KEPLER (668629), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Рис. 6

Первая часть сочинения, озаглавленная «Стереометрия правильных кривых тел», в свою очередь состоит из двух частей, в первой из которых — «Архимедовой стереомет­рии» Кеплер приводит 16 теорем, известных еще Архиме­ду, но различие в подходе Кеплера и подходе Архимеда к решению соответственных задач становится заметным с самого начала. Остановимся на примере с площадью круга. Произве­дение Архимеда «Измерение круга» начинается сле­дующим предложением: «Всякий круг равен прямоуголь­ному треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр — осно­ванию треугольника». Это предложение Архимед доказы­вает косвенно (методом исчерпывания), показывая с по­мощью вписанных и описанных правильных многоуголь­ников, что площадь круга будет не больше и не меньше площади указанного треугольника.

Кеплер рассуждает так: «Архимед пользуется косвен­ным доказательством, приводящим к невозможности, о чем многие и многие писали. Мне же кажется, что смысл этого [доказательства] следующий: окружность круга содержит столько же частей, сколько точек, именно, бес­конечное число. Каждую из них рассмотрим как основа­ние некоторого равнобедренного треугольника со сторо­ной АВ, и таким образом в площади круга окажется бес­конечное множество треугольников, соединенных верши­нами в центре А. Пусть, далее, окружность круга вытя­нута в прямую, и пусть ей равна ВС, а АВ к ней перпен­дикулярна (см. Рис. 6). Тогда основания всех этих бес­численных треугольников, или секторов, будут представ­ляться расположенными друг за другом по прямой ВС; пусть одно из таких оснований будет BF, и какое-нибудь равное ему — DЕ. Соединим точки F, Е, D с А. Таких треугольников ABF, АDЕ над прямой ВС получится столько же, сколько секторов в площади круга, и их осно­вания BF, DЕ и общая высота АВ будут такие же, как у секторов; следовательно, все эти треугольники ABF, АDЕ и т. д. будут равновелики (между собой) и каждый из них будет равновелик соответствующему сектору круга. А значит, и все вместе эти треугольники, имеющие основа­ния на линии ВС, т. е. треугольник ABC, всеми ими со­ставленный, будет равновелик сумме всех секторов круга, т. е. составленной ими площади круга. Это самое и имеет в виду архимедово приведение к нелепости». Архимед действительно мог иметь это в виду. Но учи­тывая, что между элементарным круговым сектором и элементарным треугольником имеется то различие, что дуга в основании сектора и радиус круга будут при ко­нечном n всегда больше соответственных линий элемен­тарного треугольника, для точности вывода следует пока­зать, что разность между площадями круга и треугольни­ка при увеличении числа делений может стать действи­тельно меньше любого данного сколь угодно малого числа (т. е. что эта разность представляет собой бесконечно ма­лое). Архимед своими рассуждениями это показывает, Кеплер — нет. У Кеплера хорды окружности переходят в точки, каждая из которых продолжает рассматриваться как основание некоторого равнобедренного треугольника. Получается, что площадь круга рассматривается Кепле­ром как какая-то сумма всех радиусов, а треугольника — как совокупность точек всех прямых, выходящих из одной из его вершин.

Излагая задачи из сочинений Архимеда, Кеплер не пользуется архимедовыми методами доказательств, а применяет суммирование бесконечно боль­шого числа «актуализированных» бесконечно малых. Кеплер говорит, что шар «как бы» содержит бесконечно много конусов, вершины которых лежат в центре, а основания — на по­верхности шара, и находит таким образом его объем. Вообще из его неоднократного «как бы» («veluti») вид­но, что он не стремится дать точное доказательство, а апеллирует только к наглядности. В некоторых местах Кеплер отказывается от доказательств Архимеда, назы­вая их чрезвычайно глубокими, но трудными для понима­ния, и вместо них приводит рассуждения, которые уста­навливают «вероятность» того или другого предложения из соображений индуктивного или интерполяционного характера.

Так Кеплеру удалось преодолеть недостатки метода исчерпывания древних. Ему, разумеется, не было извест­но содержание архимедового «Послания к Эратосфену», обнаруженного только в 1906 г. Из «Послания» становит­ся ясно, что и Архимед пользовался инфинитезимальньми соображениями, довольно близкими к кеплеровым.

Кеплер, как его современник Кавальери и другие бо­лее поздние математики XVII в. (например, Паскаль), часто употреблял выражение «Summa omnium» — «сумма всех» (сумма всех радиусов-векторов, сумма всех орди­нат), которое выполняло тогда роль нашего термина «интеграл». Кстати, как известно, знак интеграла (уд­линенная буква S) был введен Лейбницем в конце XVII в. именно для сокращенной записи выражения «Summa om­nium».

