176093 (626815), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В. Траектория называется сбалансированной, если

Равенство (3) представляет собой основную гипотезу модели Солоу (Solow, 1956). Равенство (4) – это один из пяти стилизованных фактов экономического роста, сформулированных Кальдором (Kaldor, 1961), этот факт входит в явном виде в формулировку AK-модели (Frankel, 1962). Равенство

(вместе с гипотезой о постоянном темпе роста труда) представляет еще один стилизованный факт Кальдора: душевой выпуск растет темпом, который примерно постоянен.

При доказательстве предложения 1 будет использоваться следующая лемма.

ЛЕММА 1. Если величины - ненулевые, имеют постоянные темпы, и

,

то их темпы роста совпадают.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ. Предположим противное:

,

.

Пусть, для определенности, . Тогда

.

При , левая часть равенства стремится к постоянной , тогда как модуль правой части стремится к 0 или к . Полученное противоречие показывает, что ■

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ. А Б. Из (2) следует, что

Здесь правая часть постоянна, следовательно

, тогда (в силу (4)) и (в силу (3)).

Б В. Из (2) следует, что

.

Левая часть постоянна, а слагаемые в правой части имеют постоянные темпы прироста. По лемме, темпы прироста величин

равны, следовательно, Поскольку , из (2) вытекает, что

В этом равенстве правая и левая части имеют постоянные темпы прироста, следовательно, эти темпы совпадают:

В А. Очевидно ■

Обозначим общий темп прироста переменных на сбалансированной траектории через . Следствием предложения 1 является следующее утверждение, которое можно рассматривать как обобщение теоремы Узавы (см. далее предложение 3). Введем обозначение .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Всякая сбалансированная траектория может быть построена при помощи двухфакторной производственной функции с трудосберегающим техническим прогрессом

(5)

где G – неоклассическая функция (т.е. обладающая стандартными свойствами производственной функции, в частности, имеющая постоянную отдачу от масштаба – CRS). При этом темп прироста технического прогресса совпадает с темпом прироста душевого дохода:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть – произвольная неоклассическая функция. Можно подобрать число так, что

.

Пусть

Тогда на сбалансированной траектории

по свойству CRS

по предложению 1

■

Таким образом, если модель задана посредством некоторой CRS производственной функции F, то на сбалансированной траектории может действовать также и другая CRS производственная функция G любого вида с трудосберегающим техническим прогрессом. Отсюда следует невозможность однозначного выбора производственной функции, если наблюдаемая траектория - сбалансированная.

Заметим, что полученное в предложении 2 представление G производственной функции не связано со структурой изначально заданной функции F. На сбалансированной траектории значения функций F и G совпадают, однако функция G не наследует никаких других свойств функции F.

Смысл предложения 2 весьма прозрачен. Как следует из предложения 1, на сбалансированной траектории капитал и выпуск растут общим темпом, а рост труда «не дотягивает» до этого темпа. Если технический прогресс придаст эффективному труду необходимую добавку темпа, то капитал и эффективный труд будут расти одним темпом, что обеспечит роста выпуска тем же темпом.

Вид (5) – не единственный вид производственной функции, который приводит к данной сбалансированной траектории. Например, ту же сбалансированную траекторию может определять функция Леонтьева или производственная функция AK-модели

где

Такого рода неоднозначность уменьшается, если ограничить множество сбалансированных траекторий условием постоянства долей факторов.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 (Теорема Узавы – см. Uzawa, 1961, Jones, Scrimgeour, 2005). Если модель определена непрерывно дифференцируемой CRS производственной функцией , и на сбалансированной траектории доли факторов

постоянны во времени⁵, то (5) – единственно возможное представление производственной функции F на этой траектории.

Доказательство см. в Jones, Scrimgeour, 2005■

Хотя предложение 3 сужает, по сравнению с предложением 2, класс производственных функций, пригодных для построения сбалансированной траектории, оно не позволяет выявить вид функции F вне этой траектории. Т.е. невозможно однозначно специфицировать производственную функцию, наблюдая лишь одну сбалансированную траекторию.

