enter_tnm (674761), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Свойства max-min композиции

Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.

R₃(R₂R₁) = (R₃R₂ )R₁,

дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

R₃(R₂ R₁) = (R₃R₂) (R₃R₁),

R₃(R₂ R₁)(R₃ R₂)(R₃ R₁).

Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство: если R₁R₂ то, RR₁ RR₂.

(max-) - композиция

В выражении _R1R2(x, z) = [_R1(x, y)_R2(y, z)] для (max-min)-композиции отношений R₁ и R₂ операцию  можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для : ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда:

_R1R2(x, z) = [_R1(x, y)_R1(y, z)]

В частности, операция  может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max - prod)-композиции.

Обычное подмножество  - уровня нечеткого отношения

Обычным подмножеством  - уровня нечеткого отношения R называется четкое (обычное) отношение R такое, что

_R1(x,y) =

Очевидно, что из ₁ ₂ следует R_1  R_2.

Теорема декомпозиции

Любое нечеткое отношение R представимо в форме:

R = R, 0<1,

где R_ означает, что все элементы R_ умножаются на .

Условные нечеткие подмножества.

Пусть X и Y - универсальные множества, взаимосвязь которых задана нечетким отношением R: (XY)[0,1], т.е. для каждой пары (x,y)XY задано значение функции принадлежности _R(x,y)[0,1].

Пусть А - некоторое нечеткое множество, заданное на Х, т.е. определена функция принадлежности _A(x) для всех х из Х. Тогда нечеткое множество А и нечеткое отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией принадлежности

_B(y) = min[_A(x),  _R(x,y)] = [ _A(x) _R(x,y)].

Обозначение: B = AR.

Пример:

Пусть X = {x₁, x₂, x₃}, Y = {y₁, y₂, y₃, y₄} и заданы нечеткое отношение

XRY =		y1	y2	y3	y4
	x1	0,8	1	0	0,3
	x2	0,8	0,3	0,8	0,2
	x3	0,2	0,3	0	0,4

и нечеткое множество A = {0,3/x₁,0,7/x₂,1/x₃}.

Проведем операцию  для А и столбца y₁ :

После выполнения операции V на элементах полученного столбца имеем:

_B(y₁) = 0,3V0,7V0,2 = 0,7.

Проделав аналогичные вычисления для y₂, y₃, y₄ имеем:

_B(y₂) = 0,3

_B(y₃) = 0,7

_B(y₄) = 0,4.

И окончательно:

Замечание. При заданном R, если А индуцирует В, то ближайшее четкое подмножество А индуцирует В.

Нечеткие подмножества последовательно обуславливающие друг друга

Если

А₁ индуцирует А₂ посредством R₁,

А₂ индуцирует А₃ посредством R₂,

.............................................

А_n-1 индуцирует А_n посредством R_n-1,

то

А₁ индуцирует А_n посредством R_n-1R_n-2 ...R₁,

где R_n-1R_n-2 ...R₁ - определенная выше композиция нечетких отношений R₁, R₂, ..., R_n.

Пример:

Вернемся к примеру (max-min)-композиции.

R1	·	R2	=	R1R2
y1 y2 y3 x1 0,1 0,7 0,4 x2 1 0,5 0		z1 z2 z3 z4 y1 0,9 0 1 0,2 y2 0,3 0,6 0 0,9 y3 0,1 1 0 0,5		z1 z2 z3 z4 x1 0,3 0,6 0,1 0,7 x2 0,9 0,5 1 0,5

Пусть А={0,3/x₁, 0,7/x₂ }, тогда

А1		R1		А2
0,3 0,7	·	0,1 0,7 0,4 1 0,5 0	=	0,7 0,5 0,3

А2		R2		А3
0,7 0,5 0,3	·	0,9 0 1 0,2 0,3 0,6 0 0,9 0,1 1 0 0,5	=	0,7 0,5 0,7 0,5

А1		R1R2		А3
0,3 0,7	·	0,3 0,6 0,1 0,7 0,9 0,5 1 0,5	=	0,7 0,5 0,7 0,5

Немного о бинарных отношениях вида XRX

Нечеткие отношения вида XRX задаются функцией принадлежности  _R(x,y), но с условием, что x и y - элементы одного и того же универсального множества. В зависимости от своих свойств (основные - симметричность, рефлексивность, транзитивность) конкретные нечеткие отношения задают отношения сходства и различия, порядка или слабого порядка между элементами Х. Они имеют обширную сферу приложений в задачах автоматической классификации и принятия решений (сравнение альтернатив).

3. НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой <, X, A>, где

 - наименование переменной,

X - универсальное множество (область определения ),

A - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е.  _A(x)) на значения нечеткой переменной .

Лингвистической переменной называется набор < ,T,X,G,M>, где

 - наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество T G(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов

символ  используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и его названия, например терм "молодой", являющийся значением лингвистической переменной  = "возраст", одновременно есть и нечеткое множество М ("молодой").

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример: Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий "малая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной <, T, X, G, M>, где

 - толщина изделия;

T - {"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"};

X - [10, 80];

G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например: "малая или средняя толщина", "очень малая толщина" и др.;

М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А₁="малая толщина", А₂ = "средняя толщина", А₃="большая толщина", а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка" и др. операции над нечеткими множествами вида: А  В, А В, , CON А = А² , DIL А = А^0,5 и др.

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина" (Т={"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"}) возможны значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", т.е. в виде нечетких чисел.

Продолжение примера:

Функции принадлежности нечетких множеств:

"малая толщина" = А₁ , "средняя толщина"= А₂, " большая толщина"= А₃ .

Функция принадлежности:

нечеткое множество "малая или средняя толщина" = А₁А₁.

Нечеткие числа

Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности _A(x)[0,1], где x - действительное число, т.е. xR.

Нечеткое число А нормально, если _A(x)=1, выпуклое, если для любых xyz выполняется

_A(x)_A(y)_A(z).

Множество  - уровня нечеткого числа А определяется как

А = {x/ _A(x)}.

Подмножество S_AR называется носителем нечеткого числа А, если

S = {x/_A(x)>0}.

Нечеткое число А унимодально, если условие _A(x) = 1 справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

_A(0) = (_A(x)).

Нечеткое число А положительно, если xS_A, x>0

и отрицательно, если xS_A, x<0.

Операции над нечеткими числами

Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.

Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соответствующая операции над обычными числами. Тогда

С = А B _C(z)= (_A(x)_B(y))).

Отсюда:

С = _C(z)= (_A(x)_B(y))),

С =  _C(z)= (_A(x)_B(y))),

С =  _C(z)= (_A(x) _B(y))),

С =  _C(z)= (_A(x)_B(y))),

С =  _C(z)= (_A(x)_B(y))),

С =  _C(z)= (_A(x)_B(y))).

Нечеткие числа (L-R)-типа

Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного L(x) и R(x), удовлетворяющих свойствам:

а) L(-x)=L(x), R(-x)=R(x);

б) L(0)=R(0).

Очевидно, что к классу (L-R) функций относятся функции, графики которых имеют следующий вид:

Примерами аналитического задания (L-R) функций могут быть

L(x) = , p0;

R(x)= , p 0 и т.д.

Пусть L(y) и R(y) - функции (L-R)-типа (конкретные). Унимодальное нечеткое число А с модой а (т.е. _A(a)=1) c помощью L(y) и R(y) задается следующим образом:

_A(x) =

где а - мода; >0, >0 - левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(y) и R(y) нечеткое число (унимодальное) задается тройкой А = (а, , ).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров А=(а₁, a₂, , ), где а₁ и a₂ - границы толерантности, т.е. в промежутке [а₁,a₂] значение функции принадлежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены ниже.

Мы не будем здесь рассматривать операции над (L-R) числами; отметим, что в конкретных ситуациях функции L(y), R(y), а также параметры ,  нечетких чисел (а, , ) и (а₁, a₂, ,  ) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизительно равен нечеткому числу с теми же L(y) и R(y), а параметры  и  результата не выходили за рамки ограничений на эти параметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.

