19874-1 (663006)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

"Длинная" арифметика

Известно, что арифметические действия, выполняемые компьютером в ограниченном числе разрядов, не всегда позволяют получить точный результат. Более того, мы ограничены размером (величиной) чисел, с которыми можем работать. А если нам необходимо выполнить арифметические действия над очень большими числами, например,

30! = 265252859812191058636308480000000?

В таких случаях мы сами должны позаботиться о представлении чисел в машине и о точном выполнении арифметических операций над ними.

Числа, для представления которых в стандартных компьютерных типах данных не хватает количества двоичных разрядов, называются "длинными". Реализация арифметических операций над такими "длинными" числами получила название "длинной арифметики".

Организация работы с "длинными" числами во многом зависит от того, как мы представим в компьютере эти числа. "Длинное" число можно записать, например, с помощью массива десятичных цифр, количество элементов в таком массиве равно количеству значащих цифр в "длинном" числе. Но если мы будем реализовывать арифметические операции над этим числом, то размер массива должен быть достаточным, чтобы разместить в нем и результат, например, умножения.

Существуют и другие представления "длинных" чисел. Рассмотрим одно из них. Представим наше число

30! = 265252859812191058636308480000000

в виде:

30! = 2 * (104)8 + 6525 * (104)7 + 2859 * (104) + 8121 * (104)5 + 9105 * (104)4 + 8636 * (104)3 + 3084 * (104)2 + 8000 * (104)1 + 0000 * (104)0.

Это представление наталкивает на мысль о массиве, представленном в табл. 1.

Таблица 1

Номер элемента в массиве А	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Значение	9	0	8000	3084	8636	9105	8121	2859	6525	2

Мы можем считать, что наше "длинное" число представлено в 10000-10 системе счисления (десятитысячно-десятичная система счисления, приведите аналогию с восьмерично-десятичной системой счисления), а "цифрами" числа являются четырехзначные числа.

Возникают вопросы. Что за 9 в А [0], почему число хранится "задом наперед"? Ответы очевидны, но подождем с преждевременными объяснениями. Ответы на вопросы будут ясны из текста.

Примечание. Мы работаем с положительными числами!

Первая задача. Ввести "длинное" число из файла. Решение задачи начнем с описания данных.

Const MaxDig = 1000; {Максимальное количество цифр — четырехзначных!}

Osn = 10000; {Основание нашей системы счисления,

в элементах массива храним четырехзначные числа}

Type Tlong = Array[0..MaxDig] Of Integer;

{Максимальное количество десятичных цифр в нашем числе}

Алгоритм ввода "длинного" числа из файла рассмотрим на конкретном примере.

Пусть в файле записано число 23851674 и основанием (Osn) является 1000 (храним по три цифры в элементе массива А). Изменение значений элементов массива А в процессе ввода (посимвольного в переменную Ch) отражено в табл. 2.

Таблица 2

А[0]	А[1]	А[2]	А[3]	Ch	Примечание
3	674	851	23	-	Конечное состояние
0	0	0	0	2	Начальное состояние
1	2	0	0	3	1-й шаг
1	23	0	0	8	2-й шаг
1	238	0	0	5	3-й шаг
2	385	2	0	1	4-й шаг: старшая цифра элемента А [1] перешла в пока "пустой" элемент А[2]
2	851	23	0	6	5-й шаг
2	516	238	0	7	6-й шаг
3	167	385	2	4	7-й шаг
3	674	851	23

Проанализируем таблицу (и получим ответы на поставленные выше вопросы).

1. В А[0] храним количество задействованных (ненулевых) элементов массива А — это уже очевидно.

2. При обработке каждой очередной цифры входного числа старшая цифра элемента массива с номером i становится младшей цифрой числа в элементе i+1, а вводимая цифра будет младшей цифрой числа из А[1]. В результате работы нашего алгоритма мы получили число, записанное "задом наперед".

