KEPLER (668629), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Но где же взять ориентир М? Изобретательный ум вели­кого астронома использовал ориентир, хоть и не строго не­подвижный, но периодически, через известные заранее ин­тервалы времени, занимающий одно и то же положение в про­странстве. Дело в том, что уже и тогда была довольно точно известна продолжительность марсианского года, т. е. период обраще­ния Марса вокруг Солнца, — 687 дней. Используя эту величину в качестве исходной, теперь достаточно было учесть, что любое зафиксированное поло­жение Марса (и длина отрезка МС) через целое число марсианских лет будет повторяться, в то время как поло­жение Земли на ее орбите каждый раз будет, вообще говоря, иным. Таким образом можно установить такое количество точек орбиты Земли. Естественно, что, не располагай Кеплер данными многолетних наблюдений Браге за Марсом, быстрое решение этой задачи оказалось бы невозможным.

Результаты произведенных Кеплером вычислений сов­пали с его предположениями: Земля, как и другие плане­ты, вопреки мнению Коперника и его предшественников, не движется равномерно, а быстрее, когда она ближе к Солнцу, и медленнее, когда дальше от него. Так впервые в истории астрономии была показана ошибочность аристо­телевского представления о равномерных движениях планет. Дальше, занимаясь вычислением расстояния Марс — Земля, Кеплер нашел, что наибольшее расстояние, в афелии (в частях радиуса земной орбиты), составляет 1,6678, а наименьшее, в пери­гелии, 1,3850. Тогда радиус орбиты Марса будет равен:

а расстояние Солнца от центра орбиты Марса

т.е. половине ранее выведенного из движения Мара полного эксцентриситета его орбиты (равного 0,1856). Таким образом Кеплером было установлено, что пол­ный эксцентриситет планет делится центром орбиты на две равные части между Солнцем и эквантом.

Кеплеровская концепция тяготения.

В течение многих веков в естествознании господство­вала аристотелевская точка зрения на природу тяготения: «Земля и Вселенная имеют общий центр; тяжелое тело движется к центру Земли, и происходит это вследствие того, что центр Земли совпадает с центром Вселенной».

В «Новой астрономии» по мнению Кеплера, тяготение — это «взаимное телесное стремление сходных (родственных) тел к единству или соединению». В примечаниях к своему более позднему сочинению о лунной астрономии Кеплер пишет: «Гравитацию я определяю как силу, подобную магне­тизму — взаимному притяжению. Сила притяжения тем больше, чем оба тела ближе одно к другому ... ». Этим самым Кеп­лер существенно продвигается в направлении, которое позже приводит Ньютона к открытию его знаменитого за­кона всемирного тяготения. Здесь же Кеплер добавляет: «Причины океанских приливов и отливов видим в том, что тела Солнца и Луны притягивают воды океана с помощью некоторых сил, подобных магнетизму». Пытаясь устано­вить количественную зависимость между силой притяже­ния и расстоянием, Кеплер предположил, что сила притя­жения прямо пропорциональна весу, но обратно пропор­циональна расстоянию.

Внимание Кеплера было привлечено и к такому свой­ству материальных тел, как инерция. Сам термин «инерция» был введен в именно Кеплером. Он обозначил им явление сопротивления движению покоящихся тел. Инерция движения, по крайней мере до 1620 г., им не рассматривается. Важно отметить, что понятие инерции было распростра­нено Кеплером (в его понимании) на внеземные тела и явления. В «Новой астрономии» он пишет: «Планетные шары должны быть по природе материальны ..., они обла­дают склонностью к покою, или отсутствию движения».