Замечание. Решение задач математического моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических переменных:

Терм ЛП	(L-R)-представление	Графическое представление
Средний	А = (а, , )LR  = >0	a b
Малый	А = (а, , )LR  = 	 =  
Большой	А = (а, , )LR =	  = 
Приблизительно в диапазоне	А = (а1, а2, , )LR  = >0	  a1 a2
Определенный	А = (а, 0, 0)LR  =  = 0	 = 0  = 0
Разнообразный зона полной неопределенности	А = (а, , )LR  =  = 	 =  = 

4. НЕЧЕТКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ И НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

Нечеткими высказываниями будем называть высказывания следующего вида:

Высказывание < есть '>, где  - наименование лингвистической переменной, ' - ее значение, которому соответствует нечеткое множество на универсальном множестве Х.

Например высказывание <давление большое> предполагает, что лингвистической переменной "давление" придается значение "большое", для которого на универсальном множестве Х переменной "давление" определено соответствующее данному значению "большое" нечеткое множество.

Высказывание < есть m'>, где m - модификатор, которому соответствуют слова "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", "МНОГО БОЛЬШЕ" и др.

Например: <давление очень большое>, <скорость много больше средней> и др.

Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1. и 2. и союзов "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ.., ТО...", "ЕСЛИ.., ТО.., ИНАЧЕ".

Высказывания на множестве значений фиксированной лингвистической переменной

То, что значения фиксированной лингвистической переменной соответствуют нечетким множествам одного и того же универсального множества Х, позволяет отождествлять модификаторы "очень" или "не" с операциями "CON" и "дополнение", а союзы "И", "ИЛИ" с операциями "пересечение" и "объединение" над нечеткими множествами .

Для иллюстрации понятия лингвистической переменной мы в качестве примера рассматривали лингвистическую переменную "толщина изделия" с базовым терм-множеством Т = {"малая", "средняя", "большая"}. При этом на Х = [10, 80] мы определили нечеткие множества А₁, А₂, А₃, соответствующие базовым значениям: "малая", "средняя", "большая".

В этом случае высказыванию <толщина изделия очень малая> соответствует нечеткое множество CONA = A²; высказыванию <толщина изделия не большая или средняя> - нечеткое множество А₂ высказыванию <толщина изделия не малая и не большая> А₁ .

Высказывания <толщина изделия много больше средней> или <толщина изделия близка к средней> требуют использования нечетких отношений R ("много больше,чем") и R ("близко к"), заданных на ХХ. Тогда этим высказываниям будут соответствовать нечеткие множества AR₁ и AR₂, индуцированные нечеткими отношениями R₁ и R₂.

Случай двух и более лингвистических переменных

Пусть <, T_, X, G_, M_> и <, T_, Y, G_, M_> - лингвистические переменные, и высказываниям < есть '>, < есть  '> соответствуют нечеткие множества А и В заданные на X и Y.

Составные нечеткие высказывания вида 3, связывающие значения лингвистических переменных  и , можно привести к высказываниям вида 1, введя лингвистическую переменную (, ), значениям которой будут соответствовать нечеткие множества на XY.

Напомним, что нечеткие множества А и В, заданные на X и Y, порождают на XY нечеткие множества и , называемые цилиндрическими продолжениями, с функциями принадлежности:

(x,y) = _A(x) при любом y,

(x,y) = _B(y) при любом x,

где (x,y) XY.

Нечеткие множества, соответствующие составным высказываниям

< есть ' и  есть '> и

< есть ' или  есть '>,

определяются по следующим правилам (преобразования к виду 1), справедливым при условии невзаимодействия переменных, т.е. множества X и Y таковы, что их элементы не связаны какой-либо функциональной зависимостью.

Правила преобразований нечетких высказываний

Правило преобразования конъюнктивной формы

Справедливо выражение:

< есть ' и  есть '><(, ) есть ('')>.

Здесь  - знак подстановки, '' - значение лингвистической переменной (, ), соответствующее исходному высказыванию < есть ' и  есть '>, которому на XY ставится в соответствие нечеткое множество  c функцией принадлежности

(x,y) = (x,y) (x,y) = _A(x)_B(y).

