86390 (612735), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Здесь a′₂₂≠0 (и b′₂₂≠0 ), в противном случае единичный вектор {0, 1} оси у', удовлетворяющий уравнению

φ′ (x′, y′) = а′₁₁х′ ² + а′₂₂у′ ² = 0,

имел бы, вопреки предположению, асимптотическое направление. Пересечение множества С с осью у' = 0 обозначим через C⁰. Возможны следующие случаи:

1° Множество С⁰ пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из

f(x') = a′₁₁x′ ²+2a′₁x′+a′₀= 0

f(x') = b′₁₁x′ ²+2b′₁x′+b′₀= 0

противоречиво, т. е.

Множество C⁰ пусто

Сногочленов f(x'), f(x') тождественно равен отличной от нуля постоянной а'₀, соответственно b′₀.

2° Множество С⁰ совпадает со всей прямой у' = 0. Это происходит тогда и только тогда, когда каждый из многочленов f(x'), f(x') тождественно равен нулю.

Множество C⁰ совпадает с прямой y′o′

3° Ни одни из случаев 1⁰, 2⁰ не имеет места. Тогда множество С⁰ состоит или из одной точки, или из пары (быть может, совпадающих между собою) точек, являющихся парой корней как уравнения

a′₁₁x′ ²+2a′₁x′+a′₀= 0 (10)

так и уравнения

b′₁₁x′ ²+2b′₁x′+b′₀= 0 (11)

Множество C⁰ состоит из одной точки А

Рассмотрим ближе этот случай. Так как уравнения (10) и (11) имеют одни и те же корни, то при некотором μ ≠ 0 имеем

b′₁₁x′ ²+2b′₁x′+b′₀ =μ(a′₁₁x′ ²+2a′₁x′+a′₀)

и, значит, полагая λ=b′₂₂:a′₂₂, имеем

F′(x′, y′) = а′₂₂у′ ² + (а′₁₁х′ ² + 2а′₁x′ + а′₀),

F′(x′, y′) = λb′₂₂y′ ² + μ(b′₁₁x′ ² + 2b′₁y′ + b′₀)

Докажем, что λ=μ. Для этого дадим переменному х' значение x′=x′₁, являющаяся корнем уравнения

а′₁₁х′ ² + 2а′₁x′ + а′₀=1

и найдем значение y′, удовлетворяющее уравнению

F′(x′₁, y′) = а′₂₂у′ ² + 1 = 0

т. е. y′₁= ± ( - 1 : a′₂₂ )^0,5.

Значит, точка (x′₁, y′₁ ) принадлежит множеству С; следовательно,

F′(x′₁, y′₁) = λа′₂₂у′ ² + μ · 1= λа′₂₂( - 1 : a′₂₂)+ μ = 0

т. е. λ=μ, и F′(x′, y′)=λ F′(x′, y′), значит, и

F(x, y)=λ F(x, y).

Итак, в случае 3° теорема доказана. В случае 2° имеем

F′(x′, y′)= а′₂₂у′ ², а′₂₂≠0, F′(x′, y′)= b′₂₂у′ ², b′₂₂≠0.

Полагая λ= b′₂₂: a′₂₂, получим F′(x′, y′)= F′(x′, y′) —утверждение теоремы верно и в этом случае.

Наконец, в случае 1° уравнения (8) и (9) принимают вид

F′(x′, y′) = а′₂₂у′ ² + a′₀=0, a′₀≠0,

F′(x′, y′) = b′₂₂у′ ² + b′₀=0 b′₀≠0

— множество С есть пара прямых, определенная каждым из уравнений

y′=±(-(a′₀ : a′₂₂)^0,5) или y′=±(-(b′₀ :b′₂₂)^0,5).

Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было

(a′₀ : a′₂₂)=( b′₀ : b′₂₂), т.е. b′₂₂=λa′₂₂, b′₀=λa′₀ при λ=( b′₂₂: a′₂₂).

Теорема доказана во всех случаях.

