31054-1 (675610), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Группированным статистическим рядом называется интервалы с соответствующими им частотами на которые разбивается упорядоченная выборка, причем ширина интервала находится как :

тогда частота попадания в отрезок находим по формуле :

, где V_i - число величин попавших в отрезок , причем . Поделив каждую частоту на получим высоту для построения гистограммы.

Построив гистограмму мы получили аналог кривой распределения по которой можем выдвинуть гипотезу о законе распределения. Выровнять статистическое распределение с помощью закона о котором выдвинули гипотезу, для этого нужно статист. среднее m_x^* и статистическую дисперсию D_x^* .

Которые находим как

Естественной оценкой для мат. ожидания является среднее арифметическое значение :

.

Посмотрим, является ли эта оценка не смещенной , для этого найдем ее мате-матическое ожидание :

,

то есть оценка для m является несмещенной.

Найдем дисперсию этой оценки :

Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной величины X .Если распределение нормально, то оценка для мат. ожидания m является и эффективной.

Перейдем к оценке для дисперсии D. На первый взгляд наиболее естественной представляется статистическая дисперсия D^*, то есть среднее арифметическое квадратов отклонений значений X_i от среднего :

.

Проверим состоятельность этой оценки, выразив ее через среднее арифметическое квадратов наблюдений:

.

, где правая часть есть среднее арифметическое значений случайной величины X² сходится по вероятности к ее мат. ожиданию: . Вторая часть сходится по вероятности к ; вся величина сходится по вероятности к . Значит, оценка состоятельна.

Проверим ее на несмещенность, подставив в вместо его выражение и произведем действия:

.

Так как D^* не зависит от выбора начала координат то отцентрируем все случайные величины . Тогда

.

Найдем мат. ожидание величины D^*:

.

Но , , и получаем:

.

Отсюда видно, что величина D^* не является несмещенной оценкой для дисперсии D; ее мат. ожидание не равно D, а несколько меньше. Пользуясь оценкой D^* вместо D, будет проходить систематическая ошибка в меньшую сторону, чтобы ее ликвидировать введем поправку тогда мы получим несмещенную оценку для дисперсии:

При больших n поправочный коэффициент становится близким к единицы, и его применение теряет смысл. Поэтому в качестве приближенных значени (оценок) этих характеристик нужно взять:

,

.

3 Практическая часть

Упорядоченная выборка где n=100 количество замеров :

Размах выборки r=X_n-X₁=124.6-70.1= 54.5

На основе выше изложенной теории для исследования статистики составляем табл. 3.1.

Табл. 3.1

По построенной гистограмме (рис. 3.1) можно предположить, что данное распределение подчиняется нормальному закону. Для подтверждения выдвинутой гипотезы проведем оценку неизвестных параметров, для мат. ожидания

,

для оценки дисперсии

.

Полагая в выражении нормальной плотности

, где

и пользуясь, либо приложением 4 в учебнике Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.” Прикладные задачи теории вероятностей.” - М.: Радио и связь, 1983, либо как в нашем случае воспользоваться системой MathCad , получим значения на границах разрядов табл. 3.2 :

Табл. 3.2

и построим выравнивающую ее нормальную кривую рис. 3.1

Рассчитаем вероятность (табл. 3.3) попадания с. в. Х в k-й интервал по формуле

Табл. 3.3

Для проверки правдоподобия гипотезы воспользуемся критерием согласия для этого возьмем данные из табл. 3.1 и 3.3 и подставим в формулу :

Рис. 3.1

Определяем число степеней свободы (10-1-l)=7, где l - число независимых условий (количество параметров подлежащих оценки в нашем случаи их l=2, это m_x, D_x - для нормального распределения). По приложению 3 в учебнике Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. ”Теория вероятностей и ее инженерные приложения.” - М.: Наука, 1988 находим при r=7, p=0.95 =2.17 для уровня значимости и видим, что , но даже меньше.

Это свидетельствует о том, что выдвинутая нами гипотеза о нормальности распределения не противоречит опытным данным.

Характеристики

Список файлов реферата