85099 (630694)

Файл №630694 85099 (Пределы и производные)85099 (630694)2016-07-30СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Пределы и производные

Предел.

Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, N0, такое что при всех n>N0 будет выполн-ся нер-во |Xn-A|nXn=A. –E

Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное число N0, для кот. любые точки >N0 попадают в Е-окрестность (.)А.

Св-ва послед-ти, имеющей предел:

1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.

Док-во: предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n) => E/2 N1 n>N1 |a-Xn| E/2 N2 n>N2 |Xn-и|0=max(N1;N2), n>N0. |a-b|=|a-Xn+Xn-b||a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 => a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N1 XnZnYn limXn = lim Yn = a (n) => lim Zn=a (n)

Док-во: 1. из того, что lim Xn=a (n) => n>N2 |Xn-a| n>N3, a-E0=max(N1,N2,N3). При всех n>N0 XnZnYn. a+E>XnZnYn>a-E => lim Zn=a (n)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n, если lim Xn = 0 (n). E>0, N0, n>N0, |Xn|

Свойства б.м. величин:

1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.

Док-во: из Xn – б.м. => E/2 N1, n>N1 |Xn|

из Yn–б.м.=> E/2 N2, n>N2 |Yn|0=max(N1,N2), N>N0, |XnYn||Xn|+|Yn| lim(XnYn)=0 (n). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина => K, |Xn| K,

Yn – б.м. => E/K N0 n>N0 |Yn|

|Xn*Yn|=|Xn||Yn|

3.Достаточный признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины. lim Xn=a (n) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.

Док-во: Из lim Xn=a (n) => E N0 n>N0 |Xn-a|

Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n, если M>0 N0, n>N0, |Xn|>M => M

Свойства б.б. величин:

1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.

из Xn – б.б. =>M N1, n>N1 |Xn|>M

из Yn – б.б. => M N2, n>N2 |Yn|>M

N0=max(N1, N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M

Lim XnYn= (n).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn= (n) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn= => M=1/E N0, n>N0 |Xn|>M =>n>N0.

|Yn|=1/|Xn|Yn – б.м. => lim Yn=0 (n).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

lim Xn=a, lim Yn=b => lim (XnYn)=ab (n)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+n; lim Yn=b => Yn=b+n;

Xn Yn = (a + n) (b + n) = (a b) + ( n bn) => lim(XnYn)=ab (n).

limXnYn = lim Xn * lim Yn (n).

lim Xn=a, lim Yn=b (n) => lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+n)/(b+n) – a/b = (ab+nb–ab–an)/b(b+n) =(bn-an)/b(b+n)=n => Xn/Yn=a/b+n => lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n).

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при хx0, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число >0, что при x будет выпол |x-x0|<, будет выполняться нер-во |f(x) – A| выпол x0-

Lim xx0 f(x)=A

Ф -ия y=f(x) наз-ся бесконечно большой при xx0 если для М>0 сколь угодно большого >0, что x |x-x0|< будет выполняться нер-во |f(x)|>M, x x0-0+, -M>f(x)>M.

Lim f(x)= (xx0).

Ч исло А наз-ся пределом y=f(x) x, если для любого Е>0 можно найти число К, x |x|>K |f(x)-A|


I замечательный предел.

Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.

Sтреуг МОА< Sсект МОАтреуг СОА.

SтреугМОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.

SсектМОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.

SтреугСОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.

SinX

1cosX.

Lim cosX=1, lim 1=1 (x0) =>lim (sinX)/x=1.

Следствия:

1. limx0(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=

=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1;

2.limx0(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t0}=

=limt0t/sint=1;

3. limx0 (sin x)/x = lim (Sin x)/(x)=

=/ limx0(sin x)/x=/.

II замечательный предел.

limn(1+1/n)n=?

Бином Ньютона: (a+b)n=an+nan-1b+(n(n-1)an-2b2)/2!+... +(n(n-1)(n-2)(n-3)an-4b4)/4!+...+bn.

