а) б)

Рис. 1.1

Первый способ

- каждому элементу основной схемы подключаются параллельно по N резервных элементов имеющих надежность в два раза меньше, чем надежность элемента к которому подключают.

Второй способ

- подключить к основной схеме параллельно по N резервной схеме.

2 Теоретическая часть

Ввиду важности операций сложения и умножения над событиями дадим их определение:

Характеристики

Список файлов реферата