Примечание (методическое): Можно ограничиться этим объяснением и разработку процедуры вынести на самостоятельное задание. Можно продолжить объяснение. Например, выписать фрагмент текста процедуры перенос старшей цифры из A[i] в младшую цифру А[i+1], т.е. сдвиг уже введенной части числа на одну позицию вправо:

For i := A[0] DownTo 1 Do

Begin

A[i+l] := A[i+l] + (Longint(A[i]) * 10) Div Osn;

A[i] := (LongInt(A[i]) * 10) Mod Osn;

End;

Пусть мы вводим число 23851674 и первые 6 цифр уже разместили "задом наперед" в массиве А. В символьную переменную считали очередную цифру "длинного" числа — это "7". По нашему алгоритму эта цифра "7" должна быть размещена младшей цифрой в А[1]. Выписанный фрагмент программы "освобождает" место для этой цифры. В таблице отражены результаты работы этого фрагмента.

i	А[1]	А[2]	А[3]	ch
2	516	238	0	7
2	516	380	2
1	160	385	2

После этого остается только добавить текущую (считанную в ch) цифру "длинного" числа к А[1] и изменить значение А[0].

В конечном итоге процедура должна иметь следующий вид:

Procedure ReadLong(Var A : Tlong);

Var ch : char; i : Integer;

Begin

FillChar(A, SizeOf(A), 0) ;

Read(ch);

While Not(ch In ['0'..'9']) Do Read(ch);

{пропуск не цифр во входном файле}

While ch In ['0'..'9'] Do

Begin

For i := A[0] DownTo 1 Do

Begin

{"протаскивание" старшей цифры в числе из A[i]

в младшую цифру числа из A[i+l]}

A[i+l] := A[i+l] + (LongInt(A[i]) * 10) Div Osn;

A[i] := (LongInt(A[i]) * 10) Mod Osn

End;

A[1] := A[l] + Ord(ch) - Ord('0');

{добавляем младшую цифру к числу из А[1]}

If A[A[0]+1] > 0 Then Inc(A[0]);

{изменяем длину, число задействованных элементов массива А}

Read(ch)

End

End;

Вторая задача. Вывод "длинного" числа в файл или на экран.

Казалось бы, нет проблем — выводи число за числом. Однако в силу выбранного нами представления "длинного" числа мы должны всегда помнить, что в каждом элементе массива хранится не последовательность цифр "длинного" числа, а значение числа, записанного этими цифрами. Пусть в элементах массива хранятся четырехзначные числа. Тогда "длинное" число 128400583274 будет в массиве А представлено следующим образом:

A[0]	A[1]	A[2]	A[3]
3	3274	58	1284

При выводе "длинного" числа из массива нам необходимо вывести 0058, иначе будет потеря цифр. Итак, незначащие нули также необходимо выводить. Процедура вывода имеет вид:

Procedure WriteLong(Const A : Tlong);

Var ls, s : String; i : Integer;

Begin

Str(Osn Div 10, Is);

Write(A[A[0]]; {выводим старшие цифры числа}

For i := A[0] - l DownTo 1 Do

Begin

Str(A[i], s);

While Length(s) < Length(Is) Do s := '0' + s;

{дополняем незначащими нулями}

Write(s)

End;

WriteLn

End;

Третья задача. Предварительная работа по описанию способа хранения, вводу и выводу "длинных" чисел выполнена.

У нас есть все необходимые "кирпичики", например, для написания программы сложения двух "длинных" положительных чисел. Исходные числа и результат храним в файлах. Назовем процедуру сложения SumLongTwo.

Тогда программа ввода двух "длинных" чисел и вывода результата их сложения будет иметь следующий вид:

Var A, B, C : Tlong;

Begin

Assign(Input, 'Input.txt'); Reset(Input);

ReadLong(A); ReadLong(B) ;

Close(Input);

SumLongTwo(A, B, C);

Assign(Output, 'Output.txt');

Rewrite(Output);

WriteLong(C);

Close(Output)

End.

Алгоритм процедуры сложения можно объяснить на простом примере. Пусть А=870613029451, В=3475912100517461.

i	A[i]	B[i]	C[1]	C[2]	C[3]	C[4]
1	9451	7461	6912	1	0	0
2	1302	51	6912	1354	0	0
3	8706	9121	6912	1354	7827	1
4	0	3475	6912	1354	7827	3476

Алгоритм имитирует привычное сложение столбиком, начиная с младших разрядов. И именно для простоты реализации арифметических операций над "длинными" числами используется машинное представление "задом наперед".

Результат: С = 3476782713546912.

Ниже приведен текст процедуры сложения двух "длинных" чисел.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов реферата