Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Решение. Представим функцию в виде

5656()

Введем на плоскости векторы , с координатами и , соответственно. Так как и , то из выражения 56 следует, что .

Пусть , тогда координатами вектора являются и .

Так как , то и . Теперь необходимо показать, что полученная нижняя оценка функции достижима, т.е. существуют такие значения и , при которых функция принимает значение .

Если , то , т.е. векторы и коллинеарные. Отсюда следует, что и . Положим , тогда . Если найденные значения и подставить в 56, то . Следовательно, минимальное значение функции равно .

Ответ: .

7. Комбинированные методы

При решении сложных задач по математике используются самые разнообразные нестандартные методы, большинство из которых трудно поддаются классификации. Как правило, такие методы ориентированы на решение относительно узкого круга задач, однако их знание и умение ими пользоваться необходимы для успешного решения математических задач повышенной сложности. В настоящем разделе приведены задачи, решение которых базируется на применении оригинальных (эффективных, но сравнительно редко встречающихся) комбинированных методов.

Задачи и решения

Пример 41 Решить уравнение

5757()

Решение. Рассмотрим уравнение с параметром вида

5858()

которое совпадает с уравнением 57 при . Перепишем уравнение 58 в виде квадратного уравнения относительно неизвестной переменной , т.е.

5959()

Решением уравнения 59 относительно являются

т.е. и . Поскольку , то получаем два уравнения относительно переменной вида и . Отсюда получаем три корня исходного уравнения 57, т.е. и .

Ответ: , .

Пример 42 Решить уравнение

6060()

Решение. Обозначим , тогда . Известно, что , тогда и из уравнения 60 получаем уравнение относительно переменной вида . Решая последнее уравнение, получаем и . Таким образом, имеет место и . Отсюда следует и .

Ответ: , .

Пример 43 Найти все значения параметра , при которых разрешимо уравнение

6161()

Решение. Воспользуемся известным тригонометрическим равенством . Обозначим , тогда и из 61 получаем

6262()

где .

Воспользуемся неравенствами, которые имеют место для произвольных и , вида

(данные неравенства легко доказать самостоятельно).

Следовательно, и из 62 получаем , откуда следует .

Ответ: .

Пример 44 Решить уравнение

6363()

Решение. Преобразуем уравнение 63 согласно известного равенства , где , тогда . Отсюда следует

6464()

Если уравнение 63 сложить с уравнением 64, то получаем . Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, то . Возведем обе части уравнения в квадрат, тогда получаем квадратное уравнение , корнями которого являются и . Непосредственной подстановкой в 63 убеждаемся, что найденные значения являются его корнями.

Ответ: , .

Пример 45 Решить уравнение

6565()

Решение. Очевидно, что областью допустимых значений уравнения 65 являются . Умножим обе части уравнения 65 на , тогда получаем

6666()

Решением уравнения 66 являются , и . Однако --- посторонний корень для уравнения 65, поскольку при этом значении левая часть уравнения 65 равна , а правая меньше . Так как , то не может быть корнем уравнения 65. В этой связи --- единственное решение исходного уравнения 65.

Ответ: .

Пример 46 Решить уравнение

6767()

Решение. Обозначим и , тогда из уравнения 67 получаем систему двух уравнений относительно переменных , вида

6868()

где и .

Преобразуем левую часть второго уравнения системы 68 следующим образом:

Так как , то . Отсюда получаем или . Рассмотрим две системы

Корнями первой системы являются , и , , а вторая система решения не имеет. Следовательно, или . Отсюда получаем два уравнения относительно переменной вида и . Первое уравнений корней не имеет, а из второго следует и . Ответ: , .

Пример 47 Решить уравнение

6969()

Решение. Преобразуем уравнение 69, используя свойство пропорции: если , то . Тогда уравнение 69 можно переписать как

7070()

Поскольку , то из уравнения 70 получаем ; т.е. и .

Так как уравнения 69 и 70 равносильны, то решением уравнения 69 являются и .