Правило преобразования дизъюнктивной формы

Справедливо выражение:

< есть ' или  есть '><(,) есть ('')>, где значению ('') лингвистической переменной (, ) соответствует нечеткое множество  , с функцией принадлежности

(x,y) = (x,y)V (x,y) = _A(x)V_B(y).

Замечание 1. Правила справедливы также для переменных вида <, T₁, X, G₁,M₁> и <, T₂, Y, G₂, M₂>, когда в форме значений лингвистических переменных формализованы невзаимодействующие характеристики одного и того же объекта. Например, для построения нечеткого множества высказывания <ночь теплая и очень темная> нужно использовать правило конъюнктивной формы, а для высказывания <ночь теплая или очень темная> - правило дизъюнктивной формы.

Замечание 2. Если задана совокупность лингвистических переменных {<_i, T_i, X_i, G_i, M_i>}, i = 1, 2, .., n, то любое составное высказывание, полученное из высказываний < есть '> с использованием модификаторов "очень", "не", "более или менее" и др. и связок "и", "или", можно привести к виду < есть '>, где  - составная лингвистическая переменная (₁,₂,..,_n ), ' - ее значение, определяемое (как и функция принадлежности) в соответствии с вышеуказанными правилами.

Правило преобразования высказываний импликативной формы

Справедливо выражение:

<если  есть ', то  есть '> <(, ) есть ('')>, где значению ('') лингвистической переменной (, ) соответствует нечеткое отношение XRY на XY.

Функция принадлежности _R(x,y) зависит от выбранного способа задания нечеткой импликации.

Способы определения нечеткой импликации

Будем считать, что заданы универсальные множества X и Y, содержащие конечное число элементов. Под способом определения нечеткой импликации "если А, то В" (где А и В нечеткие множества на X и Y соответственно) будем понимать способ задания нечеткого отношения R на XY, соответствующего данному высказыванию.

С целью обоснованного выбора определения нечеткой импликации, японскими математиками Мидзумото, Танака и Фуками было проведено исследование всех известных по литературе определений (плюс предложенные авторами). Рассмотренные определения задавали следующие нечеткие отношения для высказывания "если А, то В":

R_m = (AB)( Y)

_Rm(x,y) = (_A(x) _B(y)) V (1 - _A(x));

R_a = ( Y)(XB)

_Ra(x,y) = 1  (1-_A(x) + _B(y));

R_c = AB

_Rc(x,y) = _A(x) _B(y);

R_s = AY XB

_Rs(x,y) = ;

R_g = AY XB

_Rg(x,y) = ;

R_sg = ( AY XB )  ( )

;

R_gg = ( AY XB)  ( )

;

R_gs = ( AY XB)  ( )

;

R_ss = ( AY XB)  ( )

;

R_b = ( Y)(XB)

_Rb(x,y) = (1-_A(x))  _B(y);

R = AY XB

;

R = AY XB

R_* = AY XB

_R*(x,y) = 1 - _A(x)+ _A(x) _B(y);

R_# = AY XB

_R#(x,y)=( _A(x) _B(y)) ((1 - _A(x)) (1 - _B(y)) (_B(y) (1 - _A (x));

R = AY XB

Правилом вывода являлось композиционное правило вывода с использованием (max-min)-композиции.

В качестве значений на входе системы рассматривались:

A' = A;

A' = "очень А"= А² , _A^0,5(x) = _A(x)² ;

A' = "более или менее А" = А^0,5 _A^0,5(x)= _A(x)^0,5;

A' = _A(x)^0,5, (x) = 1 - _A (x).

Приведем таблицу итогов исследования. В ней символ "0" означает выполнение соответствующей схемы вход-выход, символ "x" - невыполнение. Следствие "неизвестно" (Н) соответствует утверждению: "если x=A, то нельзя получить никакой информации об y".

В данной таблице первая графа -"Посылка", вторая -"Следствие".

