ref (664672), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Для конечного множества I идентификаторов процессов обозначим через Per(I) множество всех перестановок I. Обозначим через ave_A(I) среднее количество сообщений, используемых A во всех кольцах, помеченных идентификаторами из I, а через wor_A(I) - количество сообщений в наихудшем случае. Из предыдущей леммы следует, что если I содержит N элементов, то

1. ; и

2. .

Теперь нижнюю границу можно вывести путем анализа произвольных полных множеств.

Теорема 7.13 Средняя сложность однонаправленного алгоритма поиска наименьшего идентификатора составляет не менее N*_N.

Доказательство. Усредняя по всем начальным конфигурациям, помеченным множеством I, мы находим

Зафиксируем k и отметим, что для любого s  Per(I) существует N префиксов циклических сдвигов s длины k. N! перестановок в Per(I) увеличивают количество таких префиксов до N*N!. Их можно сгруппировать в N*N!/k групп, каждая из которых содержит по k циклических сдвигов одной последовательности. Т.к. E_A циклически покрывает D, E_A пересекает каждую группу, следовательно .

Отсюда следует .

Этот результат означает, что алгоритм Чанга-Робертса оптимален, когда рассматривается средний случай. Сложность в наихудшем случае больше или равна сложности в среднем случае, откуда следует, что наилучшая достижимая сложность для наихудшего случая находится между N*_N  0.69N logN и  0.356N logN.

Доказательство, данное в этом разделе, в значительной степени полагается на предположения о том, что кольцо однонаправленное и его размер неизвестен. Нижняя граница, равная 0.5N*_N была доказана Bodlaender [Bod88] для средней сложности алгоритмов выбора на двунаправленных кольцах, где размер кольца неизвестен. Чтобы устранить недетерминизм из двунаправленного кольца, рассматриваются вычисления, в которых каждый процесс начинается в одно и то же время и все сообщения имеют одинаковую задержку передачи. Для случая, когда размер кольца известен, Bodlaender [Bod91a] вывел нижнюю границу, равную 0.5N logN для однонаправленных колец и (1/4-)N*_N для двунаправленных колец (обе границы для среднего случая).

В итоге оказывается, что сложность выбора на кольце не чувствительна практически ко всем предположениям. Независимо от того, известен или нет размер кольца, однонаправленное оно или двунаправленное, рассматривается ли средний или наихудший случай, - в любом случае сложность составляет (N logN). Существенно важно, что кольцо асинхронно; для сетей, где доступно глобальное время, сложность сообщений ниже, как будет показано в Главе 11.

Т.к. лидер может быть выбран за одно выполнение децентрализованного волнового алгоритма, из нижней границы для выбора следует нижняя граница для волновых алгоритмов.

Заключение 7.14 Любой децентрализованный волновой алгоритм для кольцевых сетей передает не менее (N logN) сообщений, как в среднем, так и в наихудшем случае.

Рис.7.8

7.3 Произвольные Сети

Теперь изучим проблему выбора для сетей произвольной, неизвестной топологии без знания о соседях. Нижняя граница Ω(N logN+E) сообщений будет показана ниже. Доказательство объединяет идею Теоремы 6.6 и результаты предыдущего подраздела. В Подразделе 7.3.1 будет представлен простой алгоритм, который имеет низкую сложность по времени, но высокую сложность по сообщениям в худшем случае. В Подразделе 7.3.2 будет представлен оптимальный алгоритм для худшего случая.

Теорема 7.15 Любой сравнительный алгоритма выбора для произвольных сетей имеет (в худшем и среднем случае) сложность по сообщения по крайней мере Ω(Nlog N + E).

Рисунок 7.8 вычисление с двумя ЛИДЕРАМИ.