Во второй половине первой части своей работы — в «Дополнениях к Архимеду» — Кеплер показывает, что его способ оказывается очень удобным для решения мно­гих новых задач. Так, в теореме 18, например, он легко устанавливает, что объем тора равен объему ци­линдра, основанием которого служит меридиональное сечение тора, а высотой — длина окружности, описывае­мой центром образующего тор круга. Кеплер доказывает это так: меридиональными сечениями тор разбивается на бесконечно большое число кружочков, толщина которых у внешнего края тора больше, чем у внутреннего, но тол­щина кружочка в центральной части равна среднему арифметическому толщин у краев. Поэтому Кеплер при­нимает, что объем такого кружочка равен объему цилинд­ра, высота которого равна толщине центральной части кружка, а в основании лежит образующий тор круг. При этом тор и цилиндр, о которых говорится в условии теоре­мы, разбиваются на равное число равновеликих частей, этим и доказывается теорема. В следующем, более сложном примере определяется объем «яблока». Так называет Кеплер тело, образуемое сегментом, большим, чем полукруг, при его вращении вокруг хорды. Остроумным перераспределением деформированных без изменения объема долей «яблока», образованных по одному способу меридиональными сечениями данного тела вращения, проходящими через его ось, так называемую хорду сегмента, а по другому — тонкими концентрическими цилиндрическими слоями, имеющими осью хорду сегмента и развернутыми в прямоугольники, Кеплер получает тело, представляющее собой «цилиндрическое копыто» — цилиндрический сегмент, основанием которого является образующий «яблоко» сегмент, а высота равна длине окружности экватора данного тела вращения.

Рассмотрев в теоремах 18—22 вопросы о нахождении объемов тора, «яблока» и «лимона» («лимоном» названа тело, образуемое вращением сегмента, меньшего, чем полуокружность, вокруг хорды), Кеплер находит далее объемы и других тел, получаемых при вращении различным образом расположенных отрезков дуг конических сече­ний — эллипса, параболы и гиперболы. Всего сам Кеплер насчитывает 92 формы таких тел, многим из которых он приписывает меткие названия: «айва», «слива», или «олива», «земляника», «груша» и т. д.

Вторая часть его книги, названная «Специальная сте­реометрия австрийской бочки», начинается рассуждением о геометрической форме бочек. Он указывает, что в пер­вом приближении бочку можно рассматривать как ци­линдр, или как два усеченных конуса, сложенных больши­ми основаниями. Более точно форма бочек соответствует среднему слою либо лимона, образованного сегментом круга, либо сливы, образованной частью эллипса, либо параболического веретена, остающемуся после отсечения, равных частей с обеих сторон.

Далее Кеплер рассматривает зависимость между объ­емом бочек и длиной замеряемого отрезка и отношения большего диаметра (в среднем сечении) к меньшему. Но главный интерес для нас представляет то, что Кеплер занимает­ся здесь исследованием формы конусов, цилиндров, а так­же бочек, обладающих наибольшей вместимостью при наименьшей затрате на них материала, что приводит его уже к задачам другого важнейшего раздела исчисления бесконечно малых — дифференциального исчисления: к определению максимумов и изопериметрической задаче. Кеплер правильно отмечает основной признак максимума в том, что, как он пишет, разница между самим максиму­мом и непосредственно предшествующими или последую­щими значениями незаметна.

В третьей части книги («Употребление всей книги о бочках») Кеплер дает практические рекомендации по из­мерению объемов бочек, пытается найти способ для опре­деления с помощью мерного стержня «отношения пустой части к остатку жидкости при лежащей бочке», но в общем виде реше­ние этой задачи ему не удается. Хотя инфинитезимальные работы Кеплера фактически открыли новую эпоху, новый период в развитии матема­тики, они не были сначала правильно оценены многими его современниками. Некоторые математики резко высту­пили против его «нестрогих» методов определения объе­мов, против его метода суммирования бесконечно малых. Ученик Виеты шотландец А. Андерсон уже через год пос­ле появления «Стереометрии» издал специальное сочинение «В защиту Архимеда», где обвинял Кеплера в оскорблении памяти великого ученого. Они не понимали, что при всей нестрогости методов Кеплера, очевидной и для него самого, эти методы были весьма продуктивны и перспективны.

Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. Оформлением в трудах И. Ньютона и Г. В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления.

Список использованной литературы:

1. Белый, Ю.А. Иоганн Кеплер. Изд. «Наука». М. 1971

2. Веселовский, И.Н. Очерки по истории теоретической механики. Изд. «Высшая школа». М. 1974

3. Григорьян, А.Т. Механика от античности до наших дней. Изд. «Наука». М. 1974

4. Кудрявцев, П.С. История физики и техники. М. 1960

5. Моисеев, Н.Д. Очерки развития механики. Изд. Московского Университета. 1961

6. Спасский, Б.И. История физики. Изд. Московского Университета. 1956

20

Характеристики

Список файлов реферата