1

2

Rm

Ra

Rc

Rs

Rg

Rsg

Rgg

Rgs

Rss

Rb

R

R

R*

R#

R

A

B

x

x

0

0

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

A2

B2

x

x

x

0

x

0

x

x

0

x

x

x

x

x

x

A2

B

x

x

0

x

0

x

0

0

x

x

x

x

x

x

x

A0,5

B0,5

x

x

x

0

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

A0,5

B

x

x

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Н

0

0

x

0

0

x

x

x

x

0

0

0

0

x

x

A

B

x

x

x

x

x

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

Кроме ответа о выполнении соответствующей схемы (0 или х),авторами исследованы явные выражения для функций принадлежности следствий по каждому из вариантов определения нечеткой импликации, на основе чего ими был сформулирован вывод:

- R_m и R_a не могут быть использованы;

- R_c может использоваться частично; - R_s , R_g , R_sg , R_gg , R_gs , R_ss рекомендованы к использованию;

- R_b , R, R, R_* , R_# , R не рекомендованы к использованию.

Логико-лингвистическое описание систем, нечеткие модели.

Логико-лингвистические методы описания систем основаны на том, что поведение исследуемой системы описывается на естественном (или близком к естественному) языке в терминах лингвистических переменных.

Входные и выходные параметры системы рассматриваются как лингвистические переменные, а качественное описание процесса задается совокупностью высказываний следующего вида:

L₁ : если <A₁ > то <B₁ >,

L₂ : если <A₂ > то <B₂ >,

....................

L_k : если <A_k > то <B_k >,

где <A_i>, i=1,2,..,k - составные нечеткие высказывания, определенные на значениях входных лингвистических переменных, а <B_i>, i = 1,2,..,k - высказывания, определенные на значениях выходных лингвистических переменных.

С помощью правил преобразования дизъюнктивной и конъюнктивной формы описание системы можно привести к виду:

L₁ : если 1 > то 1 >,

L₂ : если 2 > то 2 >,

....................

L_k : если k > то k >,

где A₁,A₂,..,A_k - нечеткие множества, заданные на декартовом произведении X универсальных множеств входных лингвистических переменных, а B₁, B₂, .., B_k - нечеткие множества, заданные на декартовом произведении Y универсальных множеств выходных лингвистических переменных.

Совокупность импликаций {L₁, L₂, ..., L_k} отражает функциональную взаимосвязь входных и выходных переменных и является основой построения нечеткого отношения XRY, заданного на произведении XY универсальных множеств входных и выходных переменных. Если на множестве X задано нечеткое множество A, то композиционное правило вывода B = AR определяет на Y нечеткое множество B с функцией принадлежности

_B(y) = (_A(x) _R(x,y))

Таким образом, композиционное правило вывода в этом случае задает закон функционирования нечеткой модели системы.

Рассмотрим широко цитируемый пример решения задачи нечеткого логического управления: построение модели управления паровым котлом.

Модель управления паровым котлом

Прототипом модели послужил паровой двигатель (лабораторный) с двумя входами (подача тепла, открытие дросселя) и двумя выходами (давление в котле, скорость двигателя).

Цель управления: поддержание заданного давления в котле (зависит от подачи тепла) и заданной скорости двигателя (зависит от открытия дросселя). В соответствии с этим, схема системы управления двигателем выглядит следующим образом:

Рассмотрим одну часть задачи - управление давлением.

Входные лингвистические переменные:

РЕ - отклонение давления (разность между текущим и заданным значениями);

СРЕ - скорость изменения отклонения давления.

Выходная лингвистическая переменная:

НС - изменение количества тепла.

Значения лингвистических переменных:

NB - отрицательное большое;

NM- отрицательное среднее;

NS- отрицательное малое;

NO- отрицательное близкое к нулю;

ZO- близкое к нулю;

PO - положительное близкое к нулю;

PS - положительное малое;

PM - положительное среднее;

PB - положительное большое.

Управляющие правила (15 правил), связывающие лингвистические значения входных и выходных переменных, имеют вид: "Если отклонение давления = А_i и, если скорость отклонения давления = В_i , то изменение количества подаваемого тепла равно С_i", где А_i, В_i ,С_i - перечисленные выше лингвистические значения.