Доказательство. Граница Ω(N log N + E) является нижней, потому что произвольные сети включают кольца, для которых нижняя граница Ω(N logN). Чтобы видеть, что E сообщений является нижней границей, даже в лучшем из всех вычислений, предположим что, алгоритм выбора имеет вычисление С на сети G, в котором обменивается менее чем E сообщений ; см. Рисунок 7.8. Построим сеть G ', соединяя две копии G одним ребром между узлами, связанными ребром , которое не используется в C. Тождественные части сети имеют тот же самый относительный порядок как и в G. Вычисление С может моделироваться одновременно в обеих частях G ', выдавая вычисление, в котором два процесса станут избранными. 

Заключение 7.16 Децентрализованный волновой алгоритм для произвольных сетей без знания о соседях имеет сложность по сообщения по крайней мере Ω(NlogN + E).

7.3.1 Вырождение и Быстрый Алгоритм

Алгоритм для выбора лидера может быть получен из произвольного централизованного волнового алгоритма применением преобразования называемого вырождением. В полученном алгоритме выбора каждый инициатор начинает отдельную волну; все сообщения волны, начатой процессом p должны быть помечены идентификатором p, чтобы отличить их от сообщений различных волн. Алгоритм гарантирует, что, независимо от того, сколько волн начато, только одна волна будет бежать к решению, а именно, волна самого маленького инициатора. Все другие волны будут прерваны прежде, чем решение может иметь место.

Для волнового алгоритма A, алгоритм выбора Ex(A) следующий. В каждый момент времени каждый процесс активен не более чем в одной волне ; эта волна - текущая активная волна, обозначенная caw , с начальным значением udef. Инициаторы выбора действуют, как будто они начинают волну и присваивают caw их собственный идентификатор . Если сообщение некоторой волны, скажем волны, которую начал q, достигает p, p обрабатывает сообщение следующим образом.

var caw_p : P init udef ; (* текущая активная волна *)

rec_p : integer init 0 ; (* число полученных tok, caw_p  *)

father_p : P init udef ; (* отец в волне caw_p *)

lrec_p : integer init 0 ; (* число полученных ldr, .  *)

win_p : P init udef; (* идентификатор лидера*)

begin if p is initiator then

begin caw_p := p;

forall q  Neigh_p do send  tok, p to q

end;

while lrec_p < #Neigh_p do

begin receive msg from q ;

if msg =  ldr, r  then

begin if lrec_p = 0 then

forall q . Neigh_p do send  ldr, r  to q ;

lrec_p := lrec_p + 1 ; win_p := r

end

else (* сообщение  tok, r *)

begin if r < caw_p then (* Переинициализируем алгоритм*)

begin caw_p := r , rec_p := 0 , father_p :== q ;

forall s Neigh_p , s  q

do send  tok, r  to s

end;

if r = caw_p then

begin rec_p := rec_p + 1 ;

if rec_p = #Neigh_p then

if caw_p = p

then forall s  Neigh_p do send  ldr, p  to s

else send  tok, cawp to father_p

end

(* если r > caw_p сообщение игнорируется*)

end

end;

if win_p = p then state_p :== leader else state_p :== lost

end

Алгоритм 7.9 Вырождение примененное к алгоритму эха.

Если q> caw_p, сообщение просто игнорируется, эффективно приводя волну q к неудаче. Если с q = caw_p, с сообщением поступают в соответствии с волновым алгоритмом. Если q < caw_p или caw_p = udef, p присоединяется к выполнению волны q, повторно присваивая переменным их начальные значения и присваивая caw_p значение q. Когда волна, начатая q выполняет событие решения (в большинстве волновых алгоритмов, это решение всегда имеет место в q), q будет избран. Если волновой алгоритм такой, что решающий узел не обязательно равен инициатору, то решающий узел информирует инициатора через дерево охватов(остовное дерево) как определено в Lemma 6.3. При этом требуется не более N - 1 сообщений; мы игнорируем их в следующей теореме.

Теорема 7.17. Если А - централизованный волновой алгоритм, использующий М сообщений на одну волну, алгоритм Ex(A), выбирает лидера использую не более NM сообщений.