Рис. 5 К выводу Кеплером закона площадей

Для объяснения эксцентричности орбит Кеплер предполо­жил, что планеты представляют собой «огромные круглые магниты», магнитные оси которых сохраняют постоянное направление, подобно оси волчка. Следовательно, планеты будут периодически то притягиваться ближе к Солнцу, то отталкиваться от него, в соответствии с расположением их магнитных полюсов. Далее Кеплер делит всю орбиту Земли на 360 частей, отметив на орбите положение Земли З₁, З₂, ..., З₃₆₀ в соответствующие моменты времени t₁, t₂, ..., t₃₆₀. Кеплер сопоставлял сумму расстояний между Землей и Солнцем в моменты време­ни t_i и t_k (и во все промежуточные моменты) с промежутком времени, необходимым планете, чтобы перейти из положения З_i, З_k. При сложении оказалось, что эта сумма отрезков не за­висит от выбранного участка орбиты, а только от величи­ны промежутка времени. Вспомнив затем, как Архимед для нахождения площади круга разлагал его на боль­шое число треугольников, Кеп­лер заменяет сумму расстоя­ний площадью сектора, описан­ного радиусом-вектором точки орбиты, считая эти величины пропорциональными, хотя и не говоря об этом прямо (см. Рис. 5). Необходимо заметить, что при выводе закона площадей (в конце 1601 — начале 1602 г.) Кеплер встретился и по-своему справился с задачей, имею­щей прямое отношение к тому разделу математики, бур­ное развитие которого вскоре ознаменовало наступление нового этапа в истории математики, связанного с исчис­лением бесконечно малых. Его попытка бесконечного сум­мирования по существу была первым шагом в численном интегрировании. Второй закон определял изменение скорости движения планет по их орбите, однако сама форма орбиты остава­лась еще неизвестной.

Теперь Кеплеру предстояло дать математическое описание той кривой, по которой движется планета, и эта задача оказа­лась самой сложной и трудоемкой. Пришлось проверять одну за другой многие гипотезы. При этом, правда, в распоряжении Кеплера уже было мощное средст­во исследования — его закон площадей. Это давало возможность, задавая гипотезу о кривой той или иной формы, вычислять положения, кото­рые должен был бы занимать Марс на этой предполагае­мой орбите в различные моменты времени, и сравнивать их с наблюдаемыми положениями. «Правда лежит между кругом и овалом, как будто орбита Марса есть точный эллипс». Но, поместив Солнце в его центр, Кеплер сно­ва не пришел к согласующемуся с данны­ми наблюдений результату.

В начале 1605 г. Кеплеру удалось найти истинную связь между расстоянием Солнце — Марс и так называе­мой эксцентрической аномалией. Он нашел тогда уравне­ние, которое сейчас называется его именем и широко используется в теоретической астрономии. Это уравнение имеет вид:

— константы. Это уравнение является одним из первых трансцендентных уравнений, которые нашли практическое приложение. Наконец Кеплер заметил, что боковое сжатие орбиты составляет 0,00429 доли ра­диуса, что точно равно поло­вине квадрата определенно­го им ранее эксцентриситета (0,0926² =0,00857). И тогда Кеплер предположил, что орбита Марса — эллипс, но Солнце располагается не в его центре, а в одном из фо­кусов. Проверка гипотезы эллипса быстро привела его к успешному завершению работы, ознаменовавшемуся вы­водом первого закона: Марс движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Кеплер не сомне­вался, что по этому же закону движутся и ос­тальные планеты, что вскоре им было проверено. Он был уверен также, что и орбита Земли — эллипс, но из-за ма­лого эксцентриситета (e= 0,01673) и недостаточной точ­ности наблюдений этот эллипс тогда еще невозможно бы­ло отличить от окружности. Открытые Кеплером законы подготовили почву Нью­тону для открытия закона всемирного тяготения.

Законы Кеплера сохраняют свое значение и в наше время. Правда, будучи абсолютно строгими математиче­скими законами для движения двух материальных тел (точнее — материальных точек), они не учитывают воз­действия на каждую планету других планет, которые хо­тя и очень слабы, но все же приводят к небольшим откло­нениям их движения от эллиптической орби­ты. Но математики и астрономы научились учитывать эти воздействия (благодаря чему, между прочим, были откры­ты планеты Нептун и Плутон).

