ref (664672), страница 30
Текст из файла (страница 30)
7.4 Алгоритм Korach-Kutten-Moran
Много результатов были получены для проблемы выбора, не только для случая кольцевых сетей и произвольных сетей, но также и для случая другой специализированной топологии, типа сетей клик, и т.д. В нескольких случаях лучшие известные алгоритмы имеют сложность по сообщениям 0(N log N) и в некоторых случаях этот результат достигает Ω(NlogN). Korach, Kutten, и Moran [KKM90] показали, что имеется тесная связь между сетеми выбора и обхода. Их главный результат - общее строительство эффективного алгоритма выбора для класса сетей, учитывая алгоритм обхода для этого класса. Они показывают, что когда строительство снабжено лучшим алгоритмом обхода, известным для класса сетей, результирующий алгоритм благоприятно сравним с лучшим алгоритмом выбора, известным для того класса в большинстве случаев. Дело обстоит не так для сложности по времени; Сложность времени алгоритма равняется сложности по сообщениям, и в некоторых случаях известны другие алгоритмы с той же самой сложностью по сообщениям и более низкой сложностью времени.
7.4.1 Модульное Строительство
Korach-Kutten-Moran алгоритм использует идеи преобразования вырождения (Подраздел 7.3.1) и идеи Peterson/Dolev-Klawe-Rodeh алгоритма (Подраздел 7.2.2). Подобно преобразованию вырождения инициаторы выбора начинают обход сети с маркера, помеченного их идентификатором. Если обход заканчивается (разрешается), инициатор обхода становится избранным; алгоритм подразумевает, что это случается для точно одного обхода. В этом подразделе алгоритм описан для случая, где каналы удовлетворяют fifo предположение, но, поддерживая немного больше информации в каждом маркере и в каждом процессе алгоритм, может быть приспособлен к не - fifo случай; см. [KKM90].
Чтобы иметь дело с ситуацией больше чем одного инициатора, алгоритм работает на уровнях, которые могут быть сравнены с раундами Peterson/Dolev-Klawe-Rodeh алгоритма. Если по крайней мере два обхода начаты, маркеры достигнут процесса, который уже был посещен другим маркером. Если эта ситуация возникает, обход прибывшего маркера будет прерван. Цель алгоритма теперь становится, чтобы свести вместе два маркера в одном процессе, где они будут убиты и новый обход будет начат. Сравните это с Peterson/Dolev и другими алгоритмами, где по крайней мере один из каждых двух идентификаторов проходит круг и продолжает проходить следующий. Понятие раундов заменено в Korach-Kutten-Moran алгоритме понятием уровней; два маркера вызовут новый обход только если они имеют один и тот же уровень, и вновь произведенный маркер имеет уровень на единицу больше. Если маркер встречается с маркером более высокого уровня, или достигает узла, уже посещенного маркером более высокого уровня, прибывающий маркер просто убит без того, чтобы влиять на маркер на более высоком уровне.
Алгоритм дается как Алгоритм 7.13. Чтобы свести вместе маркеры одного и того же уровня в одном процессе, каждый маркер может быть в одном из трех режимов: annexing, chasing, или waiting. Маркер представляется (q, l), где q - инициатор маркера и l - уровень. Переменная levp дает уровень процесса p, и переменная catp дает инициатора последнего маркера annexing , отправленного p (в настоящее время активный обход p). Переменная waitp - udef, если никакой маркер не ожидает в p, и его значение q, если маркер (q, levp) ожидает в p. Переменная lastp используется для маркеров в режиме chasing: она дает соседа, которому p отправил маркер annexing уровня levp, если маркер chasing не был послан сразу после этого; в этом случае lastp = udef. Алгоритм взаимодействует с алгоритмом обхода запросом к функции trav: эта функция возвращает соседа, которому маркер должен быть отправлен или decide, если обход заканчивается.
Маркер (q, l) вводится в режиме annexing и в этом режиме он начинает исполнять алгоритм обхода (в случае IV Алгоритма 7.13) пока не произойдет одна из следующих ситуаций.
(1) Алгоритм обхода заканчивается: q становится лидером в этом случае (см. Случай IV в Алгоритме 7.13).
(2) Маркер достигает узла p уровня levp > l: маркер убит в этом случае, (Этот случай неявен в Алгоритме 7.13; все условия в том алгоритме требуют l> levp или l = levp.)
(3) Маркер прибывает в узел, где ожидает маркер уровня l: два маркера убиты в этом случае, и новый обход начинается с того узла (см. Случай II в Алгоритме 7.13).
(4) Маркер достигает узла с уровнем l, который был наиболее недавно посещен маркером с идентификатором catp > q (см. Случай VI) или маркером chasing (см. Случай III): маркер ожидает в том узле.
(5) Маркер достигает узла уровня l, который был наиболее недавно посещен маркером annexing с идентификатором catp < q: маркер становится маркером chasing в этом случае и посылается через тот же самый канал что и предыдущий маркер (см. Случай V).
Маркер chasing (g, l) отправляется в каждом узле через канал, через который наиболее недавно переданный маркер был послан, пока одна из следующих ситуаций не происходит.
(1) Маркер прибывает в процесс уровня levp > l: маркер убит в этом случае.
(2) Маркер прибывает в процесс с маркером waiting уровня l: два маркера удалены, и новый обход начат этим процессом (см. Случай II ).
(3) Маркер достигает процесса уровня l, где наиболее недавно передан маркер chasing: маркер становится waiting (см. Случай III).
Маркер waiting находится в процессе, пока одна из следующих ситуаций не происходит.
(1) Маркер более высокого уровня достигает того же самого процесса: маркер waiting убит (см. Случай 1).