Доказательство. Пусть p₀ самый маленький инициатор. К волне, начатой p₀ немедленно присоединяются все процессы, которые получают сообщение этой волны, и каждый процесс заканчивает эту волну, потому что нет волны с меньшим идентификатором, для которой процесс прервал бы выполнение волны p₀. Следовательно, волна p₀ бежит к завершению, решение будет иметь место, и p₀ становится лидером.

Если p не инициатор, никакая волна с идентификатором p не начнется, следовательно p не станет лидером. Если p  p₀ - инициатор, волна с идентификатором p будет начата, но решению в этой волне будет предшествовать событие посылки от p₀ (для этой волны) , или имееть место в p₀ (Lemma 6.4). Так как p₀ никогда не выполняет событие посылки или внутреннее событие волны с идентификатором p, такое решение не имеет место, и p не избран.

Не более N волн начаты, и каждая волна использует по крайней мере М сообщений, что приводит к полной сложности к NM. 

Более тонким вопросом является оценка сложности по времени алгоритма Ex(A). Во многих случаях это будет величина того же порядока , что и сложность по времени алгоритма A, но в некоторых неудачных случаях, может случиться, что инициатор с самым маленьким идентификатором начинает волну очень поздно. В общем случае можно показать сложность по времени O (Nt) (где t - сложность по времени волнового алгоритма ), потому что в пределах t единиц времени после того, как инициатор p начинает волну, волна p приходит к решению или начинается другая волна.

Если вырождение применяется к кольцевому алгоритму, получаем алгоритм Chang-Poberts; см. Упражнение 7.9. Алгоритм 7.9 является алгоритмом выбора полученным из алгоритма эха. Чтобы упростить описание, принимается что udef > q для всех q P. При исследовании кода, читатель должен обратить внимание, что после получения сообщения tok, r с r < cawp_p, оператор If с условием r = caw_p также выполняется, вследствие более раннего присваивания caw_p. Когда выбирается процесс p (получает tok, p от каждого соседа), p посылает сообщение ldr, p всем процессам, сообщая им, что p - лидер и заставляя их закончить алгоритм.

7.3.2 Алгоритм Gallager-Humblet-Spira

Проблема выбора в произвольных сетях тесно связана с проблемой вычисления дерева охватов с децентрализованным алгоритмом, как выдно из следующего рассуждения. Пусть C_E сложность по сообщениям проблемы выбора и C_Т сложность вычисления дерева охватов. Теорема 7.2 подразумевает, что C_EC_T+O(N), и если лидер доступен, дерево охватов, может быть вычислено используя 2 сообщений в алгоритме эха, который подразумевает что C_T  C_E + 2. Нижняя граница C_E (теорема 7.15) подразумевает, что две проблемы имеют одинаковый порядок сдожности, а именно, что они требуют по крайней мере Ω(N log N + E) сообщений.

Этот подраздел представляет Gallager-Humblet-Spira (GHS), алгоритм для вычисления (минимального) дерева охватов, используя 2 + 5N log N сообщений. Это показывает, что C_E и C_Т величины порядка  (N log N + E). Этот алгоритм был опубликован в [GHS83]. Алгоритм может быть легко изменен (как будет показано в конце этого подраздела) чтобы выбрать лидера в ходе вычисления, так, чтобы отдельный выбор как показано в выше не был необходим.

GHS алгоритм полагается на следующие предположения.

(1) Каждое ребро e имеет уникальный вес w (e). Предположим здесь, что w (e) - реальное число, но целые числа также возможны как веса ребер.

Если уникальные веса ребер не доступны априоре, каждому краю можно давать вес, который сформирован из меньшего из двух первых идентификаторов узлов, связанных с ребром. Вычисление веса края таким образом требует, чтобы узел знал идентификаторы соседей, что требует дополнительно 2 сообщений при инициализации алгоритма.

Характеристики

Список файлов реферата