176093 (626815), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

■

В более общем случае, когда - дифференцируемая производственная функция с постоянной отдачей от масштаба по первым трем переменным, предложение 6 обобщается следующим образом.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7. На любой сбалансированной траектории

где темп технического прогресса определен как

доли труда и ресурсов– как эластичности

,

доля капитала равна

(Значения переменных берутся в точке на сбалансированной траектории)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем

,

откуда

.

С учетом предложения 1,

.

Отсюда, используя теорему Эйлера, получаем

■

Таким образом, в случае функции Кобба-Дугласа (1), темп прироста величин - один и тот же на всех сбалансированных траекториях. Он определяется темпами роста первичных факторов (труда и используемых природных ресурсов) и темпом изменения TFP, а также долями факторов в доходе (эластичностями выпуска по факторам).

Значения (потребление как доля ВВП) и (капиталоотдача) различаются на сбалансированных траекториях, они зависят от начального значения капитала при данных значениях .

Находим

и, с учетом (2),

, (8)

.

По определению А в предложении 1, каждая сбалансированная траектория является траекторией Солоу. Вычислим для нее норму накопления:

. (9)

Теперь мы хотим сравнить между собой различные сбалансированные траектории с одинаковыми начальными , чтобы понять, какая из них лучше с точки зрения потребления.

Поскольку сбалансированные траектории не отличаются темпами роста, сбалансированная траектория, которая имеет наибольший уровень потребления в начальный момент времени, имеет его и в дальнейшем при любом t среди всех сбалансированных траекторий с данными

.

Из (8) следует, что

Максимум по достигается при

Соответствующая сбалансированная траектория имеет вид

,

,

где

Как следует из (9), для этой сбалансированной траектории норма накопления равна

.

Можно назвать эту траекторию сбалансированной траекторией золотого правила.

Предельный продукт капитала на сбалансированной траектории золотого правила равен

,

т.е., как и в стандартной модели Солоу, золотое правило состоит в равенстве

предельного продукта капитала сумме темпа прироста и коэффициента износа.

Подчеркнем, что стационарного состояния в смысле

в рассматриваемой модели не существует, поскольку капитал и труд имеют разные темпы роста на сбалансированной траектории. Как и в стандартной модели Солоу с трудосберегающим техническим прогресом с двухфакторной производственной функцией, можно рассматривать стационарное состояние вида

где - эффективный труд. Однако, мы введем новые фазовые траектории другим способом, аналогично тому, как это сделано в Lucas, 1988.

Поскольку в нашей модели действует единый темп прироста на всех сбалансированных траекториях, естественно ввести фазовые переменные

.

При этом каждая сбалансированная траектория превращается в точку на фазовой плоскости

На любой траектории (не обязательно сбалансированной)

.

Справедливы равенства

.

Уравнение (2) превращается в

. (10)

4. Несбалансированные траектории Солоу

Как видно из определения А в предложении 1, всякая сбалансированная траектория является траекторией Солоу (т.е. траекторией, на которой потребление составляет постоянную долю выпуска). Покажем, что, наоборот, всякая траектория Солоу является асимптотически сбалансированной.

На траектории Солоу с нормой накопления

, уравнение (10) принимает вид

.

Отсюда находим для траектории Солоу стационарное фазовое состояние

и темп прироста фазовой переменной :

Видим, что стационарное фазовое состояние глобально устойчиво, причем темп прироста уменьшается по модулю по мере приближения фазовой траектории к .

Что же касается самой траектории Солоу в переменных

то она является асимптотически сбалансированной. Поскольку

темп прироста изменяется монотонно и приближается к .

Ошибочно полагать (как это делают Гилфасон и Зоега), что для траектории Солоу имеет место сходимость к стационарному состоянию по переменной . Переменные растут асимптотически разными темпами, за исключением случая, когда совпадают темпы экзогенных переменных .

5. Траектории модели Рамсея-Касса-Купманса

Сформулируем задачу поиска оптимальной траектории:

,

(2)

, , (1)

,

заданы

Применяя принцип максимума Л.С.Понтрягина, построим гамильтониан текущего значения

и выпишем условия оптимальности

, (11)

, (12)

а также (2).

Условие (11) дает

,

отсюда и из (12) следует, что

В частности, рассмотрим случай

Тогда

и мы приходим к системе дифференциальных уравнений

, (2)

При переходе к фазовым переменным , эта система превращается в

, (10)

.

Стационарное фазовое состояние равно

,

Ему соответствует сбалансированная траектория, для которой

,

ее можно назвать сбалансированной траекторией модифицированного золотого правила.

Матрица Якоби в точке имеет вид

Определитель этой матрицы отрицателен, следовательно, стационарное фазовое состояние представляет собой седловую точку. Таким образом, оптимальные траектории-решения задачи Рамсея-Касса-Купманса при данных начальных сходятся асимптотически к сбалансированной траектории модифицированного золотого правила.

Норма накопления на сбалансированной траектории модифицированного золотого правила, согласно (9), равна

.

Видим, что норма накопления отрицательно зависит от нормы дисконтирования (более терпеливое общество сберегает больше) и положительно связана с темпом роста .

Норма накопления и капитал на сбалансированной траектории модифицированного золотого правила при любой норме дисконтирования оказываются меньше, чем на сбалансированной траектории золотого правила, т.е. долгосрочное качество сбалансированной траектории модифицированного золотого правила всегда хуже. Это можно объяснить выбором критерия оптимальности. При данном интегральном критерии, цель фактически состоит не в оптимальном устойчивом (т.е. долгосрочном) росте, а в обеспечении максимального дисконтированного потребления на относительно близком промежутке времени: «хвост» интеграла имеет слишком малый вес, чтобы влиять существенно на выбор траектории.

Ситуация меняется, если использовать критерий оптимальности, аналогичный тому, которым пользовался Лукас [Lucas, 1988]:

Тогда условие оптимальности (11) меняется на

Откуда

,

.

В случае, когда

приходим к системе дифференциальных уравнений

, (2)

,

которая, при переходе к фазовым переменным , превращается в

, (10)

.

Стационарное фазовое состояние равно

,

,

а норма накопления

.

Видим, что при сбалансированная траектория модифицированного золотого правила совпадает со сбалансированной траекторией золотого правила. Это условие состоит в равенстве субъективной нормы дисконтирования «биологической процентной ставке», о которой писал Самуэльсон (Samuelson, 1958), рассматривая модель перекрывающихся поколений. При (нетерпеливое общество) норма накопления и капитал меньше, чем при золотом правиле Солоу, а при (терпеливое общество) – больше. Заметим, что в терпеливом обществе предельный продукт капитала меньше, чем в нетерепеливом обществе, т.е. причиной повышенных инвестиций в терпеливом обществе является не более высокая процентная ставка, а иные межвременные предпочтения.

6. Ресурсозависимость и снижение темпа роста

Как известно, основной вывод из анализа неоклассических моделей с двухфакторными производственными функциями (таких как модель Солоу и модель Рамсея-Касса-Купманса) состоит в том, что долгосрочный темп роста при отсутствии технического прогресса совпадает с темпом роста населения. При наличии трудосберегающего технического прогресса, его темп добавляется к темпу прироста экономики.

Модель с трехфакторной производственной функцией, как мы видим, дает иной результат: темп роста зависит не только от темпов роста первичных факторов производства (труда и используемых природных ресурсов), но и от долей факторов в доходе (показателей функции Кобба-Дугласа).

Чтобы понять это различие, заметим, что в двухфакторном случае, когда природные ресурсы не входят в производственную функцию

если экзогенный технический прогресс – трудосберегающий

( )

то множитель a в числителе и знаменателе выражения для темпа прироста сокращается, в результате , т.е. доли факторов не влияют на темп роста. Как только природные ресурсы включаются в производственную функцию

темпы роста начинают зависеть от долей факторов.

Это наблюдение позволяет выдвинуть гипотезу относительно того, какую экономику следует считать ресурсозависимой. Ресурсозависимая – это экономика, для адекватного описания которой используемые природные ресурсы должны быть учтены в производственной функции.

То, что ресурсы могут включаться или нет в производственную функцию, подчеркивал Бруно (Bruno, 1984): «Это естественно, что в мире относительно стабильных цен экономический анализ должен проводиться в терминах чистого продукта, выводимого из двух главных первичных факторов производства – труда и капитала. Как только относительные цены на сырье меняются, эта процедура больше не имеет силы и может дать вводящие в заблуждение эмпирические результаты. С другой стороны, введение в анализ третьего фактора усложняет дело». Заметим, что в нашем контексте «относительная стабильность цен» означает близость к сбалансированной траектории, которая, как мы видели в разделе 2, может одинаково хорошо описываться и трехфакторными и двухфакторными производственными функциями.

Найденное значение темпов прироста позволяет заключить, что изменение уровня или типа ресурсозависимости оказывает влияние на темпы экономического роста.

Характеристики

Список файлов курсовой работы