1. Пучок кривых второго порядка

Пусть M₁, M₂, M₃, M₄, — четыре точки, не лежащие на одной прямой. Задавая по произволу еще одну точку M₅ (не коллинеарную никаким трем из точек M₁, M₂, M₃, M₄, получим, по теореме 1, единственную кривую второго порядка, проходящую через точки M₁, M₂, M₃, M₄, и точку M₅ .

Поэтому множество всех кривых второго порядка, проходящих через четыре точки M₁, M₂, M₃, M₄, бесконечно. Это множество кривых называется пучком кривых второго порядка, определяемым точками M₁, M₂, M₃, M₄.

Будем обозначать кривую той же буквой F, которой обозначена левая часть F(x, у) ее уравнения (1), так что F и λF при любом λ≠0 — это одна и та же кривая. Если

F (х, y) = λ₁F₁(x, y) + λ₂F₂(x, y),

то будем говорить, что кривая F есть линейная комбинация (с коэффициентами λ₁ и λ₂) кривых F₁ и F₂. Если кривые F₁ и F₂ принадлежат пучку, определяемому точками M_i = (x_i , y_i) (i = l, 2, 3, 4), то уравнения F₁(x, у)=0 и F₂(x, у)=0 удовлетворяются, если в них подставить значения х = x_i , у = y_i при любых i = l, 2, 3, 4. Но тогда и уравнение λ₁F₁(x, y) + λ₂F₂(x, y)=0 будет при х = x_i , у = y_i удовлетворяться. Другими словами, всякая кривая, являющаяся линейной комбинацией двух (или более) кривых, принадлежащих данному пучку, принадлежит этому пучку. Докажем обратное предложение. Пусть в пучке кривых второго порядка выбраны две определенные кривые F₁ и F₂. Тогда всякая кривая F данного пучка есть линейная комбинация этих двух кривых F₁ и F₂.

Пусть пучок определен четверкой точек M₁, M₂, M₃, M₄. Возьмем на кривой F какую-нибудь точку M₅, не коллинеарную ни с какими тремя из точек M₁, M₂, M₃, M₄. Кривая F есть единственная кривая второго порядка, проходящая через точки M₁, M₂, M₃, M₄, M₅. Поэтому для доказательства сделанного утверждения достаточно найти такую линейную комбинацию λ₁F₁ + λ₂F₂ чтобы кривая

λ₁F₁(x, y) + λ₂F₂(x, y)=0 (12)

проходила через точку M₅ = (х₅, у₅), т. е. достаточно определить λ₁ и λ₂, вернее, их отношение λ₁: λ₂, из условия

λ₁F₁(х₅, у₅) + λ₂F₂(х₅, у₅), (13)

Итак, любой пучок кривых второго порядка вполне определен, если даны две какие-нибудь кривые F₁ и F₂ из этого пучка: он состоит из всех кривых, являющихся линейными комбинациями λ₁F₁ + λ₂F₂ двух данных. Все эти кривые определяются значениями одного параметра— отношением λ = λ₁:λ₂ двух коэффициентов в линейной комбинации λ₁F₁ + λ₂F₂. Другими словами, пучок кривых второго порядка является одномерным многообразием кривых — совершенно в том же смысле, в каком пучок прямых является одномерным многообразием прямых (а пучок плоскостей —

о
дномерным многообразием плоскостей).

Понятие пучка кривых позволяет очень просто найти уравнение кривой второго порядка, проходящей через заданные пять точек M₁, M₂, M₃, M₄, M₅. В самом деле, возьмем четыре точки из числа данных пяти, например M₁, M₂, M₃, M₄.

Легко написать уравнения прямых:

d₁: M₁M₂ d′₁: M₃M₄ ,

d₂: M₁M₃ d′₂: M₂M₄ .

Теперь имеем две распадающиеся кривые второго порядка: кривую F₁ распадающуюся на пару прямых d₁ и d′₁, и кривую F₂, распадающуюся на прямые d₂ и d′_{2 .} Многочлены F₁(х, у) и F₂(х, у) суть произведения трехчленов первой степени, являющихся левыми частями уравнений, соответствующих прямым d₁ и d′₁, d₂ и d′₂. Распадающиеся линии F₁ и F₂, очевидно, проходят через точки M₁, M₂, M₃, M₄ т. е. принадлежат пучку, определяемому этими точками. Остается только определить отношение λ₁:λ₂ из условия, чтобы кривая λ₁F₁ + λ₂F₂ проходила через точку M₅ = (х₅, у₅), этим условием является равенство (13), из которого находим

λ₁:λ₂ = - F₂ (х₅, y₅) : F₁(x₅, у₅).