(1+1/n)n=1+n1/n+n(n-1)/2!n2+n(n-1)(n-2)/3!n3+...+1/nn= =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nn={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/22(1-1/n)(1-2/n)+1/23(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2n < 2+0.5+1/22+1/23+...+1/2n =2+0.5(1-1/2n)/(1-0.5)=2+1-1/2n=3-1/2n <3.

2(1+1/n)n limn(1+1/n)n=e.

Следствия:

1.limx+(1+1/x)x=e. Док-во: nxn+1 =>1/n1/x1/(n+1), 1/n+1 (1/x)+1 1/(n+1) + 1, (1/n+1)x(1/x+1)x(1+1/(n+1))x

(1/n+1)n+1(1+1/x)x(1+1/(n+1))n limn(1+1/n)n(1+1/n)=e*1=e, limn(1+1/(n+1))n+1*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => limx+(1+1/x)x=e.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел фун. y=f(x) при хх0 равный значению фун f(x0).limf(x)=f(x0)

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. limxx0-0f(x) limxx0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limxx0-f(x)=limxx0+f(x);

4. limxx0f(x)=f(x0).

Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род

Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность) y(х)=f1(x)f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.

Док-во (суммы): По определению получ limхх0f1(x)=f1(x0) и limхх0f2(x)=f2(x0) на основании св-ва1 можем написать: limхх0у(х)=limхх0[f1(x)+f2(x) ]=

=limхх0f1(x)+limхх0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0). Итак сумма есть непрерывная фун.

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=(х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=(х0), то фун y=f((х)) непрерывна в точке х0.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Непрерывности на заданном промежутке

Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b), если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.

Свойства(small):

1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые значения м0 на [a;b], f(x0)=0.

Св-ва непрерывности на заданном промежутке(full):

1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х1 такая, что значение фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x1)f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х2, что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю

f(x2) f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).

2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в.

3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число , заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=.

Производная.

1.Пусть y=f(x), xX, x0; x0+x X => y=f(x0)=f(x0+x)-f(x0), y/x=(f(x0+x)-f(x0))/x.

Если limx0y/x, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х0. Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+хХ. Limх0(f(x0+x)-f(x0))/x= =f/(х)=df(x)/dx=dy/dx=y|(x).

2 . Геометр смысл производ.

Производная фун f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х0;f(x0)).

Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М0 (при х0), то секущая приближ-ся к касат.

y|(x0)=limх0(f(x0+x)-f(x0))/ /x=limх0y/x=limх0tg==lim0tg=tg0.

L: y-f(x0)=f\(x0)(x-x0)

Nl=y-f(x0)=-(x-x0)/f\(x0).

3. Основ теоремы о производных.

1. y=U(x)+V(x), y|=U|(x)+ V|(x). Док-во: для х+х имеем: y+y=(u+u)+(v+v). Следовательно, y=u+v, y/x=u/x+v/x, y|=limx0y/x = limx0u/x+ limx0v/x=U|(x)+V/(x).

2. y=uv, y|=u|v+uv|. Док-во: y+y=(u+u)(v+v), y=(u+u)(v+v)-uv=uv+uv+uv, y/x=uv/x+vu/x+uv/x,

y|= limx0y/x= limx0uv/x + limx0vu/x + limx0uv/x={ limx0u=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u|v+uv|.

3. y=u/v, y|=(u|v-uv|)/v2. Док-во: y+y=(u+u)/(v+v), y=(u+u)/(v+v)-u/v=(vu-uv)/v(v+v)

y/x...

4. y=ax, y|=axln a. Док-во: ln y=x ln a, y|/y=ln a, y|=yln a y|=axln a.

Неявно задан фун и нахождение ее производ.

Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество() {F(x;y)=0,у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) 0}

Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)]/=0/}

Формула Лейбница.

y(n)=(uv)(n)=(u)(n)v+nu(n-1)v|+([n(n-1)]/[1*2])*n(n-2)v||+…+uv(n)

Дифференцирование ф-ии в точке.

Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х0, если y=Ax+O(x), где А не зависит от Х, О(Х) – б.м., более высокого порядка малости, чем Х, когда Х0, т.е. limx0O(x)/x=0. АХ – главная часть приращения.

Теорема: y=f(x) дифф-ма в т-ке Х0 т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f\(x0).

Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: y=Ax+O(x)

f\(x0)=limx0y/x= limx0[(Ax+O(x))/x] = limx0(A+O(x)/x)=A => y=f\(x0)x+O(x) => limx0y=0 => f(x) – непрерывна.

Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: f\(x0) – число, f\(x0)=limx0y/x => y/x=f\(x0)+(x) {(ч) – б.м.}, y=f\(x0)x+(x)x => y=f\(x0)x+O(x), т.е. O(x)=(x)x => limx0O(x)/x=limx0(x)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит Х.

Приближ знач ф-ии в некот т-ке: y=f(x0+x)-f(x0) =>f(x0+x)=f(x0)+yf(x0)+df(x0)=f(x0)+f\(x0)dx, dx=x.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел фун. y=f(x) при хх0 равный значению фун f(x0).limf(x)=f(x0)

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. limxx0-0f(x) limxx0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limxx0-f(x)=limxx0+f(x);

4. limxx0f(x)=f(x0).

Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род

Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность) y(х)=f1(x)f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.

Док-во (суммы): По определению получ limхх0f1(x)=f1(x0) и limхх0f2(x)=f2(x0) на основании св-ва1 можем написать: limхх0у(х)=limхх0[f1(x)+f2(x) ]=

=limхх0f1(x)+limхх0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0). Итак сумма есть непрерывная фун.

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=(х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=(х0), то фун y=f((х)) непрерывна в точке х0.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Бесконечно малая последовательность

Последовательность - это функция, заданная на множестве натуральных чисел . Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такой номер , что для всех , c номерами справедливо неравенство . Неравенство , эквивалентное неравенству , означает, что для любого существует такой номер , что все c номерами , расположены между и . Последовательность, предел которой конечное число , называется сходящейся и ее предел обозначают . Если изобразить элементы последовательности на плоскости точками с координатами , то неравенства означают, что все точки с номерами расположены между параллельными оси абсцисс прямыми и .

f(x)

f(x)

f(x)

C

0

cosx

-sinx

x

1

lnx

1/x

tgx

1/cos2x

xn

nxn-1

ax

axlna

arcsina

1/(2 )

arccosa

-

1/x

-1 / x2

sinx

cosx

arctgx

1/(1+x2)

Производная


Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точкиx. Пусть x приращение аргумента в точке x. Обозначим через y или f приращение функции, равное f(x+x)–f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента x соответствует бесконечно малое приращение функции f.

Отношение f/x, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла , который составляет секущая MN кривой y=f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Представим себе процесс, в котором величина x, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y=f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых величинах x её угол наклона будет сколь угодно близок к углу наклона касательной к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции y=f(x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно провести касательную к графику функции.

Отношение y/x или, что то же самое (f(x+x)f(x))/x, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента x. Эта функция не определена в точке x=0. Однако её предел в этой точке может существовать.

Если существует предел отношения (f(x+x)–f(x))/x в точке x=0, то он называется производной функции y=f(x) в точке x и обозначается y илиf(x):


Нахождение производной функции y=f(x) называется дифференцированием.

Если для любого числа x из открытого промежутка (a,b) можно вычислить f(x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a,b).

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Производная  это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f(x)f/x, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше x. Производная f(x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между f и x.Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x0, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке.


Так функция y=x не имеет производной в точке x=0, хотя является непрерывной в этой точке.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций.. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке. . Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.stydent.od.ua/

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
570,96 Kb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6597
Авторов
на СтудИзбе
296
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее