86390 (612735), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В этом случае в силу теоремы единственности для многочленов второй степени от двух переменных имеем f′2(x′, y′) = μ f′1(x′, y′) при некотором μ≠0. Полагая λ=z′33 : a′33 (что возможно, так как a′33≠0 ), можем написать
F′1(x′, у′, z′) = a′33z′ 2+ f′1(x′, y′),
F′2(x′, у′, z′) =λ a′33z′ 2+μ f′2(x′, y′),
Для того чтобы доказать в случае 3° пропорциональность многочленов F′1(x′, у′, z′) и F′2(x′, у′, z′), надо только показать, что μ = λ.. Так как многочлен f′1(x′, y′), не равен тождественно постоянной, то существуют значения x′=x′1, у' = у'1, для которых f′1(x′1, у'1). Найдя такие значения, решаем относительно z' уравнение
F′1(x′1, у′1, z′1) = a′33z′ 2+ 1 = 0
Получаем z′1 = (1 : a′33 )0,5. Итак, точка M1 = (x′1, у′1, z′1) принадлежит множеству С. Следовательно,
F′2(x′1, у′1, z′1) = λa′33(1 : a′33) + μ 1 = 0 , т. е. μ = λ.
Итак, в случае 3° утверждение теоремы 3 доказано. В случае 2° имеем
F′1(x′, у′, z′)= a′33 z′ 2 , a′33 ≠0,
F′2(x′, у′, z′)= b′33 z′ 2 , b′33 ≠0
и, следовательно, полагая λ=(b′33 : a′33) , имеем F′2(x′, у′, z′)=λ F′1(x′, у′, z′) — утверждение теоремы 2 верно и в этом случае.
Наконец, в случае 1° уравнения (16′), (17') принимают вид
F′1(x′, у′, z′)= a′33 z′ 2+a′0 , a′0 ≠0
F′2(x′, у′, z′)= b′33 z′ 2+b′0 , b′0 ≠0
Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было b′33 = λa′33 , b′0 = λa′0 при λ= (b′33 : a′33 )
Теорема 3 доказана во всех случаях.
Список литературы
-
Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. Наука, 1968
-
Анастасян Л.С. Геометрия. Просвещение, 1973. ч 1
-
Анастасян Л.С. Геометрия. Просвещение, 1987. ч 2
-
Базылев В.Т. Геометрия. М. , 1974. ч 1
-
Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. Наука, 1967
-
Парнасский И.В. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадратики. Просвещение, 1978.
-
Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. Наука, 1968
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