Третий закон движения планет Кеплер вывел значительно позже (в 1619 г.). Суть этого закона была изложена в труде под названием «Мировая гармония». Кеплер формулирует этот закон так: «... отношение между периодами обращения каких-нибудь двух планет как раз равняется полуторной степени отношения их средних расстояний; однако обращаю внимание на то, что среднее арифметическое обоих диаметров эллиптической, орбиты немногим менее длиннейшего диаметра». Сейчас этот закон формулируется в такой форме: квадраты сидерических периодов планет относятся между собой, как кубы их средних расстояний от Солнца.

Математические исследования Кеплера.

С 1594 г. Кеплер имел официальное звание математика: штирийский провинциальный математик с 1594 по 1600 г., императорский математик с 1601 г. до конца жизни и, кроме того, математик провинции Верхней Австрии с 1613 по 1628 г. в те времена понятие «математика» был значительно шире чем в наше время. Так в «Математическом словаре» французского академика Ж. Озанама, изданном в 1691 г., кроме традиционных арифметики, алгебры, геометрии, в круг математических предметов включены были также механика с гидростатикой, архитектура и фортификация, география и навигация, астрономия, оптика, а также музыка.

В работах Кеплера математического характера отчетливо прослеживается воздействие, которое оказывали на формирование новых математических идей и методов потребности точного естествознания, в особенности астрономии, механики. Математика во времена Кеплера становилась мощным инструментом изучения и открытия закономерностей и свойств окружающего мира.

Задачи из «Новой астрономии» были лишь первым его шагом в развитии математики переменных величин. Сле­дующим шагом была книга «Nova stereometria doliorum vinariorum... accesit Stereometriae Archimedae Supplementum» («Новая стереометрия винных бочек... с присоеди­нением дополнения к Архимедовой стереометрии»). Книга эта заняла видное место в истории математики и, кстати, является единственным произведением Кеплера, полностью переведенным на русский язык. Книга выш­ла в Линце в 1615 г., но написана она была почти на два года раньше, и послужил этому весьма любопытный по­вод, известный по словам самого Кеплера. Осенью 1613 г. в Верхней Австрии был собран особен­но обильный урожай винограда. Многочисленные суда и баржи, груженные вином, уходили вверх по Дунаю, а при­стань в Линце все еще была забита бочками. Кеплер как решил запастись приятным на­питком. Бочки с вином были доставлены к нему на двор, а затем появился купец и с помощью единственного инструмента — мерной линейки, стержня с делениями, быстро измерил количество вина в каждой из бочек без вся­ких вычислений и учета формы бочек. Он вставлял линей­ку в наливное отверстие бочки вплоть до упора в ниж­ний край днища, после чего объявлял количество амфор (сосудов, принятых за меру емкости) в ней. Кеплер был очень удивлен этим: каким образом нак­лонный отрезок между двумя определенными точками может служить мерой вместимости бочки. Он даже усом­нился в правильности такого метода измерения, так как представлялось, что очень низкая, ограниченная широкими днищами, бочка могла иметь такое же расстояние до нижней точки днища, как и более высокая бочка с менее широкими днищами. Обоснованно ли такое опре­деление вместимости? Тем более Кеплер вспомнил, что севернее, на Рейне, вместимость бочек определялась либо непосредственным подсчетом количества единиц меры емкости при переливании, либо производили многочис­ленные замеры размеров бочки, после чего в результате громоздких и утомительных вычислений объявляли ее емкость, хотя многим этот способ казался ненадежным.

Узнав, что употребление мерной линейки санкциони­руется здесь властями, Кеплер «счел для себя подходя­щим взять новый предмет математические занятий и ис­следовать геометрические законы такого удобного и край­не необходимого в хозяйстве измерения, а также выяс­нить его основания, если таковые имеются». Уже к концу того же года после нескольких недель работы было готово сочинение о результатах этого иссле­дования, и Кеплер отправил его для издания в Регенсбург, так как в это время в Линце еще не было ни одной типогра­фии. Однако издатель, к которому Кеплер обратился, вско­ре сообщил, что, по мнению книгопродавцев, предложенное Кеплером сочинение, к тому же написанное на латин­ском языке, пользоваться спросом не будет, и субсидировать издание отказался. Рукопись надолго застряла в Регенсбурге, и Кеплер вспомнил о ней только тогда, когда при его участии весной 1615 г. в Линце была создана типография. Не без затруднений (издатель, которому была направлена рукопись, к тому времени умер) удалось разыскать и вернуть рукопись в Линц. Кеплер подвергает ее существенной переработке, а также дописывает новую, очень важную главу «Дополнения к Архимеду». Уже осенью 1615 г. «Новая стереометрия винных бочек» — пер­вая книга, напечатанная в Линце, поступила в продажу на ярмарке в крупнейшем тогдашнем центре книготоргов­ли — Франкфурте.

Ее издание было предпринято Кеплером за свой счет. Пытаясь хотя бы частично покрыть понесенные расходы, он обращается к своим друзьям с просьбой рекомендо­вать его книгу заинтересованным лицам и учебным заве­дениям. О спросе на математическую литературу в то время свидетельствует письмо к Кеплеру Гданьского ма­тематика Крюгера, в котором он пишет, что во всей окру­ге видит лишь трех потенциальных покупателей: своего кёнигсбергского коллегу, кёнигсбергскую библиотеку и некоего дворянина по фамилии Невешинский.

Местные власти отнеслись к проделанной Кеплером работе весьма холодно, недвусмысленно дав ему понять, что было бы лучше «эту работу оставить, а довести до конца более важные вещи, такие, как порученные ему «Рудольфинские таблицы» и географическую карту». Однако Кеплер не внял этому весьма категорическому совету и взялся за переделку своей книги, ставя на этот раз целью сделать ее доступной для широких кругов лю­дей, нуждающихся в разработанных им приемах в своей практической деятельности, но не знающих латыни и не разбирающихся в тонкостях математики. С этой целью Кеплер упрощает изложение, меняет последовательность расположения материала, прилагает сведения о системах мер, древних и употреблявшихся в то время, а также таблицы их перевода из одной в другую, но главное — он переводит свое сочинение на немецкий язык. Последнее обстоятельство было очень важным, по­скольку научных книг на немецком языке тогда издавалось мало, а математическая терминология почти не была разработана. Поэтому значение появившейся уже весной 1616 г. на книжной ярмарке во Франкфурте книги под названием: «Ausszug auss der uralten Messekunst Archimedis», т. е. «Извлечения из древнего искусства измерения Архимеда...», состоит не только в привлече­нии внимания к возможностям математических методов широких слоев населения, но и в выполненной здесь боль­шой работе по созданию немецкой математической терми­нологии. Этим самым, а также изданием нескольких трак­татов астрономического содержания на родном языке (и подготовкой нескольких рукописей, оставшихся неиздан­ными) Кеплер внес существенный вклад в развитие язы­ка немецкой естественнонаучной литературы.

Книга «Новая стереометрия» состояла из трех частей. В предисловии Кеплер пишет: «Поскольку... винные бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром — фигура­ми правильными — тем самым они поддаются геометриче­ским измерениям, принципы которых стоит привести в начале настоящего исследования, как они установлены Архимедом, конечно лишь настолько, насколько этого достаточно для удовлетворения ума, любящего геометрию, а полные и во всех частях строгие доказательства следует искать в самих книгах Архимеда, если кто не убоится тер­нистого пути их чтения. Впрочем, на некоторых мостах, которые не затронул Архимед, нужно остановиться по­подробнее, чтобы и более ученые люди нашли чем вос­пользоваться и чему порадоваться». Таким образом Кеплер подчеркивает, что в силу практической направ­ленности своего труда он не задерживается на положе­ниях своего великого предшественника, отсылая более требовательных читателей к первоисточникам, но здесь же он говорит и о том, что выходит за пределы достигну­того Архимедом.

Характеристики

Список файлов реферата