(2) Маркер равного уровня прибывает: два маркера удалены, и обход более высокого уровня начат (см. Случай II).
В Алгоритме 7.13 переменные и информация маркеров, используемая алгоритмом обхода игнорируются. Заметьте, что если p получает маркер уровня выше чем levp, это маркер annexing, инициатор которого не p . Если обход заканчивается в p, p становится лидером и отправляет сообщение всем процессам, заставляя их закончиться.
Правильность и сложность. Для того чтобы продемонстрировать правильность Korach-Kutten-Moran алгоритма, покажем, что число маркеров, произведенных на каждом уровне уменьшается до одного, на некотором уровне чей инициатор будет избран.
Lemma 7.22 Если произведены k> 1 маркеров на уровне l, по крайней мере один и не более k/2 маркеров произведены на уровне l + 1.
var levp : integer init – 1;
catp , waitp : P init udef',
lastp : Neighp init udef:
begin if p is initiator then
begin levp := levp + 1 ; lastp := trav(p. levp) ;
catp := p ; send (annex, p, levp ) to lastp
end ;
while . . . (* Условие завершения, смотри текст *) do
begin receive token (q,l) ;
if token is annexing then t := A else t := C ;
if l > levp then (* Case I *)
begin levp := l ; catp := q ;
waitp := udef ; lastp := trav(q, l) ;
send ( annex, q, l ) to lastp
end
else if l == levp and waitp udef then (* Случай II *)
begin waitp := udef ; levp := levp + 1 ;
lastp := trav(p, levp) ; catp := p ;
send ( annex, p, levp ) to lastp
end
else if l = levp and lastp = udef then (* Случай III *)
waitp := q
else if l = levp and t = A and q = catp then (* Случай IV *)
begin lastp := trav(q, t);
if lastp = decide then p объявляет себя лидером
else send ( annex, q,l) to lastp
end
else if l = levp and ((t = A and q > catp) or t = C) then (* Cлучай V *)
begin send ( chase, q, t ) to lastp ; lastp := udef end
else if l = levp then (* Cлучай VI *)
waitp := q
end
end
Алгоритм 7.13 korach-kutten-moran алгоритм.
Доказательство. Не более k/2 маркеров произведены на уровне l + 1, потому что, когда такой маркер произведен, два маркера уровня l убиты в то же самое время.
Предположим, что имеется уровень l такой, что k> l маркеров произведены на уровне l, но никаком маркер не произведен на уровне l + 1. Пусть q процесс с максимальным идентификатором, который производит маркер на уровне l.Маркер (q, l) не заканчивает обход, потому что он будет получен процессом p, который уже отправил другой маркер уровня l.Когда это случается впервые (q, l) становится chasing или, если p уже отправил маркер chasing, (q, l) становится waiting. В любом случае, уровне l есть маркеры chasing .
Пусть (r, l) маркер с минимальным идентификатором после, которого посылается маркер chasing . Маркер (r, l) сам не может быть chasing, потому что маркер chasing преследует только маркеры с меньшим идентификатором. Мы можем поэтому предполагать, что (r, 1) стал waiting, когда он впервые достиг процесса p, который уже отправил другой маркер уровня l.Пусть p" последний процесс на пути следования (r, l), который получил маркер annexing, после того как он отправил
(r, l), и маркер сменил режим на chasing r. Этот маркер chasing встретит (r, 1) в p ', или откажется от преследования, если маркер waiting был найден прежде, чем маркер достиг p '. В обоих случаях маркер на уровне l + 1 произведен, т.е. мы пришли к противоречию.
Теорема 7.23 Korach-Kutten-Moran алгоритм (Алгоритм 7.13) - алгоритм выбора.
Доказательство Предположим, что по крайней мере один процесс начинает алгоритм. Согдасно предыдущей лемме, число маркеров, произведенных на каждом уровня уменьшается, и будет иметься уровень, на котором точно один маркер, скажем (q, 1) произведен. Никакой маркер уровня l ' < l не заканчивает обход, следовательно ни один из этих маркеров не заставляет процесс стать избранным. Уникальный маркер на уровне l только сталкивается с процессами на уровнях меньше чем l, или с cat = q (если он достигает процесса, который уже посещал), и отправляется в обоих случаях. Следовательно обход этого маркера заканчивается, и q избран.
Функция f, как считается выпуклой если f (a) + f (b) f (+ b). Сложность алгоритма проанализирована здесь согласно предположению что f (x) - алгоритм обхода(см. Раздел 6.3) , где f - выпуклая функция.
Теорема 7.24 если f (x) - используется алгоритмом обхода, где f выпуклая , KKM алгоритм выбора не более (1+log k)[f(N)+N] сообщений если он начинается k процессами.
Доказательство. Если алгоритм начат k процессами, не более 2-l маркеров произведены на уровне l, что означает, что самый высокий уровень - не более logk.
Каждый процесс посылает маркеры annexing не более одного идентификатора на каждом уровне. Если на некотором уровне l имеются маркеры с идентификаторами p1, …, pj и имеются процессы Ni, которые отправили маркер annexing (pi, l), то из этого следует что 1j Ni N . Т.к. алгоритм обхода является f (x) - алгоритмом обхода, маркер annexing (pj, l) был послан не более f (Nj) раз, что дает общее количество сообщений передающих маркеры annexing уровня l не более 1j f(Ni) , что не превышает f (N), потому что f выпуклая. Каждый процесс посылает не более одного маркера chasing на каждом уровне, что дает не более N маркеров chasing на уровень.
Таким образом имеется не более (1 + log k) различных уровней, и не более f (N) + N сообщений посылаются на каждом уровене, что доказывает результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