Полный набор правил задавался таблицей:

Лингвистические значения отклонений задавались нечеткими подмножествами на шкалах X, Y, Z следующей таблицей:

То есть области значений входных переменных PE, CPE и выходной переменной НС представлялись 13 точками [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], равномерно расположенными между максимальными отрицательными и положительными значениями этих переменных.

Приведем управляющие правила к виду: "если (А_i В_i ), то С_i", где (А_iВ_i) декартово произведение нечетких множеств А и В , заданных на шкалах X и Y с функцией принадлежности

(x,y)= _Ai(x)_Bi(y),

определенной на XY.

Для каждого из правил вида "если (А_iВ_i ), то С_i", где (А_iВ_i)- входное нечеткое множество, а С_i - соответствующее нечеткое значение выхода, определялось нечеткое отношение

R_i=(А_iВ_i)С_i, i = 1, 2, ..., 15

с функцией принадлежности

_Ri((x,y),z)= (_Ai(x)_Bi(y))_Ci(z).

Совокупности всех правил соответствовало нечеткое отношение

R = R_i

с функцией принадлежности

_R(x,y,z) = _Ri((x,y),z).

При заданных значениях А, В входных переменных регулирующее значение С входной переменной определялось на основе композиционного правила вывода:

С = (АВ) R,

где - (max-min)-композиция.

Функция принадлежности С имеет вид:

_C(z) = (_A(x)  _B (y))  _R(x,y,z).

Числовое значение z₀ (изменение подаваемого тепла) определяется при этом либо из условия _C(z₀) = _C (z),

либо по формуле

z₀ = ,

где N - количество точек в Z (в данном случае N=13).

Задача управления скоростью двигателя решалась аналогично. Результаты практического использования показали, что разработанная нечеткая модель управления сравнима с классическими моделями оптимального управления.

Появление первых работ по построению моделей нечеткого логического управления для конкретных систем определило ряд общих вопросов, касающихся логических основ моделей, в их числе:

о полноте и непротиворечивости совокупности правил управления;

об адекватности представления правил управления вида "если А, то В" нечеткими отношениями, определяемыми разными способами;

о правильности способа вывода, основанного на (max-min)-композиции и возможности использования других видов операции композиции.

Полнота и непротиворечивость правил управления

Наиболее часто требование полноты для системы "если А_i, то В_i", i=1,2,..,n, сводится к

X = Supp A_i,

где Supp A_i - носитель нечеткого множества A_i. Содержательно это означает, что для каждого текущего состояния х процесса существует хотя бы одно управляющее правило, посылка которого имеет ненулевую степень принадлежности для х.

Непротиворечивость системы управляющих правил чаще всего трактуется как отсутствие правил, имеющих сходные посылки и различные или взаимоисключающие следствия.

Степень непротиворечивости i-го и k-го правил можно задавать величиной

C_ik = | (_Ai(x) _Ak(x)) - (_Bi(y) _Bk (y))|.

Суммируя по k, получаем оценку непротиворечивости i-го правила в системе:

C_i = C_ik, 1<i<N, ki.

Если эта оценка превосходит некоторое пороговое значение, то правило из системы удаляется. В частности, для рассматриваемой выше модели управляющей системы парового котла, оценки степеней непротиворечивости равны:

Таким образом, при пороговом значении g=3 в модели остается всего три правила 1, 6 и 11.

Литература

Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.:Мир, 1976.

Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.

Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /Под ред. Д.А. Поспелова. М., 1986.

Прикладные нечеткие системы /Под ред. Тэтано Т., Асаи К., Сугэно М: Мир, 1993.

Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред. Р.Ягера М.: Радио и связь, 1986.

Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981.

Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей. Примеры использования. Рига:/ "Зинатне", 1990.

Малышев Н.Г., Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР. М.: Энергоатомиздат, 1991.

Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990.

Р.Беллман, Л.Заде. Вопросы принятия решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. / М.: Мир,1976.

Характеристики

Список файлов реферата