KEPLER (668629), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рис. 2 Правильные многогранники (из книги Кеплера «Космографическая тайна»)

Математический аппарат, применяемый в этом случае, достаточно элементарен, дело сводится к вы­числениям зависимостей между радиусами сфер, описан­ных вокруг соответственных правильных многогран­ников и вписанных в них. Пусть, например, радиус орбиты Земли, а значит и соответст­вующей сферы, равен 1. Эта сфера опи­сана вокруг икосаэдра, в который вписана сфера Венеры. Решая геометрическую задачу на опреде­ление радиуса сферы, вписанной в икосаэдр, и сравнивая полученную величину с радиусом описанной вокруг ико­саэдра сферы Кеплер получил соотношение 0,762 : 1. Относительные расстояния до Солнца для шести пла­нет Солнечной системы, полученные Коперником и Кепле­ром, и современные усредненные значения приводятся в таблице:

Видим, что данные Кеплера весьма значительно отличаются от вычисленных еще Коперником, и притом во всех случаях — в сторону ухудшения. Объясняя эти расхождения, Кеплер предположил, что каждая из планетных сфер, не будучи материальной, тем не менее имеет некоторую толщину.

Закончив рукопись, Кеплер озаглавил ее так: «Prodromos dissertationem cosmographicum continens Mysterium cosmographicum» — «Предвестник космографических исследований, содержащий космографическую тайну».

Главный поиск. «Новая астрономия»

Над «Новой астрономией» Кеплер работал с небольши­ми перерывами с 1600 по 1606 г. Значение этой книги состоит прежде всего в том, что в ней дан вывод двух из трех знаменитых законов движения планет, названных его именем. В современной формулировке эти законы обыч­но звучат так:

I. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых (общем для всех планет) находит­ся Солнце.

II. Площади, описываемые радиусами-векторами пла­нет, пропорциональны времени.

Третий закон был опубликован Кеплером позже, в 1619 г., в книге «Harmonices Mundi» («Гармония мира»). Кеплерово сочинение и по форме и по содержанию зна­чительно отличается от многих научных трактатов того времени. Если Коперник, Галилей и Ньютон знакомят нас только с конечными результатами своих научных дости­жений, то Кеплер совершенно сознательно описывает ход своей работы во всех деталях, включая все неудачи и успехи, ошибки и гениальные догадки, ловушки и их об­ходы. Почему он так поступает, он объясняет в преди­словии: «Для меня важно не просто сообщить читателю, что я должен сказать, но прежде всего ознакомить его с дово­дами, оговорками, счастливо преодоленными опасностями, которые привели меня к моим открытиям. Когда Христо­фор Колумб, Магеллан и португальцы, из которых первый открыл Америку, второй Китайский океан, а последние — морской путь вокруг Америки, повествуют, как они сби­вались с пути и блуждали в своих путешествиях, мы не только прощаем им это, но, более того, мы не желаем пропуска этих рассказов, так как тогда при чтении было бы потеряно впечатление о всем значительном в их пред­приятиях. Пусть же поэтому и мне не поставят в вину, когда я, вызывая у читателя интерес, пойду подобным путем в своем изложении. Конечно, при чтении, например похождений аргонавтов, мы сами не принимаем участия в их злоключениях, а трудности и тернии на моем мыслен­ном пути могут задеть и самого читателя, но таков уж жребий всех математических сочинений».

Кеплер начал свое исследование составлением на ос­новании наблюдений Тихо Браге полного списка момен­тов, долгот и широт для всех противостояний планеты Марс с 1580 г. (Браге наблюдал противостояния Марса десять раз с 1580 по 1600 г., два раза — в 1602 и 1604 гг. их наблюдал Кеплер). Еще Коперник, следуя Птолемею, считал центр земной орбиты истинным центром орбит всех планет. Браге так­же определял противостояние планеты как положение, противоположное этой точке, т. е. так называемому «сред­нему Солнцу». Кеплер уже в «Космографической тайне» указывал, что Солнце само является естественным цент­ром планетной системы, и считал, что противостояние сле­дует брать по отношению к реальному, а не к среднему Солнцу. Это было первым существенным нововведением в методы исследования.

Кеплер впервые предпо­ложил, что движение планет происходит вследствие воз­действия на них некоей силы, исходящей от Солнца. Таким образом, у Кеплера Солнце становится не толь­ко источником света и тепла для всей планетной системы, но также и источником движущей планеты силы.

Второе нововведение Кеплера заключалось в следую­щем. Орбиты всех планет лежат не совсем в одной плос­кости — их плоскости образуют одна с другой небольшие углы (например, плоскости орбит Земли и Юпитера со­ставляют угол в 1°18,5'). Если не учесть этот факт, приходится встречаться с большими затруднениями при объяснении некоторых особенностей в наблюдаемых с Земли положе­ниях Марса. Коперник, например, считал, что плоскость орбиты Марса колеблется в пространстве, не интересуясь физической причиной такого странного явления. Предпо­ложив, что дело здесь в наличии некоторого постоянного угла между плоскостями планетных орбит, Кеплер без осо­бого труда, по данным наблюдений Браге, убеждается в правильности своей гипотезы и находит угол между пло­скостями орбит Земли и Марса равным 1°50'.