Ответ: , .

Пример 48 Доказать неравенство

7171()

где и .

Доказательство. Доказательство неравенства 71 будем вести методом от противного. Допустим, что существуют такие значения и , что и , при которых выполняется неравенство

7272()

Из неравенства 72 получаем

7373()

Так как , и , то из неравенства 73 следует

Таким образом, получено ложное неравенство, которое доказывает справедливость исходного неравенства 71.

8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций

Одним из эффективных методов решения уравнений или неравенств является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся, например, некоторые тригонометрические функции; обратные тригонометрические функции; функции, содержащие модуль, степень, корень с четной степенью и т.д.

Приведем наиболее распространенные неравенства. Известно, что , , , , , , , , , , , и многие другие. Здесь --- натуральное число, , и .

Кроме приведенных выше простейших неравенств имеются и более сложные, в частности, тригонометрические неравенства , и неравенства с модулями вида .

Следует также отметить, что при решении некоторых задач, приведенных в настоящем разделе, можно эффективно применять неравенства Коши, Бернулли и Коши--Буняковского, описанные в разделе 10.

Задачи и решения

Пример 49 Решить уравнение

7474()

Решение. Выделим полный квадрат в правой части уравнения, т.е. . Отсюда следует, что . Так как при этом , то из 74 получаем систему уравнений

7575()

Решением второго уравнения системы является . Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что найденное значение является решением системы уравнений 75 и уравнения 74.

Ответ: .

Пример 50 Решить уравнение

7676()

Решение. Обозначим , тогда из определения обратной тригонометрической функции имеем и .

Так как , то из уравнения 76 следует неравенство , т.е. . Поскольку и , то и . Однако и поэтому .

Если и , то . Так как ранее было установлено, что , то .

Ответ: , .

Пример 51 Решить уравнение

7777()

Решение. Областью допустимых значений уравнения 77 являются .

Первоначально покажем, что функция при любых может принимать только положительные значения.

Представим функцию следующим образом: .

Поскольку , то имеет место , т.е. .

Следовательно, для доказательства неравенства , необходимо показать, что . С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда

Полученное численное неравенство свидетельствует о том, что . Если при этом еще учесть, что , то левая часть уравнения 77 неотрицательна.

Рассмотрим теперь правую часть уравнения 77.

Так как , то

.

Однако известно, что . Отсюда следует, что , т.е. правая часть уравнения 77 не превосходит . Ранее было доказано, что левая часть уравнения 77 неотрицательна, поэтому равенство в 77 может быть только в том случае, когда обе его части равны , а это возможно лишь при .

Ответ: .

9. Методы решения симметрических систем уравнений

В ряде случаев приходится решать системы уравнений с симметрическим вхождением слагаемых или сомножителей. Системы с таким свойством будем называть симметрическими. К таким системам относятся системы вида

7878()

и

7979()

Метод решения системы 78 состоит в сложении левых и правых частей уравнений. Тогда

заем из полученного уравнения поочередно вычитаются третье, второе и первое уравнения системы 78, в результате чего получается система уравнений

8080()

При решении системы уравнений 79 необходимо перемножить левые и правые части уравнений, тогда получаем

Здесь необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие . Если затем полученное уравнение разделить поочередно на третье, второе и первое уравнения системы 79, то получаем две системы уравнений относительно , , вида

8181()

Полученные системы уравнений относительно , , допускают более простое решение по сравнению с решением систем уравнений 78, 79. Следует отметить, что данный метод обобщается на случай произвольного числа уравнений, содержащихся симметрических системах.

Кроме изложенного выше метода, существует еще много других, которые учитывают специфику заданной симметрической системы уравнений.

Задачи и решения

Пример 52 Решить систему уравнений

8282()

Решение. Если к обеим частям каждого уравнения системы 82 прибавить 1, то получаем

Из последней системы уравнений следует

Пусть , тогда

Характеристики

Список файлов курсовой работы