Пусть, например,

- сбалансированная траектория,

- известные доли капитала и труда на этой траектории, и мы хотим специфицировать CES функцию

В таком случае начальный уровень технического прогресса и параметры CES функции удовлетворяют системе уравнений

Однако, тройка определяется этой системой неоднозначно.

Особенность двухфакторной функции Кобба-Дугласа в том, что для нее множитель может трактоваться не только как трудосберегающий (нейтральный по Харроду) технический прогресс, но еще и как капиталосберегающий (нейтральный по Солоу) и как увеличивающий TFP (нейтральный по Хиксу) прогресс:

.

Поэтому теорему Узавы формулируют еще так: если на сбалансированной траектории доли факторов постоянны, то либо имеет место трудосберегающий технический прогресс, либо действует производственная функция Кобба-Дугласа.

Применительно к трехфакторной функции с природными ресурсами предложение 2 может быть переформулировано следующим образом.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть сбалансированная траектория такова, что . Тогда эта траектория может быть построена при помощи трехфакторной производственной функции с трудосберегающим и ресурсосберегающим техническим прогрессом

, (6)

где , G – неоклассическая функция.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Аналогично доказательству предложения 2, для произвольной CRS функции G подберем числа так, что

.

Определим функции

Тогда на сбалансированной траектории

по свойству постоянной отдачи от масштаба

по предложению 1

■

Обобщением теоремы Узавы для случая трехфакторной модели является следующее утверждение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Если модель определена непрерывно дифференцируемой CRS производственной функцией

и на сбалансированной траектории доли факторов

постоянны во времени, то (6) – единственно возможное представление производственной функции на этой траектории.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем обозначения

Заметим, что при экзогенно заданных

траектория

определена последовательностью (восстанавливается по этой последовательности), таким образом можно представить траекторию как

.

На произвольной траектории в момент t, эластичность y по x равна отношению доли капитала к суммарной доли остальных двух факторов:

. (7)

Действительно,

следовательно

,

отсюда

,

т.е.

,

откуда следует (7).

В силу предложения 1, на сбалансированной траектории величина

сохраняется

На сбалансированной траектории с постоянными долями факторов имеет место равенство

.

Решая это дифференциальное уравнение, получаем

,

где - некоторые функции. Отсюда, аналогично тому, как это сделано в Jones, Scrimgeour, 2005 для двухфакторной производственной функции, можно получить, что

.

Поскольку труд и используемые природные ресурсы входят в формулировку модели симметрично, функция также сепарабельна, т.е.

■

Для функции Кобба-Дугласа

технический прогресс можно трактовать как трудо- и ресурсосберегающий одновременно, но еще и как только трудосберегающий, только ресурсосберегающий, а также как капиталосберегающий или как увеличивающий TFP.

Функция CES

обладает тем достоинством, что доли факторов на сбалансированной траектории постоянны, если прогресс является трудосберегающим и ресурсосберегающим. Действительно, пусть

,

Тогда доля труда на сбалансированной траектории равна

Аналогично проверяется постоянство доли природных ресурсов на сбалансированной траектории.

3. Темпы прироста на сбалансированных траекториях

Пусть выпуск описывается производственной функцией (1), и общая производительность факторов A, труд L и использование природных ресурсов N меняются постоянными темпами, равными , и , соответственно. Вычислим темп прироста на сбалансированной траектории.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. На любой сбалансированной траектории

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Равенство между собой темпов прироста величин доказано в предложении 1. Запишем производственную функцию (1) в темпах прироста:

.

Отсюда находим ■

Приведем также ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 6. Следуя трехфакторному варианту теоремы Узавы (предложению 5), обозначим через и вносимые техническим прогрессом добавки к темпам прироста труда и природных ресурсов, соответственно, которые обеспечивают движение по сбалансированной траектории. Имеет место система уравнений:

Отсюда находим , а также

Характеристики

Список файлов курсовой работы