Третье нововведение Кеплера более радикально. От Платона и Птолемея до Коперника и Браге астрономы были уверены в том, что планеты совершают свои круго­вые движения с равномерной скоростью. Кеплер, сохра­няя на первых порах движение круговым, отбрасывает аксиому равномерного движения. И при этом он руковод­ствуется прежде всего физическими соображениями: если Солнце управляет движением, является его источником, то его сила должна действовать на планету более интен­сивно, когда она находится ближе к источнику, и менее интенсивно, когда планета от него удалится, следователь­но, планета будет двигаться с большей или меньшей ско­ростью в зависимости от ее расстояния до Солнца. Эта идея была не только отрицанием античной тра­диции, она отвергала и предположение Коперника, по которому не могло быть, « ... чтобы простое небесное тело неравномерно двигалось одной сферой ... ». Коперник был в свою очередь решительно не согла­сен с учением Птолемея о том, что планеты движутся равномерно не вокруг центров своих орбит, а вокруг во­ображаемой точки на некотором расстоянии от центра. Эта точка называлась punctum aequans или aequant (уравнивающей точкой, или эквантом). Коперник, отказав­шись от птолемеевых эквантов, ввел вместо них добавоч­ные эпициклы. Кеплер, отбрасывая догму равномерного движения, воз­вратился к понятию экванта, рассматривая его как важное вычислительное средство.

Этими нововведениями Кеплер несколько облегчил предстоящее решение своей задачи. Кеплер писал: «Ох, сколько я должен был пролить слез над трогательным старанием Апиана, кото­рый, следуя Птолемею, зря тратил свое драгоценное время и изобретательность на построение спиралей, петель, вин­товых линий, завитков и целого лабиринта инволюций, чтобы изобразить то, что существует только в воображе­нии и которое природа отказывается принять как свое подобие».

Рис. 3

Первая попытка решить задачу описывается Кеплером в XVI главе «Новой астрономии». Его задача состояла прежде всего в определении некоторых параметров ор­биты Марса, которую, напомним, Кеплер пока еще полагал круговой. Нужно было определить радиус орбиты (см. Рис. 3), направление по отношению к неподвижным звездам линии аспид, т.е. оси, соединяющей точку, в которой планета бывает ближе всего к Солнцу (перигелий), и противоположную ей точку (афелий), а также положение Солнца (S), центра орбиты (C) и экванта (Е), которые лежат на этой оси. Из журналов наблюдений Тихо Браге, которы­ми он теперь располагал, он выбрал запись о четырех наблюдавшихся противостояниях Марса — в 1587, 1591, 1593 и 1595 гг. В самом начале своих вычисле­ний Кеплер по рассеянности допускает несколько ошибок, которые должны были бы существенно повлиять на пра­вильность вычислений. Кеплер так и не заметил их до конца своей работы, но их обнаружил французский исто­рик астрономии Деламбр. Тем не менее исправленные Деламбром вычисления в результате дали почти те же значения — оказалось, что в самом конце вычислений Кеплер при делении снова допустил ошибки, перекрывшие первые! В результате вычислений Кеплер по­лучил полный эксцентриситет, равный 0,18564 долям ра­диуса, причем Солнце отстоит от центра на 0,11332, а эквант — на 0,07232 доли радиуса (современная теория показывает, что оба расстояния должны быть приблизи­тельно равны 0,5625 и 0,4375 полного эксцентриситета; значения, полученные Кеплером — 0,6104 и 0,3896 соответственно). Дол­гота афелия для 1587 г. составляла 148°48’55’’. Полу­ченные им значения при подстановке в данные десяти наблюдений Браге расходились менее чем на 2’, что было вполне допустимым.

Однако уже следующая глава начинается удивленным возгласом: «Как же это могло быть? Гипотеза, которая хорошо согласуется с наблюдениями противостояний, все же ошибочна». И в двух последующих главах Кеплер обстоятельно объясняет, как он установил, что гипотеза ложна и почему ее нужно отвергнуть. Пытаясь применить свою модель к вычислению про­межуточных положений Марса по данным наблюдений Браге, Кеплер обнаруживает расхождение теории с прак­тикой, достигающей в численном выражении 8’.

Следующий этап исследований Кеплер описывает в книге третьей. Многократные вычисления говорят Кеплеру о том, что невозможно построить круговую орбиту планеты, полно­стью соответствующую данным наблюдений. Окружность полностью определяется заданием трех точек на ней, любая другая кривая линия требует знания положения большего количества точек на ней. Для опре­деления формы орбиты Марса, копь скоро она не была окружностью, требовалось прежде всего уточнить орбиту небесного тела, на котором размещен наблюдатель, т. е. самой Земли. Ведь из неправильного представления о дви­жении наблюдателя выводы о движении наблюдаемых объ­ектов будут тоже неверны. Если бы было возможно в каждый момент времени находить непо­средственно величину отрезка Земля — Солнце. Но такой возможности у Кеплера не было. Другой принципиально возможный слу­чай заключается в выборе в пространстве некоторого непод­вижного ориентира о котором известно, что он в течение длительного времени сохраняет свое положение неизменным. Тогда земные наблюдатели могли бы при необходимости визи­ровать направление на него.

Рис. 4

Допустим, что в определенный момент времени Зем­ля (З) находится на прямой, соединяющей Солнце (С) с нашим ориентиром М (см. Рис. 4). Если в это время визировать с Земли направление на ориентир М, то по­лучим направление СМ (Солнце—ориентир). Пусть это направление зафиксировано на небесном своде. Рассмотрим положение Земли в другой момент (З₁). Если и Солнце (С) и ориентир М видны с Земли (З₁) то в треугольнике СЗ₁М известен угол  = СЗ₁М. Направление прямой СМ относительно неподвижных звезд определено раз и навсегда. Но теперь, установив направление на Солнце З₁С прямым наблюдением, можно определить и угол  = З₁СМ. Следовательно, треугольник СЗ₁М может быть теперь построен по стороне СМ и двум углам  и  для каждого положения З₁ и при этом определится это самое положение З₁ относительно задан­ного базиса СМ. Таким образом можно получить необхо­димое число точек, принадлежащих орбите Земли.

Характеристики

Список файлов реферата