4 Теорема единственности для поверхностей второго порядка

Теорема 3. Два многочлена второй степени F₁(x, у, z) и F₂(х, y, z) тогда и только тогда имеют одно и то же нулевое многообразие, когда они пропорциональны между собою, т. е. когда один из них получается из другого умножением на некоторое число λ≠0 .

Как н в случае многочленов от двух переменных, только одна половина этой теоремы нуждается в доказательстве: надо доказать, что два многочлена второй степени F₁(x, у, z) и F₂(х, y, z), имеющие одно и то же нулевое многообразие C_F1 = C_F2 =C, пропорциональны между собою.

Рассмотрим поверхности

F₁(x, у, z)=0 (14)

и

F₂(х, y, z)=0 (15)

Берем какое-нибудь направление {α: β: γ}, неасимптотическое для поверхности (14); оно будет неасимптотическим и для поверхности (15).

Диаметральная плоскость π поверхности (14), сопряженная направлению {α: β: γ}, будет и диаметральной плоскостью поверхности (15), сопряженной тому же направлению.

Возьмем теперь систему координат O'x'y'z', ось z' которой имеет направление {α: β: γ}, а две другие оси лежат в плоскости π. В этой системе координат уравнения (14) и (15) примут соответственно вид

F′₁(x′, у′, z′)=a′₃₃ z′ ²+f′₁(x′, y′) = 0 (16)

F′₂(x′, у′, z′)=a′₃₃ z′ ²+f′₂(x′, y′) = 0 (17)

где

f′₁(x′, y′)=a′₁₁x′ ²+ 2a′₁₂x′y′ + a′₂₂y′ ²+2a′₁x′ + 2a′₂y′ +a′₀

f′₂(x′, y′)=b′₁₁x′ ²+ 2b′₁₂x′y′ + b′₂₂y′ ²+2b′₁x′ + 2b′₂y′ +b′₀

Здесь a′₃₃ ≠ 0 (и b′₃₃ ≠ 0), в противном случае единичный вектор {0, 0, 1} оси z', удовлетворяя уравнению

φ′₁(x′, у′, z′)= a′₁₁x′ ²+ 2a′₁₂x′y′ + a′₂₂y′ ²+ a′₃₃z′ ² = 0 ,

был бы вектором асимптотического направления для поверхности (14) (соответственно для (15)) — вопреки нашим предположениям.

Нам надо доказать пропорциональность многочленов F₁(x, у, z) и F₂(х, y, z) т. е. пропорциональность тождественно равных им многочленов F′₁(x′, у′, z′) и F′₂(x′, у′, z′). Для этого обозначим через С⁰ пересечение множества С с плоскостью z' = 0. Множество С⁰ есть множество всех точек плоскости О'х'у', в которых обращается в нуль один какой-нибудь (и, следовательно, любой) из многочленов f′₁(x′, y′), f′₂(x′, y′). Другими словами, это есть (лежащее в плоскости О'х'у') нулевое многообразие каждого из этих многочленов.

Возможны следующие случаи:

1° Множество С⁰ пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (н тогда каждое) из равенств f′₁(x′, y′)=0, f′₂(x′, y′)=0 противоречиво, т. е. когда одни какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f′₁(x′, y′), f′₂(x′, y′) тождественно равен отличной от нуля постоянной а'₀, соответственно b₀'„.

2° Множество совпадает со всей плоскостью О'х'у'. Это происходит тогда и только тогда, когда один какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f′₁(x′, y′), f′₂(x′, y′) тождественно равен нулю.

3° Ни один из случаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множество С⁰ есть множество всех точек кривой второго порядка, определяемой в плоскости О'х'у' каждым из уравнений

f′₁(x′, y′)=0, f′₂(x′, y′)=0 . (18)

Характеристики

Список файлов курсовой работы